Ο γρίφος της Κυριακής “Δύο Γρίφοι Σ΄ Έναν”

5 σχόλια

1. michalis zartoulas 15/05/2022

   α)i)χ=0,y=5 ii)x=0,y=2 iii)x=2,y=0
   β)χ+y+z=n(1),2y+z=x(2),y=2z(3)
   2y+z+y+z=n, δηλ.4z+z+2z+z=n, n=8z.
   Απάντηση 8

2. michalis zartoulas 15/05/2022

   Βάζω και μία δική μου για όσους προετοιμάζονται για JBMO.
   Έστω τρίγωνο ABC με <A=70 μοίρες ,<B=60μοίρες, το ορθόκεντρό του H, το περίκεντρό του O και η παράλληλος από το O προς τη BC που τέμνει την AB στο K. Αν Z το μέσον του AH, να υπολογίσετε
   α)Τη γωνία <AZK.
   β) Τη γωνία <AZC.

3. ΚΔ 15/05/2022

   (A) Oι 2 πρώτες αδύνατες γιατί άρτιος διάφορος περιττού. Η 3η έχει λύσεις τα ζεύγη (x,y)=(0,1) και (2,0).
   (Β) π+κ+σ=α (1)
   2κ+σ=π (2)
   2σ=κ (3)
   Η (2) λόγω (3) γίνεται 5σ=π (4)
   Η (1) λόγω (3),(4) γίνεται 8σ=α

4. Carlo Συντάκτης άρθρου16/05/2022

   Λύσεις
   (Α) Οι Φυσικοί Αριθμοί
   (i) Παρατηρούμε ότι το 2 είναι άρτιος αριθμός, άρα και το 2^x είναι άρτιος αριθμός, όμοια και το 4 είναι άρτιος αριθμός 4^y, άρα και το άθροισμα τους είναι άρτιος αριθμός, όμως το αποτέλεσμά τους είναι 1.025, περιττός αριθμός, άρα πρέπει:
   (α) Για x=0 η εξίσωση γίνεται:
   2^x+4^y=1.025 === 2^0+4^y=1.025 === 1+4^y=1.025 ====
   4^y=1.025-1 ==== 4^y=1.024 === 4^5=1.024 === y=5
   Άρα το ζεύγος λύσεων είναι: (x,y)=(0.5)
   (β) Για y=0 η εξίσωση γίνεται:
   2^x+4^y=1.025 === 2^x+4^0=1.025 === 2^x+1=1.025 ====
   2^x=1.025-1 ==== 2^x=1.024 === 2^10=1.024 === x=10
   Άρα το ζεύγος λύσεων είναι: (x,y)=(10.0)
   (ii) Παρατηρούμε ότι το 4 είναι άρτιος αριθμός, άρα και το 4^x είναι άρτιος, όμοια και το 16 είναι άρτιος αριθμός, άρα και 16^y είναι άρτιος αριθμός, άρα και το άθροισμα τους είναι άρτιος αριθμός, όμως το αποτέλεσμά τους είναι 257, περιττός αριθμός, άρα πρέπει:
   (α) Για x=0 η εξίσωση γίνεται:
   4^x+16^y=257 ==== 4^0+16^y=257 ==== 1+16^y=257 ====
   16^y=257-1 ==== 16^y=256 ==== 16^2=256 ==== y=2
   Άρα το ζεύγος λύσεων είναι: (x,y)=(0.2)
   (β) Για y=0 η εξίσωση γίνεται:
   4^x+16^y=257 ==== 4^x+16^0=257 ==== 4^x+1=257 ====
   4^x=257-1 ==== 4^x=256 ==== 4^4=256 ==== x=4
   Άρα το ζεύγος λύσεων είναι: (x,y)=(4.0)
   (iii) Εδώ παρατηρούμε κάτι διαφορετικό, το πρώτο μέλος της εξίσωσης είναι άθροισμα περιττών αριθμών, οπότε το αποτέλεσμα στο δεύτερο μέλος της εξίσωσης είναι άρτιος αριθμός.
   Εάν (ταυτόχρονα) οι εκθέτες είναι x,y>1, τότε το πρώτο μέλος ξεπερνάει το 10 , άτοπο, οπότε ένας τουλάχιστον εκθέτης να είναι κάτω ή ίσος του 1. Έχουμε διαδοχικά:
   (α) Για x=0 η εξίσωση γίνεται:
   3^x+9^y=10 === 3^0+9^y=10 ==== 1+9^y=10 ====
   9^y=10-1 ==== 9^y=9 ==== 9^1=9 === y=1
   Άρα το ζεύγος λύσεων είναι: (x,y)=(0.1)
   (β) Για x=1 η εξίσωση γίνεται:
   3^x+9^y=10 === 3^1+9^y=10 ==== 3+9^y=10 ====
   9^y=10-3 ==== 9^y=7
   Αδύνατη για κάθε y φυσικό αριθμό.
   (γ) Για y=0 η εξίσωση γίνεται:
   3^x+9^0=10 === 3^x+9^0=10 ==== 3^x+1=10 ====
   3^x=10-1 ==== 3^x=9 ==== 3^2=9 === x=2
   Άρα το ζεύγος λύσεων είναι: (x,y)=(2.0)
   (δ) Για y=1 η εξίσωση γίνεται:
   3^x+9^y=10 === 3^x+9^1=10 ==== 3^x+9=10 ====
   3^x=10-9 ==== 3^x=1 === 3^0=1 ==== x=0
   Άρα το ζεύγος λύσεων είναι: (x,y)=(0.1)
   https://lisari.blogspot.com/2011/07/13.html (άσκησης 1-Γ-α-β-γ)
   (Β) Η Αντιστοιχία
   Η αξία της αγελάδας είναι ίση με 8 σπίνους. Έστω «α» το πρόβατο, «β» ο κόκορας, «γ» ο σπίνος και «δ» η αγελάδα. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
   α+β+γ=..δ (1)
   2β+γ=….α (2)
   2γ =…….β (3)
   Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:
   2β+γ=α == [(2*2γ) + γ] = α == 4γ + γ = α == α = 5γ (4)
   Αντικαθιστούμε τη (3) και τη (4) στην (1) κι’ έχουμε:
   α + β + γ = δ == 5γ + 2γ + γ = δ == δ = 8γ (5)
   Άρα από τ’ ανωτέρω συμπεραίνουμε ότι:
   α) Η αξία του προβάτου ισούται με 5 σπίνους.
   β) Η αξία του κόκορα ισούται με 2 σπίνους
   γ) Η αξία της αγελάδας ισούται με 8 σπίνους.
   Επαλήθευση:
   α + β + γ = δ == 5γ + 2γ + γ = δ == 8γ = δ == 8 σπίνοι = αγελάδα.
   2β + γ = α == [(2*2γ) + γ] = α == 4γ + γ = α == 5γ = α ==
   5 σπίνοι = πρόβατο.
   2γ = β == 2 σπίνοι = κόκορας ο.ε.δ.

