Ο Γρίφος της Ημέρας "Οι Αταξίες του Μικρού Γιαννάκη…"

(Α) Οι Αταξίες του Μικρού Γιαννάκη…

Ο Γιαννάκης έσκισε 25 σελίδες από το βιβλίο με τίτλο “Κανόνες καλής Συμπεριφοράς” (Oι σελίδες δεν ήταν κατ’ ανάγκη διαδοχικές).

(i) Είναι δυνατό το άθροισμα της αρίθμησης των σχισμένων σελίδων να ισούται με 1.271;

(ii) Μπορεί το άθροισμα να ισούται με 2.446;

(iii) Αν ο Γιαννάκης είχε σχίσει 24 σελίδες από το βιβλίο (όχι απαραίτητα διαδοχικές). Είναι δυνατό το άθροισμα των αριθμών των σελίδων να ισούται με 2.446;

(Β) ‘Eνα Πρόβλημα Οδών.

Αντώνης: «Τώρα που το σκέφτομαι διαπιστώνω ότι τόσο ο αριθμός της οδού που βρίσκεται το σπίτι μου όσο και ο αριθμός της οδού που βρίσκεται η εργασία μου είναι ιδιαίτεροι».
Βασίλης: «Τι εννοείς ;»
Αντώνης: «Είναι διψήφιοι και το γινόμενο τους δεν αλλάζει ακόμα και αν αντιστρέψουμε και των δυο τα ψηφία. Κανένας τους δεν είναι πολλαπλάσιο του 11».
Βασίλης: «Υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί;»
Αντώνης: «Προφανώς και υπάρχουν. Για παράδειγμα το 12 και το 42 , ισχύει :

12×42=21X24=504».

Βασίλης: «Αυτοί είναι οι αριθμοί των οδών του σπιτιού και της εργασίας σου;»
Αντώνης: «Όχι βέβαια , ο αριθμός της οδού που μένω είναι μικρότερος της οδού που εργάζομαι ,το γινόμενο τους είναι ανάμεσα στο 3000 και το 4000 και στο μέσο του αριθμού της οδού της εργασίας μου μένει η Τασία ».
Ποιος είναι ο αριθμός της οδού που βρίσκεται η εργασία του Αντώνη;

(Γ) Ένα Πρόβλημα της Έβδομης Τέχνης!!!

Στην μακρινή χώρα της Φτηνολάνδης ,η τιμή εισόδου σε έναν κινηματογράφο καθορίζεται από την ηλικία και την ιδιότητα του θεατή.

Το παιδικό εισιτήριο κοστίζει μισό ευρώ.

Το φοιτητικό εισιτήριο κοστίζει δυο ευρώ.

Ενώ το κανονικό εισιτήριο κοστίζει τρία ευρώ.

Γνωρίζουμε ότι την ταινία “Χ” την παρακολούθησαν 30 θεατές και οι συνολικές εισπράξεις ήταν 30 ευρώ . Ο κ. Παπαδόπουλος που παρακολούθησε την ταινία μαζί με το γιο του που είναι φοιτητής στο πολυτεχνείο και την κόρη του που πηγαίνει στην 1^η δημοτικού δήλωσε ότι δεν έχει δει χειρότερη ταινία στην ζωή του. Το ερώτημα είναι πόσοι θεατές ήταν φοιτητές και πόσοι παιδιά;

(Δ) To Βιβλίο. Παλιό, Αλλά Κλασσικό ΙΙΙ

Ένα βιβλίο έχει ν σελίδες αριθμημένες από το 1 μέχρι το ν. Ο αριθμός των ψηφίων που χρησιμοποιήθηκαν για την αρίθμηση των σελίδων του βιβλίου είναι 2808. Πόσες σελίδες έχει το βιβλίο;

πηγή γρίφων http://mathhmagic.blogspot.com/

Attachments

1 (6 kB)
2 (9 kB)
3 (13 kB)
4 (7 kB)

