Πώς μπορείτε να ελαχιστοποιήσετε την πιθανότητα να συλληφθείτε από ένα ραντάρ

Φανταστείτε ότι πετάτε με ένα αεροπλάνο σε μια μυστική αποστολή. Πώς μπορείτε να ελαχιστοποιήσετε την πιθανότητα να συλληφθείτε από έναν αντίπαλο στο έδαφος χρησιμοποιώντας ραντάρ;

Αυτή είναι μια από τις ερωτήσεις που συζητήθηκαν από μαθηματικούς, ειδικούς από τη βιομηχανία και το Εργαστήριο Επιστήμης και Τεχνολογίας Άμυνας (Dstl) σε μια πρόσφατη εκδήλωση που διοργάνωσε το Newton Gateway for Mathematics . Η ομάδα εργασίας χρησιμοποίησε εξελιγμένα μαθηματικά για να βρει λύσεις σε αυτό το δύσκολο πρόβλημα του πραγματικού κόσμου, αλλά η γενική ιδέα ήταν εμπνευσμένη από κάποια βασική γεωμετρία. Να πώς.

Οι βασικοί κανόνες

Ας εξετάσουμε την παρακάτω ελαφρώς απλοποιημένη ρύθμιση. Φανταστείτε ένα σύστημα ραντάρ στο έδαφος που αποτελείται από έναν πομπό που μπορεί να στείλει σύντομους παλμούς ραντάρ, θα τους ονομάσουμε ping , που ταξιδεύουν προς όλες τις κατευθύνσεις. Υπάρχει επίσης ένας αριθμός δεκτών που μπορούν να ανιχνεύσουν τα ping. Κάθε δέκτης γνωρίζει πόσο μακριά είναι από τον πομπό και επίσης γνωρίζει την ακριβή ώρα κατά την οποία ο πομπός στέλνει ένα ping.

Τώρα φανταστείτε το αεροπλάνο σας είναι κάπου εντός της εμβέλειας του πομπού και των δεκτών. Καθώς ένας παλμός ραντάρ χτυπά το αεροπλάνο, διασκορπίζεται σε πολλές διαφορετικές κατευθύνσεις. Εάν ένας δέκτης βρίσκεται στη διαδρομή ενός τέτοιου ανακλώμενου ping, θα το εντοπίσει. Εφόσον ένα τέτοιο ανακλώμενο ping θα φτάσει στον δέκτη αργότερα από το αρχικό μη ανακλώμενο ping (έχει μεγαλύτερη απόσταση για να διανύσει), ο δέκτης μπορεί να διακρίνει ένα ανακλώμενο ping από το μη ανακλώμενο ping. Η απόσταση που διανύθηκε από το ανακλώμενο ping είναι η απόσταση μεταξύ του πομπού και του αεροπλάνου σας συν την απόσταση μεταξύ του αεροπλάνου σας και του δέκτη.

Το αεροπλάνο σας βρίσκεται στον αέρα και το σύστημα ραντάρ στο έδαφος, επομένως εργαζόμαστε σε τρισδιάστατο χώρο. Για να κάνουμε τα μαθηματικά λίγο πιο εύκολα, ας απλοποιήσουμε την κατάσταση και ας φανταστούμε ότι εργαζόμαστε μόνο σε 2D χώρο. Αυτό θα σήμαινε ότι το αεροπλάνο σας βρίσκεται στο έδαφος, το οποίο δεν είναι εκεί που προορίζεται να είναι ένα αεροπλάνο, αλλά η απλοποίηση αυτής της απλοποίησης δεν έχει μεγάλη σημασία όσον αφορά τα αποτελέσματά μας. Είναι δυνατό να τα γενικεύσουμε ξανά σε 3D, όπως θα δούμε στο τέλος της επόμενης ενότητας.

Πώς μπορούν να σε εντοπίσουν

Τώρα φανταστείτε ότι ένας δέκτης ανιχνεύει ένα ping που αντανακλάται από ένα αντικείμενο. Γνωρίζει ότι το ping έχει ταξιδέψει με την ταχύτητα του φωτός, η οποία είναι περίπου 300.000 χιλιόμετρα το δευτερόλεπτο. Το γνωρίζει αυτό επειδή το ραντάρ αποτελείται από ραδιοκύματα που ταξιδεύουν με την ίδια ταχύτητα με το φως (τόσο το φως όσο και τα ραδιοκύματα είναι μορφές ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας ).

Επειδή ο δέκτης γνωρίζει επίσης ακριβώς πότε ο πομπός έστειλε το ping, μπορεί να υπολογίσει για πόσο καιρό το ping ταξίδεψε πριν φτάσει στον δέκτη: για να το κάνει αυτό, χρειάζεται απλώς να ελέγξει το ρολόι του όταν φτάσει το ping.

