Ποια είναι η πιθανότητα μια τυχαία γυναίκα που συναντάς στο δρόμο να έχει ύψος ακριβώς 170 εκατοστά;

Η ερώτηση φαίνεται αδύνατο να απαντηθεί, αλλά ευτυχώς τα μαθηματικά μπορούν να βοηθήσουν. Μας λέει ότι τα ύψη των ανθρώπων ακολουθούν μια κατανομή πιθανοτήτων γνωστή ως κανονική κατανομή (που μερικές φορές ονομάζεται επίσης και Gaussian κατανομή ) που αντιπροσωπεύεται από μια καμπύλη σε σχήμα καμπάνας.

Η κανονική κατανομή με μέσο όρο 1,647 και τυπική απόκλιση 7,07. Αυτή η καμπύλη αντιπροσωπεύει την κατανομή των αναστημάτων των γυναικών με βάση μια μεγάλη μελέτη είκοσι χωρών σε όλη τη Βόρεια Αμερική, την Ευρώπη, την Ανατολική Ασία και την Αυστραλία. Πηγή: Ο κόσμος μας σε δεδομένα

Δείτε πώς να ερμηνεύσετε την καμπύλη. Η κορυφή της καμπύλης αντιπροσωπεύει το μέσο (ή μέσο) ύψος, το οποίο είναι 164,7 cm. Η πιθανότητα μια τυχαία γυναίκα να είναι μεταξύ 165 cm και 175 cm δίνεται από την περιοχή κάτω από την καμπύλη της καμπάνας και πάνω από το διάστημα από 165 cm έως 175 cm, που είναι 0,17. Ομοίως, η πιθανότητα ότι το ύψος βρίσκεται σε οποιοδήποτε άλλο εύρος δίνεται από την περιοχή κάτω από την καμπύλη και πάνω από αυτό το εύρος.

Μαθηματικά, η καμπύλη που φαίνεται παραπάνω είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κανονικής κατανομής (μάθετε περισσότερα εδώ ). Δίνεται μαθηματικά από τον τύπο

πού είναι ο μέσος όρος που ήδη αναφέραμε παραπάνω και είναι η λεγόμενη τυπική απόκλιση , η οποία μετρά πόσο παχιά ή λεπτή είναι η καμπύλη καμπάνας, με άλλα λόγια, πόσο διασκορπισμένες είναι οι πιθανότητες. Στο παράδειγμά μας για τα ύψη, ο μέσος όρος είναι και η τυπική απόκλιση είναι .

Όπως δείχνει το παραπάνω σχήμα, η πιθανότητα το ύψος μιας γυναίκας να βρίσκεται εντός μιας τυπικής απόκλισης στα αριστερά του μέσου όρου είναι 0,34. Με τη συμμετρία της καμπύλης, η πιθανότητα το ύψος να βρίσκεται εντός μιας τυπικής απόκλισης στα δεξιά του μέσου όρου είναι επίσης 0,34. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα το ύψος μιας γυναίκας να βρίσκεται εντός μιας τυπικής απόκλισης του μέσου όρου ανεξάρτητα από την πλευρά που είναι 0,68. Αυτό ισχύει για όλες τις κανονικές κατανομές, ανεξάρτητα από τη μέση ή την τυπική τους απόκλιση: γνωρίζετε πάντα ότι η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή σας να λάβει μια τιμή που είναι εντός μιας τυπικής απόκλισης από τη μέση τιμή είναι 0,68. (Η τυπική απόκλιση είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης , για την οποία μπορείτε να διαβάσετε εδώ .)

Αν, αντί για γυναίκες, μας ενδιέφερε το ύψος των λουκάνικων σκύλων, θα είχαμε επίσης κανονική κατανομή, αλλά το ακριβές σχήμα του θα ήταν διαφορετικό (δείτε παρακάτω για κανονικές κατανομές διαφορετικών σχημάτων). Ο μέσος όρος θα ήταν πολύ μικρότερος, επομένως ολόκληρη η καμπύλη της καμπάνας θα ήταν λιγότερο ψηλή. Προφανώς και τα ύψη δεν θα ήταν τόσο απλωμένα, επομένως η τυπική απόκλιση θα ήταν μικρότερη και επομένως η καμπύλη θα ήταν πιο λεπτή από ό,τι είναι για τους ανθρώπους (αυτό δεν βασίζεται σε πραγματικά δεδομένα, δεν μπορούσαμε να βρούμε κανένα σε σκύλους λουκάνικου , αλλά σίγουρα δεν μπορεί να υπάρχει τόση διαφορά στα ύψη τους).

Πώς ξέρουμε ότι τα ύψη των ανθρώπων και των σκύλων ακολουθούν μια κανονική κατανομή; Και πώς ξέρουμε ότι πολλά, πολλά άλλα πράγματα – τα μεγέθη των παπουτσιών των ανθρώπων, η αρτηριακή πίεση, τα σφάλματα μέτρησης – ακολουθούν επίσης κανονικές κατανομές; Αυτό οφείλεται εν μέρει σε ένα μαθηματικό αποτέλεσμα που ονομάζεται θεώρημα κεντρικού ορίου , το οποίο λέει ότι εάν έχετε πολλές ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές (ποσότητες που μπορούν να λάβουν μια σειρά τιμών), τότε εφόσον πληρούνται ορισμένες προϋποθέσεις το άθροισμά τους θα ακολουθεί ένα κανονική κατανομή. Έτσι, εάν, στη φύση ή στον ανθρωπογενή κόσμο, κάτι μπορεί να θεωρηθεί ως το άθροισμα πολλών ανεξάρτητων παραγόντων, υπάρχει πιθανότητα αυτό το κάτι να ακολουθήσει μια κανονική κατανομή. Για να δείτε το θεώρημα του κεντρικού ορίου σε δράση, διαβάστε αυτό το άρθρο .

Το παρακάτω σχήμα δείχνει την κανονική κατανομή για διάφορες τιμές του μέσου όρου και της τυπικής απόκλισης.

Η κανονική κατανομή για διάφορες τιμές του μέσου όρου και της τυπικής απόκλισης.

πηγή: https://plus.maths.org/