(Α) Το Μυστήριο των Αριθμών
Βρείτε τέσσερις αριθμούς, που το άθροισμά τους να είναι ίσο με τον αριθμό που βρίσκεται στο κέντρο του τετραγώνου, έτσι ώστε αφαιρώντας από το πρώτο, προσθέτοντας στο δεύτερο, πολλαπλασιάζοντας με το τρίτο, και διαιρώντας με το τέταρτο τον αριθμό που υπάρχει στην έλλειψη, να προκύπτει πάντα ο αριθμός 49.
(Β) Η Χρονολογία
Ο Πέτρος έμαθε πως ο παππούς του κ. Γεδεών τραυματίστηκε πολεμώντας στη Λεγεώνα των Ξένων και των ρωτάει ποια χρονιά έγινε αυτό το γεγονός. Ο κ. Γεδεών, θέλοντας να δοκιμάσει τις ικανότητες του Πέτρου, του απαντάει ως εξής:
-“Ο παππούς μου στρατολογήθηκε το 1890, αλλά τραυματίστηκε αρκετά χρόνια αργότερα. Εάν στον αριθμό της χρονιάς, που τραυματίστηκε, αλλάξεις τη θέση του δευτέρου με το τέταρτο ψηφίο, δηλαδή το δεύτερο ψηφίο στη θέση του τέταρτου και το τέταρτο στη θέση του δεύτερου, προκύπτει μια χρονολογία μεταγενέστερη κατά 99 χρόνια.”
Μπορείτε να βρείτε ποια χρονιά τραυματίστηκε ο παππούς του κ. Γεδεών;
Α. Λύνοντας τις εξισώσεις α-7=β+7=7γ=δ:7=49 προκύπτουν α=56, β=42, γ=7, δ=343 με άθροισμα 448.
Β. Αν τραυματίστηκε το έτος αβγδ θα ισχύει 1000α+100δ+10γ+β-99=1000α+100β+10γ+δ, δ=β+1. Με β=8 και δ=9 προκύπτει ότι τραυματίστηκε το 1899. Τα υπόλοιπα ζεύγη (β,δ) διαδοχικών ψηφίων δεν δίνουν λύση αποδεκτή.
(Α) Το Μυστήριο των Αριθμών ( Ή Όλα 49 )
Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως έχουμε:
α+β+γ+δ=448 (1)
α-7=ω (2)
β+7=ω (3)
7γ=ω (4)
δ:7=ω (5)
Η (2), (3), (4), και (5) γίνονται:
α=ω+7 (6)
β=ω-7 (7)
γ=ω:7 (8)
δ=7ω (9)
Αντικαθιστούμε τις (6), (7), (8), και (9) στην (1) κι’ έχουμε:
α+β+γ+δ=448 ω+7+ω-7+ω/7+ω*7=448
7ω+49+7ω-49+ω+49ω=3.136
64ω=3.136
ω=3.136 / 64
ω=49
Αντικαθιστούμε τη τιμή του “ω” στις (6), (7), (8), και (9) κι’ έχουμε:
α=ω+7 ==> α=49+7=56 ====> α=56
β=ω-7 ====> β=49-7=42 ====> β=42
γ=ω:7 ====> γ=49:7=7 ====> γ=7
δ=7ω ====> δ=7*49=343 ====> δ=343
Επαλήθευση:
Αντικαθιστούμε τις τιμές α, β, γ, και δ στις (2), (3), (4), και (5) κι’ έχουμε:
α-7=ω ====> 56-7=49
β+7=ω ====> 42+7=49
7γ=ω =====> 7*7 =49
δ:7=ω =====> 343:7=49 ο.ε.δ.
Πηγή: Από το υπό έκδοση βιβλίο μου «Τα Μαθηματικά της Παρέας» Κατηγορία 12: «Ίδιο Αποτέλεσμα» – Πρόβλημα Νο.11
(Β) Η Χρονολογία
Επειδή το γεγονός πραγματοποιήθηκε μετά το 1890, το δεύτερο ψηφίο του χρόνου δεν μπορεί παρά να είναι 8 ή 9 και το πρώτο ψηφίο το 1. Η ζητούμενη χρονολογία έχει τη μορφή 1αβγ και παριστάνεται με 1*1000 + 100α +10β + γ. Επειδή αλλάζουν θέση το δεύτερο με το τέταρτο ψηφίο, η νέα χρονολογία έχει τη μορφή 1γβα και παριστάνεται με 1*1000 + 100γ + 10β + α. Αφαιρώντας τη μια χρονολογία από την άλλη έχουμε ως αποτέλεσμα 99. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως έχουμε τη σχέση:
(1*1000 + 100γ +10β + α) – (1*1000 + 100α + 10β + γ) = 99
1000 + 100γ +10β + α – 1000 – 100α – 10β – γ = 99
99γ – 99α = 99
99(γ – α) = 99
γ – α =99/99
γ – α = 1
γ = α + 1 (1)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την
διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Στην αρχή είπαμε ότι ο “α” είναι ή 8 ή 9. Βλέπουμε, λοιπόν, ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη είναι ο αριθμός α = 8. Εάν α = 9, τότε θα είχαμε γ = 10, που αποκλείεται, διότι είναι αδύνατο. Αντικαθιστούμε τη τιμή του “α” στην (1) κι’ έχουμε:
γ = α + 1
γ = 8 + 1
γ = 9
Η χρονολογία λοιπόν είναι 18β9 και επειδή η χρονολογία του τραυματισμού του είναι μεταγενέστερη από το 1890, δεν μπορεί παρά το “β” να ισούται με 9 β = 9 κι’ επομένως το έτος είναι το 1899. Πράγματι με την αλλαγή της θέσεως των ψηφίων προκύπτει το έτος 1998 και η διαφορά των ισούται με 99 χρόνια.
Επαλήθευση:
(1*1000 + 100γ +10β + α) – (1*1000 + 100α + 10β + γ) = 99
1000 + (100*9) + (10*9) + 8 – (1000 + (100*8) + (10*9) + 9) = 99
1000 + 900 + 90 + 8 – (1000 + 800 + 90 + 9) = 99
1998 –1899 = 99 ο.ε.δ.
Πηγή: Από το υπό έκδοση βιβλίο μου «Τα Μαθηματικά της Παρέας»
Κατηγορία 26: «ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΟΛΛΟΥΣ ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΟΥΣ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ» – Πρόβλημα Νο.30