Σχετικά

4 σχόλια

ΚΔ 12/09/2021

Γ. Αν χ παιδιά ψ φοιτητές και ω μεγάλοι το σύστημα χ+ψ+ω=30, χ+4ψ+6ω=60 καταλήγει στην 5χ+2ψ=120, που με τους περιορισμούς δίνει χ=22, ψ=5, ω=3.
Β. Αν 10α+β ο αριθμός κατοικίας και 10γ+δ ο αντίστοιχος εργασίας καταλήγω στην σχέση αγ=βδ που με τους περιορισμούς του προβλήματος δίνει λύση α=4,β=7,γ=7,δ=4. Άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 74.

ΚΔ 12/09/2021

Δ. 9 τα ψηφία των μονοψήφιων, 180 των 99-9=90 διψήφιων και αν χ οι 3ψήφιοι με 3χ ψηφία θα είναι
189+3χ=2808, χ=873. Άρα οι σελίδες είναι 189+873=1062.

ΚΔ 13/09/2021

A.1.Kάθε σελίδα έχει πίσω και την επόμενή της, άρα οι σχισμένες έχουν άθροισμα αρίθμησης ν1+ν1+1+…+ν25+ν25+1=1271, 2(ν1+…+ν25)=1246, ν1+…+ν25=623. Τα ν1,…,ν25 διαφέρουν τουλάχιστον κατά 2. Άρα το ελάχιστο ν25=1+24*2=49 με άθροισμα 625 πράγμα αδύνατο.
2.ν1+ν1+1+…+ν25+ν25+1=2446, 2(ν1+…+ν25)=2421, αδύνατο.
3.ν1+ν1+1+…+ν24+ν24+1=2446, 2(ν1+…+ν24)=2422, ν1+…+ν24=1211. Τα ν1,…,ν24 είναι όλα άρτια ή περιττά που σημαίνει ότι το άθροισμά τους είναι άρτιο.Άρα η προηγούμενη ισότητα είναι αδύνατη.

Carlo de Grandi 14/09/2021

(Α) Οι Aταξίες του Mικρού Γιαννάκη…
Το άθροισμα των αριθμών των σχισμένων σελίδων είναι τουλάχιστον
1+2+3+4+…+50=1275
Άρα το άθροισμα δεν μπορεί να είναι 1271.
Παρατηρούμε ότι το άθροισμα των αριθμών μια σχισμένης σελίδας είναι πάντα περιττός αριθμός . Άρα προσθέτοντας το άθροισμα των αριθμών 25 σελίδων προσθέτουμε 25 περιττούς αριθμούς το αποτέλεσμα είναι σίγουρα περιττός έτσι δεν μπορεί να ισούται με 2446.
Υποθέτουμε ότι οι δυο πλευρές μιας σχισμένης σελίδας έχουν αρίθμηση 2κ-1, 2κ με άθροισμα 4κ-1.Αν προσθέσουμε τους αριθμούς των σελίδων των 24 φύλλων λαμβάνουμε:
(4κ1-1)+ (4κ2-1)+ (4κ3-1)+…. +(4κ24-1)=4(κ1+ κ2+ κ3+…. +κ24)-24
που είναι πολλαπλάσιο του 4, έτσι δεν μπορεί να ισούται με 2446. (δεν είναι πολλαπλάσιο του 4.)
Πηγή: Μαθη…μαγικά : Οι αταξίες του μικρού Γιαννάκη… (mathhmagic.blogspot.com)

