(Α) Ο Αριθμός
Ο Ηρακλής σκέφτηκε ένα ακέραιο αριθμός μεταξύ του 50 και του 60.
Όταν ο αριθμός αυτός διαιρεθεί με το 8 αφήνει υπόλοιπο 6
Και όταν ο αριθμός αυτός διαιρεθεί με το 11 αφήνει υπόλοιπο 10.
Ποιος είναι ο αριθμός που σκέφτηκε ο Ηρακλής;
(Β) Μαθηματικό Κουίζ
Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι το θεώρημα Wilson:
a) n!+1 διαιρείται με το n.
b) n!−1 διαιρείται με το n.
c) (n−1)!+1 διαιρείται με το n.
d) (n+1)!−1 διαιρείται με το n.
e) (n−1)!−1 διαιρείται με το n.(Γ) Διαιρέτες Αριθμού
Μια καθηγήτρια γράφει στον πίνακα έναν ακέραιο αριθμό και ρωτάει έναν έναν τους 30 μαθητές της, ποιοι είναι οι διαιρέτες του.
Ένας μαθητής λέει, ότι ο αριθμός διαιρείται με το 1.
Ένας άλλος μαθητής λέει, ότι ο αριθμός διαιρείται με το 2.
Ο τρίτος μαθητής λέει, ότι ο αριθμός διαιρείται με το 3, και ούτω καθεξής, μέχρι τον τελευταίο μαθητή, ο οποίος λέει ότι ο αριθμός διαιρείται με το 30.
Δύο από τις ανωτέρω δηλώσεις των μαθητών είναι λανθασμένες και μάλιστα διαδοχικές.
Ποιες ήταν οι δηλώσεις των μαθητών που δεν ήταν σωστές;
(Α) Ο Αριθμός
Ο Αριθμός 54. Από τον τύπο της Ευκλείδιας διαίρεσης
Δ=δ*π+6 έχουμε:
δ*π=Δ-6 === δ=(Δ-6)/π === δ=(Δ-6)/8 (1)
Με δοκιμές έχουμε:
Για Δ=50, δ=(Δ-6)/8 ==== δ=(50-6)/8 ==== δ=44/8 απορρίπτεται.
Για Δ=51, δ=(Δ-6)/8 ==== δ=(51-6)/8 ==== δ=45/8 απορρίπτεται.
Για Δ=52, δ=(Δ-6)/8 ==== δ=(52-6)/8 ==== δ=46/8 απορρίπτεται.
Για Δ=53, δ=(Δ-6)/8 ==== δ=(53-6)/8 ==== δ=47/8 απορρίπτεται.
Για Δ=54, δ=(Δ-6)/8 ==== δ=(54-6)/8 ==== δ=48/8 Αποδεκτό.
Πηγή: http://eisatopon.blogspot.com/2011/01/blog-post_28.html
(Β) Μαθηματικό Κουίζ
Aν n ακέραιος μεγαλύτερος από 1, ο n είναι πρώτος αριθμός αν και μόνον αν (n-1)!= -1 mod n
Συνεπώς σωστή είναι η (c) διότι:
(n-1)!+1 = -1 mod n +1 mod n = 0 mod n
Πηγή: Διασκεδαστικά Μαθηματικά: ▪ 1 – Μαθηματικό κουίζ (eisatopon.blogspot.com)
(Γ) Διαιρέτες Αριθμού
Από Μιχάλη Ζαρτούλα
Carlo, καλημέρα. Μία προσέγγιση για τον τρίτο γρίφο.
Αν δεν διαιρείται με το 2, δεν θα διαιρείται με κανέναν από τους {4,6,8} και θα έχουμε πάνω από 2 ψέματα, άτοπο!! Ομοίως καταλήγουμε ότι διαιρείται με τους αριθμούς {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, άρα και με τους αριθμούς {12,14,15,18,20,21,24,28,30}. Επομένως μας μένουν οι αριθμοί {11,13,16,17,19,22,23,25,26,27,29} από τους οποίους οι αριθμοί {11,13,19,29} είναι σωστές απαντήσεις, εφόσον οι απαντήσεις {10,12,14,18,20,28,30} είναι σωστές. Άρα αφού οι απαντήσεις {2,11,13,19,29} είναι σωστές , έπεται ότι και οι απαντήσεις {11,13,19,22,26,29} είναι σωστές, οπότε τώρα μας μένουν οι απαντήσεις {16,17,23,25,27} από τις οποίες συμπεραίνουμε ότι το ζητούμενο ζεύγος λανθασμένων απαντήσεων είναι (16,17).
Επίσης για τον πρώτο γρίφο το πρώτο δεδομένο είναι περιττή πληροφορία. Ο αριθμός είναι της μορφής 11m+10, όπου m φυσικός αριθμός. Επομένως 50<11m+10<60 που θα μας δώσει 40<11m<50, δηλαδή m=4. Έτσι ο ζητούμενος αριθμός είναι το 54. Για τον δεύτερο γρίφο η σωστή απάντηση είναι το γ. Πάντως ο τρίτος γρίφος ήταν ιδιαίτερα ωραίος!! (Μιχάλης Ζαρτούλας)
Κώστα, εκεί που λέει “γράψτε το σχόλιο σας εδώ” γράφεις το σχόλιο και μετά πηγαίνεις δεξιά εκεί που γράφει “Δημοσίευση σχολίου” πατάς επάνω και δημοσιεύεται το σχόλιο.
Επικοινώνησε με τον θανάση Παπαδημητρίου και το Μιχάλη Ζαρτούλα κι’ ενημέρωσέ τους.
Φιλικά,
Carlo