Ο Γρίφος της Τετάρτης: “Πως θα Περάσουν”

Α) Πως θα Περάσουν

Ένα στρατιωτικό απόσπασμα πρέπει να διασχίσει έναν ποταμό. Η γέφυρα είναι κατεστραμμένη και το νερό βαθύ.  Είναι επείγον να περάσουν στην απέναντι όχθη σύντομα. Τι μπορούν να κάνουν άραγε; Αίφνης, ο υπεύθυνος αξιωματικός αντιλαμβάνεται δυο αγόρια, να παίζουνε με μια σχεδία, κοντά στην ακτή. Η σχεδία είναι αρκετά μικρή, έτσι ώστε μπορεί να κρατήσει το πολύ δυο αγόρια ή έναν στρατιώτη.
Τελικά όλοι οι στρατιώτες κατάφεραν να περάσουν το ποτάμι, χρησιμοποιώντας την σχεδία. Με ποιόν τρόπο;

Β) Το Τελευταίο Ψηφίο

Ποιο είναι το τελευταίο  της ανωτέρω παράστασης;

7 σχόλια

  1. michalis zartoulas

    α) την αφήνω για τους μαθητές του δημοτικού.
    β) το 7^n τελειώνει σε {1,3,7,9} 7^1=7,7^2=49,7^3=343,7^4=2401
    αφού 2008=πολλ.4, το 7^2008 λήγει σε 1
    άρα το 7^2011 λήγει σε 3

  2. Carlo Συντάκτης άρθρου

    Λύσεις:
    (Α) Πως θα Περάσουν
    Έστω “Α” η μία όχθη του ποταμού και “Β” η απέναντι όχθη του ποταμού.
    Αφετηρία: Όλοι βρίσκονται στην όχθη “Α”
    1η.Διαδρομή: Περνάνε τα δύο παιδιά στην όχθη “Β”.
    2η.Διαδρομή: Μένει το πρώτο παιδί στην όχθη “Β” και περνάει το δεύτερο παιδί στην όχθη “Α”.
    3η.Διαδρομή: Περνάει στην όχθη “Β” ο πρώτος στρατιώτης.
    4η.Διαδρομή: Περνάει στην όχθη “Α” το πρώτο παιδί.
    5η.Διαδρομή: Περνάνε τα δύο παιδιά στην όχθη “Β”.
    6η.Διαδρομή: Μένει το πρώτο παιδί στην όχθη “Β” και περνάει το δεύτερο παιδί στην όχθη “Α”.
    7η.Διαδρομή: Περνάει στην όχθη “Β” ο δεύτερος στρατιώτης.
    ……………..
    ……………..
    ……………..
    Επαναλαμβάνεται η ίδια διαδικασία, μέχρι να περάσουν όλοι οι στρατιώτες για να φθάσουμε στη τελική διαδρομή, όπου τα δύο παιδιά θα βρίσκονται μόνα τους στην όχθη “Α”, που είναι η
    Ν-οστή Διαδρομή: Περνάνε τα δύο παιδιά στην όχθη “Β”.
    Με αυτή τη διαδικασία περνάνε όλοι από την όχθη “Α” στην όχθη “Β”.
    Έστω Σ1-Σν το στρατιωτικό απόσπασμα και Α1, Α2 τα δύο παιδιά. Όρα το διάγραμμα για το πως θα περάσουν από την όχθη Α΄ στην όχθη Β΄ εδώ:
    https://imgur.com/a/hGxR1uH
    Πηγή: lisari.blogspot.com: 9ος Γρίφος: Γέφυρα και στρατιώτες
    (Β) Το Τελευταίο Ψηφίο
    Heizenberg; Αρχή της απροσδιοριστίας;
    7^2=-1(mod10)
    7^2.006=-1(mod10)
    7^2.007=3(mod10)
    7^2.011=3(mod10)
    Άρα το τελευταίο ψηφίο είναι 3.
    7^1=7 (τελευταίο ψηφίο 7)
    7^2=49 (τελευταίο ψηφίο 9)
    7^3=343 (τελευταίο ψηφίο 3)
    7^4=2401 (τελευταίο ψηφίο 1)
    7^5=16.807 (τελευταίο ψηφίο 7)
    …κλπ
    Παρατηρούμε μια “περιοδικότητα” με περίοδο 4 στην εμφάνιση του τελευταίου ψηφίου. (Το τελευταίο ψηφίο οιασδήποτε δύναμης μπορεί να είναι-διαδοχικά- κάποιος από τους αριθμούς 7,9,3 και 1, ξεκινώντας από το 7^1=7).
    Έτσι λοιπόν, και επειδή 2.011/4
    δίνει πηλίκο 502 και υπόλοιπο 3, το τελευταίο ψηφίο θα είναι το 3.
    Ή (πιο φορμαλιστικά):
    2.011=3(mod4)
    Ο αριθμός 7^2.011 έχει 1.700 ψηφία!
    2.011=3(mod4) και επίσης:
    7^2.011=3(mod10).
    Πηγή: lisari.blogspot.com: 19η Άλυτη άσκηση: Τελευταίο ψηφίο please!

  3. Carlo Συντάκτης άρθρου

    Συμπλήρωμα του (Β) Το Τελευταίο Ψηφίο.
    Αντίστοιχη μορφή μαθηματικών παρατηρούμε την ίδια περίοδο του 16ου π.Χ. αιώνα στον αιγυπτιακό πάπυρο του Rhind. Το πρόβλημα που επιλύει είναι σχετικό με μια γεωμετρική πρόοδο με ακέραια πολλαπλάσια του 7 και στο τέλος ευρίσκει το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων. Το πρόβλημα έχει ως εξής: Σε 7 σπίτια (pr w) είναι 7 γάτες (myw w), που κάθε μια τρώει 7 ποντίκια (pnw w). Αν κάθε ποντίκι έτρωγε 7 στάχια σίτου (bd t), που αν τα έσπερνε κάποιος, θα παρήγαγαν 7πλάσια μονάδα Hekat, πόσο στάρι σώθηκε.
    Το αποτέλεσμα (dmd) των πράξεων παρατηρούμε από τον παρατιθέμενο πίνακα, που στο τέλος κάνει την πράξη:
    (7+49+343+2301+16.807)=19.607
    Το μαθηματικό πρόβλημα της γεωμετρικής προόδου παρατηρούμε ότι είναι γνωστό στους Αιγυπτίους από τον 16ο αιώνα π.Χ. με ακεραίους αριθμούς και συγκεκριμένα πολλαπλάσια του 7.

  4. michalis zartoulas

    Θα ήθελα λύση σε αυτό
    Έχουμε ένα κομμάτι ξύλου σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με διαστάσεις 12cm,10cm και 3cm.Το βάφουμε όλο ροζ και το κόβουμε σε 360 μικρούς κύβους ακμής 1cm.Να βρείτε πόσοι από αυτούς θα έχουν ροζ μπογιά πάνω τους.

  5. Carlo Συντάκτης άρθρου

    @michalis zartoulas
    Δυστυχώς στη Γεωμετρία δεν τα πάω και τόσο καλά

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *