Ο γρίφος της Κυριακής “Δύο Γρίφοι Σ΄ Έναν”

Carlo5

(Α) Οι Φυσικοί Αριθμοί

Να βρεθούν οι φυσικοί αριθμοί x, y, που ικανοποιούν τις ανωτέρω εξισώσεις.

(Β) Η Αντιστοιχία

Οι αξία των τεσσάρων ζώων (πρόβατο, κόκορας, σπίνος, αγελάδα) σε ένα χωριό της Νάξου, δίνεται από τις παρακάτω ισότητες (όπως φαίνεται στο ανωτέρω σχήμα). Βρείτε ποια σχέση  υπάρχει μεταξύ της Αγελάδας και του Σπίνου. (Δηλαδή η Αγελάδα με πόσους σπίνους ισούται).

5 σχόλια

  1. michalis zartoulas

    α)i)χ=0,y=5 ii)x=0,y=2 iii)x=2,y=0
    β)χ+y+z=n(1),2y+z=x(2),y=2z(3)
    2y+z+y+z=n, δηλ.4z+z+2z+z=n, n=8z.
    Απάντηση 8

  2. michalis zartoulas

    Βάζω και μία δική μου για όσους προετοιμάζονται για JBMO.
    Έστω τρίγωνο ABC με <A=70 μοίρες ,<B=60μοίρες, το ορθόκεντρό του H, το περίκεντρό του O και η παράλληλος από το O προς τη BC που τέμνει την AB στο K. Αν Z το μέσον του AH, να υπολογίσετε
    α)Τη γωνία <AZK.
    β) Τη γωνία <AZC.

  3. ΚΔ

    (A) Oι 2 πρώτες αδύνατες γιατί άρτιος διάφορος περιττού. Η 3η έχει λύσεις τα ζεύγη (x,y)=(0,1) και (2,0).
    (Β) π+κ+σ=α (1)
    2κ+σ=π (2)
    2σ=κ (3)
    Η (2) λόγω (3) γίνεται 5σ=π (4)
    Η (1) λόγω (3),(4) γίνεται 8σ=α