 

Δεδομένου ότι η απόσταση που έχει διανύσει το ping είναι ίση με την ταχύτητα που ταξίδεψε, , φορές τον χρόνο που χρειάστηκε για να ταξιδέψει, που ονομάζουμε , ο δέκτης γνωρίζει τώρα ότι το ping έχει διανύσει μια απόσταση

 

 

Όπως έχουμε ήδη σημειώσει παραπάνω, η απόσταση είναι ίση με την απόσταση μεταξύ πομπού και αντικειμένου συν την απόσταση μεταξύ αντικειμένου και δέκτη.

 

Αυτό σημαίνει ότι το αντικείμενο (το αεροπλάνο σας) θα μπορούσε να βρίσκεται σε όλα εκείνα τα σημεία του εδάφους για τα οποία η απόσταση από τον πομπό και η απόσταση από τον δέκτη αθροίζονται σε . Πολύ πριν από την εφεύρεση του ραντάρ, οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν ήδη τι είδους σχήμα σχηματίζεται από όλες αυτές τις πιθανές τοποθεσίες μαζί: είναι μια έλλειψη .

Ο μαθηματικός ορισμός της έλλειψης έχει ως εξής. Ας υποθέσουμε ότι σας δίνονται δύο σημεία και στο επίπεδο 2D και ένας αριθμός που είναι μεγαλύτερος από την απόσταση μεταξύ και . Τότε το σύνολο όλων των σημείων των οποίων οι αποστάσεις έως και το άθροισμα σχηματίζει μια έλλειψη. Τα σημεία και ονομάζονται εστίες της έλλειψης.

Στο παράδειγμά μας, τα σημεία και αντιστοιχούν στις θέσεις του δέκτη και του πομπού. Επομένως, ο δέκτης γνωρίζει ότι το αντικείμενο από το οποίο αντανακλάται το ping βρίσκεται κάπου σε μια έλλειψη της οποίας οι εστίες είναι η δική του θέση και η θέση του πομπού. Επιβάλλοντας ένα σύστημα συντεταγμένων στο κομμάτι γης που μας απασχολεί, ο δέκτης μπορεί να επεξεργαστεί την εξίσωση που περιγράφει αυτήν την έλλειψη, ώστε να γνωρίζει τις ακριβείς συντεταγμένες κάθε σημείου της έλλειψης, δηλαδή όλες τις πιθανές θέσεις της έλλειψης. αντικείμενο. (Δεν θα το κάνουμε τώρα, αλλά μπορείτε να μάθετε περισσότερα εδώ .)

Τώρα φανταστείτε ότι ένας δεύτερος δέκτης ανιχνεύει επίσης μια αντανάκλαση του αρχικού ping. Ακριβώς ως ο πρώτος δέκτης, γνωρίζει ότι το αντικείμενο βρίσκεται σε μια έλλειψη της οποίας οι εστίες είναι η δική του θέση και αυτή του πομπού. Τώρα έχουμε δύο διακριτές ελλείψεις στις οποίες πρέπει να βρίσκεται το αντικείμενο, πράγμα που σημαίνει ότι το αντικείμενο πρέπει να βρίσκεται σε ένα σημείο στο οποίο τέμνονται οι δύο ελλείψεις. Γενικά, δύο ελλείψεις μπορούν να τέμνονται σε έως και τέσσερα σημεία (για να το δείτε αυτό, φανταστείτε τις δύο ελλείψεις διατεταγμένες σαν σταυρός). Ωστόσο, εάν οι δύο ελλείψεις μοιράζονται μια εστίαση, κάτι που συμβαίνει στην περίπτωσή μας, τότε μπορούν να τέμνονται το πολύ σε δύο σημεία. Μπορείτε να πείσετε τον εαυτό σας για αυτό σχεδιάζοντας μερικές ελλείψεις (για παράδειγμα χρησιμοποιώντας Geogebra ) ή αντλώντας μια απόδειξη χρησιμοποιώντας ένα όμορφο γεωμετρικό όρισμα που εξηγείται σε αυτό το άρθρο.

Αυτό περιορίζει τη θέση του αντικειμένου το πολύ σε δύο σημεία: στα σημεία στα οποία τέμνονται οι δύο ελλείψεις.