(Β) ‘Eνα Πρόβλημα Οδών.
Εάν Α1= και Α2= (αβ, γδ) οι δύο αριθμοί με α, β, γ, δ να λαμβάνουν τιμές ν=1, 2, 3,…,9 τότε ισχύει:
Α1*Α2=( )*( )=( )*( )  (10α+β)*(10γ+δ)=(10β+α)*(10δ+γ) 
100αγ+10αδ+10βγ+βδ=100βδ+10βγ+10αδ+αγ 
100αγ-αγ=100βδ-βδ-10αδ-10βγ+10βγ+10αδ  99αγ=99βδ  αγ=99βδ/99 
αγ=βδ (1)
Όλα τα πιθανά ζεύγη διψήφιων αριθμών που πληρούν την ιδιότητα (1) είναι:
12*42 = 21*24 = 504
12*63 = 21*36 = 756
12*84 = 21*48 = 1.008
13*62 = 31*26 = 806
13*93 = 31*39 = 1.209
14*82 = 41*28 = 1.148
23*64 = 32*46 = 1.472
23*96 = 32*69 = 2.208
24*63 = 42*36 = 1.512
24*84 = 42*48 = 2.016
26*93 = 62*39 = 2.418
34*86 = 43*68 = 2.924
36*84 = 63*48 = 3.024
46*96 = 64*69 = 4.416
Τα μοναδικά ζεύγη αριθμών με γινόμενο ανάμεσα στο 3.000 και το 4.000 είναι τα (36,84) και (63,48) οπότε πιθανοί υποψήφιοι αριθμοί είναι οι 63 και 84.Αλλά εφόσον στο μέσο του αριθμού της οδού μένει η Τασία ο αριθμός που αναζητούμε πρεπει να είναι άρτιος , άρα ο Αντώνης εργαζεται στην οδό με αριθμό 84.
Πηγή: Μαθη…μαγικά : ‘Eνα πρόβλημα οδών. (mathhmagic.blogspot.com)

(Γ) Ένα Πρόβλημα της Έβδομης Τέχνης!!!
Οι φοιτητές ήταν 5, τα παιδιά 22 και οι υπόλοιποι 3. Έστω «Π» ο αριθμός των παιδιών, «Φ» ο αριθμός των φοιτητών και «Υ» ο αριθμός των υπόλοιπων θεατών. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
Π+Φ+Υ=30 (1)
1/2Π+2Φ+3Υ=30 (2)
Λύνουμε ως προς «Π» την (1) κι’ έχουμε:
Π+Φ+Υ=30  Π=30-Φ-Υ (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:
1/2Π+2Φ+3Υ=30  1/2*(30-Φ-Υ)+2Φ+3Υ=30 
30-Φ-Υ+4Φ+6Υ=60  3Φ+5Υ=60-30  5Υ=30-3Φ 
Υ=(30-3Φ)/5  Υ=[3*(10-Φ)]/5 (4)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε τη διερεύνηση των ριζών. Ο αριθμός «Υ» των υπόλοιπων θεατών είναι ακέραιος αριθμός και κατά συνέπεια ο παράγοντας (10-Φ) είναι πολλαπλάσιο του αριθμού 5. Οι ακέραιες τιμές του «Φ», για τις οποίες ο αριθμός «Υ» είναι πολλαπλάσιο του 5 είναι οι 0, 5, και 10. Για Φ=0, απορρίπτεται, γιατί από την οικογένεια του κ. Παπαδόπουλου γνωρίζουμε ότι την ταινία τη παρακολούθησαν τουλάχιστον ένας θεατής από κάθε κατηγορία
(Π0, Φ0 και Υ0).
Για Φ=5 έχουμε: Υ=[3*(10-Φ)]/5  Υ=[3*(10-5)]/5  Υ=3*5/5 
Υ=3*1  Υ=3 (5)
Για Φ=10 έχουμε Υ=[3*(10-Φ)]/5  Υ=[3*(10-10)]/5  Υ=3*0/5  Υ=3*0  Υ=0
Απορρίπτεται λόγω του ότι (Π0, Φ0 και Υ0).
Αντικαθιστούμε τη (5) στη (3) κι’ έχουμε:
Π=30-Φ-Υ  Π=30-5-3  Π=22
Τη ταινία την παρακολούθησαν 22 παιδιά, 5 φοιτητές και 3 υπόλοιποι θεατές.
Επαλήθευση:
Π+Φ+Υ=30  22+5+3=30
1/2Π+2Φ+3Υ=30 1/2*22+2*5+3*3=30 11+10+9=30 ο.ε.δ.
Πηγή: Μαθη…μαγικά : Ενα πρόβλημα της έβδομης τέχνης!!! (mathhmagic.blogspot.com)