  4. Carlo Συντάκτης άρθρου

    Λύσεις
    (Α) Οι Φυσικοί Αριθμοί
    (i) Παρατηρούμε ότι το 2 είναι άρτιος αριθμός, άρα και το 2^x είναι άρτιος αριθμός, όμοια και το 4 είναι άρτιος αριθμός 4^y, άρα και το άθροισμα τους είναι άρτιος αριθμός, όμως το αποτέλεσμά τους είναι 1.025, περιττός αριθμός, άρα πρέπει:
    (α) Για x=0 η εξίσωση γίνεται:
    2^x+4^y=1.025 === 2^0+4^y=1.025 === 1+4^y=1.025 ====
    4^y=1.025-1 ==== 4^y=1.024 === 4^5=1.024 === y=5
    Άρα το ζεύγος λύσεων είναι: (x,y)=(0.5)
    (β) Για y=0 η εξίσωση γίνεται:
    2^x+4^y=1.025 === 2^x+4^0=1.025 === 2^x+1=1.025 ====
    2^x=1.025-1 ==== 2^x=1.024 === 2^10=1.024 === x=10
    Άρα το ζεύγος λύσεων είναι: (x,y)=(10.0)
    (ii) Παρατηρούμε ότι το 4 είναι άρτιος αριθμός, άρα και το 4^x είναι άρτιος, όμοια και το 16 είναι άρτιος αριθμός, άρα και 16^y είναι άρτιος αριθμός, άρα και το άθροισμα τους είναι άρτιος αριθμός, όμως το αποτέλεσμά τους είναι 257, περιττός αριθμός, άρα πρέπει:
    (α) Για x=0 η εξίσωση γίνεται:
    4^x+16^y=257 ==== 4^0+16^y=257 ==== 1+16^y=257 ====
    16^y=257-1 ==== 16^y=256 ==== 16^2=256 ==== y=2
    Άρα το ζεύγος λύσεων είναι: (x,y)=(0.2)
    (β) Για y=0 η εξίσωση γίνεται:
    4^x+16^y=257 ==== 4^x+16^0=257 ==== 4^x+1=257 ====
    4^x=257-1 ==== 4^x=256 ==== 4^4=256 ==== x=4
    Άρα το ζεύγος λύσεων είναι: (x,y)=(4.0)
    (iii) Εδώ παρατηρούμε κάτι διαφορετικό, το πρώτο μέλος της εξίσωσης είναι άθροισμα περιττών αριθμών, οπότε το αποτέλεσμα στο δεύτερο μέλος της εξίσωσης είναι άρτιος αριθμός.
    Εάν (ταυτόχρονα) οι εκθέτες είναι x,y>1, τότε το πρώτο μέλος ξεπερνάει το 10 , άτοπο, οπότε ένας τουλάχιστον εκθέτης να είναι κάτω ή ίσος του 1. Έχουμε διαδοχικά:
    (α) Για x=0 η εξίσωση γίνεται:
    3^x+9^y=10 === 3^0+9^y=10 ==== 1+9^y=10 ====
    9^y=10-1 ==== 9^y=9 ==== 9^1=9 === y=1
    Άρα το ζεύγος λύσεων είναι: (x,y)=(0.1)
    (β) Για x=1 η εξίσωση γίνεται:
    3^x+9^y=10 === 3^1+9^y=10 ==== 3+9^y=10 ====
    9^y=10-3 ==== 9^y=7
    Αδύνατη για κάθε y φυσικό αριθμό.
    (γ) Για y=0 η εξίσωση γίνεται:
    3^x+9^0=10 === 3^x+9^0=10 ==== 3^x+1=10 ====
    3^x=10-1 ==== 3^x=9 ==== 3^2=9 === x=2
    Άρα το ζεύγος λύσεων είναι: (x,y)=(2.0)
    (δ) Για y=1 η εξίσωση γίνεται:
    3^x+9^y=10 === 3^x+9^1=10 ==== 3^x+9=10 ====
    3^x=10-9 ==== 3^x=1 === 3^0=1 ==== x=0
    Άρα το ζεύγος λύσεων είναι: (x,y)=(0.1)
    https://lisari.blogspot.com/2011/07/13.html (άσκησης 1-Γ-α-β-γ)
    (Β) Η Αντιστοιχία
    Η αξία της αγελάδας είναι ίση με 8 σπίνους. Έστω «α» το πρόβατο, «β» ο κόκορας, «γ» ο σπίνος και «δ» η αγελάδα. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
    α+β+γ=..δ (1)
    2β+γ=….α (2)
    2γ =…….β (3)
    Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:
    2β+γ=α == [(2*2γ) + γ] = α == 4γ + γ = α == α = 5γ (4)
    Αντικαθιστούμε τη (3) και τη (4) στην (1) κι’ έχουμε:
    α + β + γ = δ == 5γ + 2γ + γ = δ == δ = 8γ (5)
    Άρα από τ’ ανωτέρω συμπεραίνουμε ότι:
    α) Η αξία του προβάτου ισούται με 5 σπίνους.
    β) Η αξία του κόκορα ισούται με 2 σπίνους
    γ) Η αξία της αγελάδας ισούται με 8 σπίνους.
    Επαλήθευση:
    α + β + γ = δ == 5γ + 2γ + γ = δ == 8γ = δ == 8 σπίνοι = αγελάδα.
    2β + γ = α == [(2*2γ) + γ] = α == 4γ + γ = α == 5γ = α ==
    5 σπίνοι = πρόβατο.
    2γ = β == 2 σπίνοι = κόκορας ο.ε.δ.