5. Carlo Συντάκτης άρθρου16/05/2022

   Λύσεις
   (Α) Οι Φυσικοί Αριθμοί
   (i) Παρατηρούμε ότι το 2 είναι άρτιος αριθμός, άρα και το 2^x είναι άρτιος αριθμός, όμοια και το 4 είναι άρτιος αριθμός 4^y, άρα και το άθροισμα τους είναι άρτιος αριθμός, όμως το αποτέλεσμά τους είναι 1.025, περιττός αριθμός, άρα πρέπει:
   (α) Για x=0 η εξίσωση γίνεται:
   2^x+4^y=1.025 === 2^0+4^y=1.025 === 1+4^y=1.025 ====
   4^y=1.025-1 ==== 4^y=1.024 === 4^5=1.024 === y=5
   Άρα το ζεύγος λύσεων είναι: (x,y)=(0.5)
   (β) Για y=0 η εξίσωση γίνεται:
   2^x+4^y=1.025 === 2^x+4^0=1.025 === 2^x+1=1.025 ====
   2^x=1.025-1 ==== 2^x=1.024 === 2^10=1.024 === x=10
   Άρα το ζεύγος λύσεων είναι: (x,y)=(10.0)
   (ii) Παρατηρούμε ότι το 4 είναι άρτιος αριθμός, άρα και το 4^x είναι άρτιος, όμοια και το 16 είναι άρτιος αριθμός, άρα και 16^y είναι άρτιος αριθμός, άρα και το άθροισμα τους είναι άρτιος αριθμός, όμως το αποτέλεσμά τους είναι 257, περιττός αριθμός, άρα πρέπει:
   (α) Για x=0 η εξίσωση γίνεται:
   4^x+16^y=257 ==== 4^0+16^y=257 ==== 1+16^y=257 ====
   16^y=257-1 ==== 16^y=256 ==== 16^2=256 ==== y=2
   Άρα το ζεύγος λύσεων είναι: (x,y)=(0.2)
   (β) Για y=0 η εξίσωση γίνεται:
   4^x+16^y=257 ==== 4^x+16^0=257 ==== 4^x+1=257 ====
   4^x=257-1 ==== 4^x=256 ==== 4^4=256 ==== x=4
   Άρα το ζεύγος λύσεων είναι: (x,y)=(4.0)
   (iii) Εδώ παρατηρούμε κάτι διαφορετικό, το πρώτο μέλος της εξίσωσης είναι άθροισμα περιττών αριθμών, οπότε το αποτέλεσμα στο δεύτερο μέλος της εξίσωσης είναι άρτιος αριθμός.
   Εάν (ταυτόχρονα) οι εκθέτες είναι x,y>1, τότε το πρώτο μέλος ξεπερνάει το 10 , άτοπο, οπότε ένας τουλάχιστον εκθέτης να είναι κάτω ή ίσος του 1. Έχουμε διαδοχικά:
   (α) Για x=0 η εξίσωση γίνεται:
   3^x+9^y=10 === 3^0+9^y=10 ==== 1+9^y=10 ====
   9^y=10-1 ==== 9^y=9 ==== 9^1=9 === y=1
   Άρα το ζεύγος λύσεων είναι: (x,y)=(0.1)
   (β) Για x=1 η εξίσωση γίνεται:
   3^x+9^y=10 === 3^1+9^y=10 ==== 3+9^y=10 ====
   9^y=10-3 ==== 9^y=7
   Αδύνατη για κάθε y φυσικό αριθμό.
   (γ) Για y=0 η εξίσωση γίνεται:
   3^x+9^0=10 === 3^x+9^0=10 ==== 3^x+1=10 ====
   3^x=10-1 ==== 3^x=9 ==== 3^2=9 === x=2
   Άρα το ζεύγος λύσεων είναι: (x,y)=(2.0)
   (δ) Για y=1 η εξίσωση γίνεται:
   3^x+9^y=10 === 3^x+9^1=10 ==== 3^x+9=10 ====
   3^x=10-9 ==== 3^x=1 === 3^0=1 ==== x=0
   Άρα το ζεύγος λύσεων είναι: (x,y)=(0.1)
   https://lisari.blogspot.com/2011/07/13.html (άσκησης 1-Γ-α-β-γ)
   (Β) Η Αντιστοιχία
   Η αξία της αγελάδας είναι ίση με 8 σπίνους. Έστω «α» το πρόβατο, «β» ο κόκορας, «γ» ο σπίνος και «δ» η αγελάδα. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
   α+β+γ=..δ (1)
   2β+γ=….α (2)
   2γ =…….β (3)
   Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:
   2β+γ=α == [(2*2γ) + γ] = α == 4γ + γ = α == α = 5γ (4)
   Αντικαθιστούμε τη (3) και τη (4) στην (1) κι’ έχουμε:
   α + β + γ = δ == 5γ + 2γ + γ = δ == δ = 8γ (5)
   Άρα από τ’ ανωτέρω συμπεραίνουμε ότι:
   α) Η αξία του προβάτου ισούται με 5 σπίνους.
   β) Η αξία του κόκορα ισούται με 2 σπίνους
   γ) Η αξία της αγελάδας ισούται με 8 σπίνους.
   Επαλήθευση:
   α + β + γ = δ == 5γ + 2γ + γ = δ == 8γ = δ == 8 σπίνοι = αγελάδα.
   2β + γ = α == [(2*2γ) + γ] = α == 4γ + γ = α == 5γ = α ==
   5 σπίνοι = πρόβατο.
   2γ = β == 2 σπίνοι = κόκορας ο.ε.δ.
   lisari.blogspot.com: Διασκεδαστικά Μαθηματικά – Part IIΙ