Ένας τρίτος δέκτης που ανιχνεύει μια αντανάκλαση μπορεί να καθορίσει τη θέση του αντικειμένου. Θα έχει ως αποτέλεσμα μια τρίτη έλλειψη, διακριτή από τις δύο πρώτες, αλλά και με τη θέση του πομπού ως μία από τις εστίες του. Το αντικείμενο πρέπει να βρίσκεται και στις τρεις αυτές ελλείψεις — και υπάρχει μόνο ένα σημείο στο επίπεδο για το οποίο αυτό ισχύει, τουλάχιστον εφόσον η απόσταση που διανύθηκε από το τρίτο ανακλώμενο ping είναι διακριτή από τα δύο πρώτα. Εάν κάθε δέκτης στείλει την εξίσωση της έλλειψης του σε ένα κέντρο ελέγχου, τότε το κέντρο ελέγχου μπορεί να υπολογίσει τη θέση αυτού του σημείου. Πράγματι, ένας υπολογιστής μπορεί να υπολογίσει αυτή τη θέση σε κλάσματα δευτερολέπτου.

Αυτό που μόλις δείξαμε είναι ότι, σε δύο διαστάσεις, η τοποθεσία σας μπορεί γενικά να ανιχνευθεί από τον αντίπαλό σας εάν τρεις από τους δέκτες του αντιπάλου πάρουν ένα ping που αντανακλάται από το αεροπλάνο σας. Εάν ο αντίπαλος έχει αρκετά πολλούς δέκτες τοποθετημένους έξυπνα, έτσι ώστε αρκετοί από αυτούς να σηκώνουν πάντα ένα ping ενός αντικειμένου που κινείται μέσα από το πεδίο των δεκτών, τότε σίγουρα θα σας εντοπίσουν.

Πριν προχωρήσουμε στην επόμενη ενότητα σχετικά με το πώς μπορείτε να ξεγελάσετε τον αντίπαλό σας, εδώ είναι μια γρήγορη λέξη σχετικά με τη γενίκευση αυτού του σεναρίου σε τρεις διαστάσεις. Σε αυτήν την περίπτωση, ένας δέκτης που παίρνει ένα ανακλώμενο ping μπορεί να συμπεράνει ότι το αντικείμενο από το οποίο αντανακλάται το ping βρίσκεται σε ένα σφαιροειδές — αυτή είναι μια τρισδιάστατη εκδοχή μιας έλλειψης που λαμβάνετε περιστρέφοντας μια έλλειψη γύρω από τον μακρύ άξονα που συνδέει τις δύο εστίες. Τα μαθηματικά εδώ είναι πιο περίπλοκα, αλλά γενικά τέσσερις τεμνόμενες σφαιροειδή, δηλαδή τέσσερις δέκτες, θα επαρκούν για να προσδιορίσουν με ακρίβεια τη θέση του αεροπλάνου σε αυτήν την περίπτωση.

Πώς μπορείς να τους ξεγελάσεις

Ένας τρόπος να κρυφτείς από τον αντίπαλό σου είναι να εξοπλίσεις το αεροπλάνο σου με μια επιφάνεια που απορροφά μεγάλο μέρος του ping του ραντάρ και αντανακλά πολύ λίγο , επομένως δεν υπάρχουν πολλά για να ανιχνευθούν οι δέκτες. Αλλά ακόμα κι αν δεν έχετε πρόσβαση σε τέτοια φανταχτερά υλικά, υπάρχει ένας τρόπος να ξεγελάσετε τον αντίπαλό σας.

Φανταστείτε ότι μπορείτε να ανιχνεύσετε ένα ping ραντάρ που φτάνει από τον πομπό και ότι μπορείτε να το καταγράψετε. Στη συνέχεια, θα μπορούσατε να το μεταδώσετε ξανά με καθυστέρηση. Αυτό θα ξεγελούσε τον αντίπαλό σας να πιστεύει ότι είστε δύο από εσάς, που κάθεστε σε δύο διαφορετικές τοποθεσίες. Αυτό θα συνέβαλλε κάπως στην αποφυγή της σύλληψης: εάν ο αντίπαλος αποφασίσει να σας κυνηγά, θα πρέπει να μοιράσει τους πόρους του μεταξύ σας και του πλασματικού αντικειμένου.

Στην εκδήλωση Newton Gateway, οι μαθηματικοί έδειξαν ότι μπορείτε να προχωρήσετε περισσότερο από αυτό. Αυτό που έχουμε παραμελήσει μέχρι τώρα είναι ότι, όντας σε ένα αεροπλάνο, στην πραγματικότητα κινείσαι. Για να αναγνωρίσετε την τροχιά ενός κινούμενου αντικειμένου, ο αντίπαλός σας θα μπορούσε να στείλει επαναλαμβανόμενα ping. Αυτό θα τους επέτρεπε να κάνουν μια μορφωμένη εικασία για το πού πηγαίνετε και να προσπαθήσουν να σας αναχαιτίσουν.