  5. Carlo Συντάκτης άρθρου

    Λύσεις
    (Α) Οι Φυσικοί Αριθμοί
    (i) Παρατηρούμε ότι το 2 είναι άρτιος αριθμός, άρα και το 2^x είναι άρτιος αριθμός, όμοια και το 4 είναι άρτιος αριθμός 4^y, άρα και το άθροισμα τους είναι άρτιος αριθμός, όμως το αποτέλεσμά τους είναι 1.025, περιττός αριθμός, άρα πρέπει:
    (α) Για x=0 η εξίσωση γίνεται:
    2^x+4^y=1.025 === 2^0+4^y=1.025 === 1+4^y=1.025 ====
    4^y=1.025-1 ==== 4^y=1.024 === 4^5=1.024 === y=5
    Άρα το ζεύγος λύσεων είναι: (x,y)=(0.5)
    (β) Για y=0 η εξίσωση γίνεται:
    2^x+4^y=1.025 === 2^x+4^0=1.025 === 2^x+1=1.025 ====
    2^x=1.025-1 ==== 2^x=1.024 === 2^10=1.024 === x=10
    Άρα το ζεύγος λύσεων είναι: (x,y)=(10.0)
    (ii) Παρατηρούμε ότι το 4 είναι άρτιος αριθμός, άρα και το 4^x είναι άρτιος, όμοια και το 16 είναι άρτιος αριθμός, άρα και 16^y είναι άρτιος αριθμός, άρα και το άθροισμα τους είναι άρτιος αριθμός, όμως το αποτέλεσμά τους είναι 257, περιττός αριθμός, άρα πρέπει:
    (α) Για x=0 η εξίσωση γίνεται:
    4^x+16^y=257 ==== 4^0+16^y=257 ==== 1+16^y=257 ====
    16^y=257-1 ==== 16^y=256 ==== 16^2=256 ==== y=2
    Άρα το ζεύγος λύσεων είναι: (x,y)=(0.2)
    (β) Για y=0 η εξίσωση γίνεται:
    4^x+16^y=257 ==== 4^x+16^0=257 ==== 4^x+1=257 ====
    4^x=257-1 ==== 4^x=256 ==== 4^4=256 ==== x=4
    Άρα το ζεύγος λύσεων είναι: (x,y)=(4.0)
    (iii) Εδώ παρατηρούμε κάτι διαφορετικό, το πρώτο μέλος της εξίσωσης είναι άθροισμα περιττών αριθμών, οπότε το αποτέλεσμα στο δεύτερο μέλος της εξίσωσης είναι άρτιος αριθμός.
    Εάν (ταυτόχρονα) οι εκθέτες είναι x,y>1, τότε το πρώτο μέλος ξεπερνάει το 10 , άτοπο, οπότε ένας τουλάχιστον εκθέτης να είναι κάτω ή ίσος του 1. Έχουμε διαδοχικά:
    (α) Για x=0 η εξίσωση γίνεται:
    3^x+9^y=10 === 3^0+9^y=10 ==== 1+9^y=10 ====
    9^y=10-1 ==== 9^y=9 ==== 9^1=9 === y=1
    Άρα το ζεύγος λύσεων είναι: (x,y)=(0.1)
    (β) Για x=1 η εξίσωση γίνεται:
    3^x+9^y=10 === 3^1+9^y=10 ==== 3+9^y=10 ====
    9^y=10-3 ==== 9^y=7
    Αδύνατη για κάθε y φυσικό αριθμό.
    (γ) Για y=0 η εξίσωση γίνεται:
    3^x+9^0=10 === 3^x+9^0=10 ==== 3^x+1=10 ====
    3^x=10-1 ==== 3^x=9 ==== 3^2=9 === x=2
    Άρα το ζεύγος λύσεων είναι: (x,y)=(2.0)
    (δ) Για y=1 η εξίσωση γίνεται:
    3^x+9^y=10 === 3^x+9^1=10 ==== 3^x+9=10 ====
    3^x=10-9 ==== 3^x=1 === 3^0=1 ==== x=0
    Άρα το ζεύγος λύσεων είναι: (x,y)=(0.1)
    https://lisari.blogspot.com/2011/07/13.html (άσκησης 1-Γ-α-β-γ)
    (Β) Η Αντιστοιχία
    Η αξία της αγελάδας είναι ίση με 8 σπίνους. Έστω «α» το πρόβατο, «β» ο κόκορας, «γ» ο σπίνος και «δ» η αγελάδα. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
    α+β+γ=..δ (1)
    2β+γ=….α (2)
    2γ =…….β (3)
    Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:
    2β+γ=α == [(2*2γ) + γ] = α == 4γ + γ = α == α = 5γ (4)
    Αντικαθιστούμε τη (3) και τη (4) στην (1) κι’ έχουμε:
    α + β + γ = δ == 5γ + 2γ + γ = δ == δ = 8γ (5)
    Άρα από τ’ ανωτέρω συμπεραίνουμε ότι:
    α) Η αξία του προβάτου ισούται με 5 σπίνους.
    β) Η αξία του κόκορα ισούται με 2 σπίνους
    γ) Η αξία της αγελάδας ισούται με 8 σπίνους.
    Επαλήθευση:
    α + β + γ = δ == 5γ + 2γ + γ = δ == 8γ = δ == 8 σπίνοι = αγελάδα.
    2β + γ = α == [(2*2γ) + γ] = α == 4γ + γ = α == 5γ = α ==
    5 σπίνοι = πρόβατο.
    2γ = β == 2 σπίνοι = κόκορας ο.ε.δ.
    lisari.blogspot.com: Διασκεδαστικά Μαθηματικά – Part IIΙ

Απάντηση