(Δ) To Βιβλίο. Παλιό, Αλλά Κλασσικό ΙΙΙ
Για τις πρώτες 9 σελίδες χρησιμοποιούνται 9 ψηφία,
ενώ για καθεμία από τις σελίδες από το 10 μέχρι το 99 χρησιμοποιούνται 2 ψηφία.
Και για κάθε σελίδα από το 100 μέχρι το 999 χρησιμοποιούνται 3 ψηφία. .
Άρα μπορούμε να γενικεύσουμε για ένα βιβλίο με ν σελίδες.
Αριθμός ψηφίων αρίθμησης βιβλίου ν σελίδων= ν
Εάν ν<=9………………………=9+2(ν-9)=2ν-9
Εάν 10<=ν<=99……………………… =9+90*2+3(ν-99)=3ν-108
Εάν 100<= ν <= 999
Στις 99 σελίδες, για το βιβλίο χρησιμοποιούνται:
9+90*2=189 ψηφία
Και στις 999 σελίδες για το βιβλίο θα χρησιμοποιούνται: 9+2*90+3*900=2889 ψηφία.
Άρα ξέρουμε ότι η απάντηση είναι ανάμεσα στο 99 και το 999.
Λύνουμε την εξίσωση :
3ν – 108 = 2.808 == 3ν=2.808+108 == 3ν=2.916 == ν=2.916/3 ==
ν = 972 σελίδες .
Πήγη: Μαθη…μαγικά : To Βιβλίο. Παλιό αλλα κλασσικό ΙΙΙ (mathhmagic.blogspot.com)

ΚΔ 12/09/2021

Γ. Αν χ παιδιά ψ φοιτητές και ω μεγάλοι το σύστημα χ+ψ+ω=30, χ+4ψ+6ω=60 καταλήγει στην 5χ+2ψ=120, που με τους περιορισμούς δίνει χ=22, ψ=5, ω=3.
Β. Αν 10α+β ο αριθμός κατοικίας και 10γ+δ ο αντίστοιχος εργασίας καταλήγω στην σχέση αγ=βδ που με τους περιορισμούς του προβλήματος δίνει λύση α=4,β=7,γ=7,δ=4. Άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 74.
ΚΔ 12/09/2021

Δ. 9 τα ψηφία των μονοψήφιων, 180 των 99-9=90 διψήφιων και αν χ οι 3ψήφιοι με 3χ ψηφία θα είναι
189+3χ=2808, χ=873. Άρα οι σελίδες είναι 189+873=1062.
ΚΔ 13/09/2021

A.1.Kάθε σελίδα έχει πίσω και την επόμενή της, άρα οι σχισμένες έχουν άθροισμα αρίθμησης ν1+ν1+1+…+ν25+ν25+1=1271, 2(ν1+…+ν25)=1246, ν1+…+ν25=623. Τα ν1,…,ν25 διαφέρουν τουλάχιστον κατά 2. Άρα το ελάχιστο ν25=1+24*2=49 με άθροισμα 625 πράγμα αδύνατο.
2.ν1+ν1+1+…+ν25+ν25+1=2446, 2(ν1+…+ν25)=2421, αδύνατο.
3.ν1+ν1+1+…+ν24+ν24+1=2446, 2(ν1+…+ν24)=2422, ν1+…+ν24=1211. Τα ν1,…,ν24 είναι όλα άρτια ή περιττά που σημαίνει ότι το άθροισμά τους είναι άρτιο.Άρα η προηγούμενη ισότητα είναι αδύνατη.
Carlo de Grandi 14/09/2021