Αυτό που έδειξαν οι μαθηματικοί είναι ότι (υποθέτοντας ότι κινείστε με σταθερή ταχύτητα σε σταθερή κατεύθυνση) μπορείτε να χρονομετρήσετε τα καθυστερημένα ping σας με τέτοιο τρόπο ώστε τα σήματα που λαμβάνονται από τους δέκτες του αντιπάλου να παραπλανούν ένα δεύτερο αντικείμενο σε μια τροχιά πολύ διαφορετική από τη δική σας . Στέλνοντας πολλές παρτίδες καθυστερημένων ping, μπορείτε ακόμη και να τους ξεγελάσετε ώστε να πιστεύουν ότι υπάρχουν πολλά αντικείμενα, καθένα από τα οποία κατευθύνεται προς διαφορετική κατεύθυνση. Αυτό θα μπορούσε να είναι αρκετό για να μπερδέψει σοβαρά τον αντίπαλό σας, ελαχιστοποιώντας την πιθανότητα να συλληφθείτε.

Πέρα από τα βασικά

Τα μαθηματικά που χρησιμοποιήθηκαν από τους μαθηματικούς στην εκδήλωση Newton Gateway είναι πιο εξελιγμένα από αυτά που περιγράψαμε εδώ. Το κρίσιμο είναι ότι οι μαθηματικοί έλαβαν υπόψη τις αβεβαιότητες που προκύπτουν πάντα σε ένα πραγματικό περιβάλλον. Για παράδειγμα, η αβεβαιότητα εισέρχεται στην εικόνα επειδή οι δέκτες δεν μπορούν να μετρήσουν το χρόνο πτήσης ενός ανακλώμενου ping με 100% ακρίβεια, επομένως δεν μπορούν να είναι 100% σίγουροι για την ακριβή θέση του αντικειμένου που αντανακλάται το ping και επειδή εκεί είναι σφάλματα που σχετίζονται με τη σκέδαση και την απορρόφηση της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας από περίπλοκα αντικείμενα όπως τα αεροπλάνα.

Οι μαθηματικοί υπέθεσαν ότι, για να αντιμετωπίσουν την αβεβαιότητα, ο αντίπαλος θα έκανε μια στατιστική ανάλυση των σημάτων που λαμβάνει για να αποκαλύψει την πιο πιθανή θέση ή τροχιά του αντικειμένου. Μια τέτοια ανάλυση βασίζεται σε κάτι που ονομάζεται θεώρημα Bayes . Το θεώρημα σάς επιτρέπει να συμπεράνετε την πιθανότητα να συμβεί κάτι (π.χ. το αεροπλάνο να βρίσκεται σε μια συγκεκριμένη τοποθεσία) με βάση νέα στοιχεία (π.χ. ανακλώμενο ping) και όσα ήδη γνωρίζατε πριν (π.χ. πού νομίζετε ότι ήταν το αεροπλάνο πριν από λίγο) .

Η εκδήλωση Newton Gateway στην οποία συζητήθηκε αυτό το πρόβλημα είναι μέρος ενός συνεχιζόμενου προγράμματος που έχει σχεδιαστεί για να αντιμετωπίσει μια πρόκληση των σύγχρονων επικοινωνιών. Κάθε χώρα πρέπει να λειτουργεί αποτελεσματικά σε διάφορους τομείς — διάστημα, αέρας, ξηρά, θάλασσα και κυβερνοχώρος. Όπως και στο παράδειγμά μας του ραντάρ, τέτοιες λειτουργίες χρησιμοποιούν το ηλεκτρομαγνητικό φάσμα. Το πρόβλημα είναι ότι το «ηλεκτρομαγνητικό περιβάλλον» μας έχει γίνει ολοένα και πιο συμφορημένο και αμφισβητούμενο, λόγω της συνεχιζόμενης αύξησης της πολιτικής και στρατιωτικής ζήτησης για φάσμα (για παράδειγμα 5G). Το συνεχιζόμενο πρόγραμμα, το οποίο μαζί με το Newton Gateway και το DSTL περιλαμβάνει μια εταιρεία που ονομάζεται PA Consulting , επιδιώκει να εφαρμόσει νέα ή εναλλακτικά μαθηματικά στις προκλήσεις που προκύπτουν από αυτό το πρόβλημα.

Είναι ωραίο να γνωρίζουμε ότι, αν και τα προβλήματα που εξετάζονται στην εκδήλωση είναι εξαιρετικά περίπλοκα, η έμπνευση μπορεί να προέλθει από βασικά μαθηματικά που γνωρίζουμε για πάνω από 2.000 χρόνια.

 

πηγή: https://plus.maths.org/