(Α) Οι Aταξίες του Mικρού Γιαννάκη…
Το άθροισμα των αριθμών των σχισμένων σελίδων είναι τουλάχιστον
1+2+3+4+…+50=1275
Άρα το άθροισμα δεν μπορεί να είναι 1271.
Παρατηρούμε ότι το άθροισμα των αριθμών μια σχισμένης σελίδας είναι πάντα περιττός αριθμός . Άρα προσθέτοντας το άθροισμα των αριθμών 25 σελίδων προσθέτουμε 25 περιττούς αριθμούς το αποτέλεσμα είναι σίγουρα περιττός έτσι δεν μπορεί να ισούται με 2446.
Υποθέτουμε ότι οι δυο πλευρές μιας σχισμένης σελίδας έχουν αρίθμηση 2κ-1, 2κ με άθροισμα 4κ-1.Αν προσθέσουμε τους αριθμούς των σελίδων των 24 φύλλων λαμβάνουμε:
(4κ1-1)+ (4κ2-1)+ (4κ3-1)+…. +(4κ24-1)=4(κ1+ κ2+ κ3+…. +κ24)-24
που είναι πολλαπλάσιο του 4, έτσι δεν μπορεί να ισούται με 2446. (δεν είναι πολλαπλάσιο του 4.)
Πηγή: Μαθη…μαγικά : Οι αταξίες του μικρού Γιαννάκη… (mathhmagic.blogspot.com)

(Β) ‘Eνα Πρόβλημα Οδών.
Εάν Α1= και Α2= (αβ, γδ) οι δύο αριθμοί με α, β, γ, δ να λαμβάνουν τιμές ν=1, 2, 3,…,9 τότε ισχύει:
Α1*Α2=( )*( )=( )*( )  (10α+β)*(10γ+δ)=(10β+α)*(10δ+γ) 
100αγ+10αδ+10βγ+βδ=100βδ+10βγ+10αδ+αγ 
100αγ-αγ=100βδ-βδ-10αδ-10βγ+10βγ+10αδ  99αγ=99βδ  αγ=99βδ/99 
αγ=βδ (1)
Όλα τα πιθανά ζεύγη διψήφιων αριθμών που πληρούν την ιδιότητα (1) είναι:
12*42 = 21*24 = 504
12*63 = 21*36 = 756
12*84 = 21*48 = 1.008
13*62 = 31*26 = 806
13*93 = 31*39 = 1.209
14*82 = 41*28 = 1.148
23*64 = 32*46 = 1.472
23*96 = 32*69 = 2.208
24*63 = 42*36 = 1.512
24*84 = 42*48 = 2.016
26*93 = 62*39 = 2.418
34*86 = 43*68 = 2.924
36*84 = 63*48 = 3.024
46*96 = 64*69 = 4.416
Τα μοναδικά ζεύγη αριθμών με γινόμενο ανάμεσα στο 3.000 και το 4.000 είναι τα (36,84) και (63,48) οπότε πιθανοί υποψήφιοι αριθμοί είναι οι 63 και 84.Αλλά εφόσον στο μέσο του αριθμού της οδού μένει η Τασία ο αριθμός που αναζητούμε πρεπει να είναι άρτιος , άρα ο Αντώνης εργαζεται στην οδό με αριθμό 84.
Πηγή: Μαθη…μαγικά : ‘Eνα πρόβλημα οδών. (mathhmagic.blogspot.com)

(Γ) Ένα Πρόβλημα της Έβδομης Τέχνης!!!
Οι φοιτητές ήταν 5, τα παιδιά 22 και οι υπόλοιποι 3. Έστω «Π» ο αριθμός των παιδιών, «Φ» ο αριθμός των φοιτητών και «Υ» ο αριθμός των υπόλοιπων θεατών. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
Π+Φ+Υ=30 (1)
1/2Π+2Φ+3Υ=30 (2)
Λύνουμε ως προς «Π» την (1) κι’ έχουμε:
Π+Φ+Υ=30  Π=30-Φ-Υ (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:
1/2Π+2Φ+3Υ=30  1/2*(30-Φ-Υ)+2Φ+3Υ=30 
30-Φ-Υ+4Φ+6Υ=60  3Φ+5Υ=60-30  5Υ=30-3Φ 
Υ=(30-3Φ)/5  Υ=[3*(10-Φ)]/5 (4)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε τη διερεύνηση των ριζών. Ο αριθμός «Υ» των υπόλοιπων θεατών είναι ακέραιος αριθμός και κατά συνέπεια ο παράγοντας (10-Φ) είναι πολλαπλάσιο του αριθμού 5. Οι ακέραιες τιμές του «Φ», για τις οποίες ο αριθμός «Υ» είναι πολλαπλάσιο του 5 είναι οι 0, 5, και 10. Για Φ=0, απορρίπτεται, γιατί από την οικογένεια του κ. Παπαδόπουλου γνωρίζουμε ότι την ταινία τη παρακολούθησαν τουλάχιστον ένας θεατής από κάθε κατηγορία
(Π0, Φ0 και Υ0).
Για Φ=5 έχουμε: Υ=[3*(10-Φ)]/5  Υ=[3*(10-5)]/5  Υ=3*5/5 
Υ=3*1  Υ=3 (5)
Για Φ=10 έχουμε Υ=[3*(10-Φ)]/5  Υ=[3*(10-10)]/5  Υ=3*0/5  Υ=3*0  Υ=0
Απορρίπτεται λόγω του ότι (Π0, Φ0 και Υ0).
Αντικαθιστούμε τη (5) στη (3) κι’ έχουμε:
Π=30-Φ-Υ  Π=30-5-3  Π=22
Τη ταινία την παρακολούθησαν 22 παιδιά, 5 φοιτητές και 3 υπόλοιποι θεατές.
Επαλήθευση:
Π+Φ+Υ=30  22+5+3=30
1/2Π+2Φ+3Υ=30 1/2*22+2*5+3*3=30 11+10+9=30 ο.ε.δ.
Πηγή: Μαθη…μαγικά : Ενα πρόβλημα της έβδομης τέχνης!!! (mathhmagic.blogspot.com)

(Δ) To Βιβλίο. Παλιό, Αλλά Κλασσικό ΙΙΙ
Για τις πρώτες 9 σελίδες χρησιμοποιούνται 9 ψηφία,
ενώ για καθεμία από τις σελίδες από το 10 μέχρι το 99 χρησιμοποιούνται 2 ψηφία.
Και για κάθε σελίδα από το 100 μέχρι το 999 χρησιμοποιούνται 3 ψηφία. .
Άρα μπορούμε να γενικεύσουμε για ένα βιβλίο με ν σελίδες.
Αριθμός ψηφίων αρίθμησης βιβλίου ν σελίδων= ν
Εάν ν<=9………………………=9+2(ν-9)=2ν-9
Εάν 10<=ν<=99……………………… =9+90*2+3(ν-99)=3ν-108
Εάν 100<= ν <= 999
Στις 99 σελίδες, για το βιβλίο χρησιμοποιούνται:
9+90*2=189 ψηφία
Και στις 999 σελίδες για το βιβλίο θα χρησιμοποιούνται: 9+2*90+3*900=2889 ψηφία.
Άρα ξέρουμε ότι η απάντηση είναι ανάμεσα στο 99 και το 999.
Λύνουμε την εξίσωση :
3ν – 108 = 2.808 == 3ν=2.808+108 == 3ν=2.916 == ν=2.916/3 ==
ν = 972 σελίδες .
Πήγη: Μαθη…μαγικά : To Βιβλίο. Παλιό αλλα κλασσικό ΙΙΙ (mathhmagic.blogspot.com)