(Α) Δύο Tρένα
Δύο τρένα ξεκινούν στις 7 π.μ., το ένα κατευθύνεται από το Α προς το Β και το άλλο από το Β προς το Α. Το πρώτο φτάνει στον προορισμό του σε 8 ώρες, το δεύτερο σε 12. Ποια ώρα θα περάσουν τα δύο τρένα το ένα από το άλλο;
(Β) Η Διαδρομή
Ένας δραπετεύει από τη φυλακή Dartmoor και μετά από μισή ώρα δύο δεσμοφύλακες και ένας σκύλος τον κυνηγούν. Η ταχύτητα των δεσμοφυλάκων είναι 4 μίλια την ώρα, η ταχύτητα του σκύλου είναι 12 μίλια την ώρα, και η ταχύτητα του δραπέτη 3 μίλια την ώρα. Ο σκύλος τρέχει μέχρι τον δραπέτη και μετά επιστρέφει πίσω στους δεσμοφύλακες, και ούτω καθεξής, πέρα δώθε μέχρι οι φύλακες να πιάσουν τον δραπέτη. Πόσα μίλια συνολικά κάλυψε σ’ αυτό το διάστημα ο σκύλος;
(Γ) Το Πολλαπλάσιο
Να αποδείξετε ότι, εάν το (10α+β) είναι πολλαπλάσιο του 7, τότε και το (α–2β) πρέπει επίσης να είναι πολλαπλάσιο του 7.
(Α) Δύο Tρένα
Η αναλογία των ταχυτήτων των τρένων είναι 3:2, επομένως σε δεδομένο χρονικό διάστημα θα καλύπτουν αποστάσεις σε αυτή την αναλογία. Έτσι θα συναντήσουν τα 3/5 της διαδρομής από το Α στο Β. Το ταχύτερο
τρένο θα φτάσει σε αυτό το σημείο σε 3/5 των 8 ωρών ή στις 11:48 π.μ.
(Μια άλλη προσέγγιση: Σε κάθε ώρα ταξιδιού τα τρένα καλύπτουν το 1/8 και το 1/12 της απόστασης ΑΒ, αντίστοιχα, μειώνοντας την απόσταση μεταξύ τους κατά 1/8 + 1/12 = 5/24 της συνολικής απόστασης μεταξύ Α και Β. Έτσι θα συναντηθούν μετά από 24/5 ώρες ή, πάλι, 4 ώρες 48 λεπτά.)
Πηγή: https://www.futilitycloset.com/2022/06/14/two-trains/
(Β) Η Διαδρομή
Ο σκύλος στο διάστημα αυτό κάλυψε 18 μίλια. Ο δραπέτης έχει προβάδισμα 1,5 μιλίου και τρέχει με σχετική ταχύτητα 1 μίλι την ώρα, οι φύλακες θα τον πιάσουν σε 1,5 ώρα. Εάν ο σκύλος τρέχει με 12 μ/ω, θα καλύψει 18 μίλια σε αυτό το διάστημα.
Σημείωση:
Παραλλαγή του προβλήματος. Λέγεται ότι κάποτε πλησίασαν τον John von Neumann(1903 – 1957), γνωστό για τις τρομερές μαθηματικές του ικανότητες, και του έθεσαν το κατωτέρω πρόβλημα:
Δύο τρένα που απέχουν 200χλμ. τρέχουν με ταχύτητα 50χλμ./ώρα το καθένα σε αντίθετες κατευθύνσεις επάνω σε μια ευθεία. Μία μύγα ξεκινάει πετώντας από το ένα τρένο στο άλλο και αρχίζει να κάνει μπρος-πίσω ανάμεσα στα δύο τρένα, μέχρις ότου συναντηθούν τα δύο τρένα, με σταθερή ταχύτητα 75χλμ./ώρα. Πόσα χιλιόμετρα θα έχει διανύσει η μύγα μέχρι να συναντηθούν τα τρένα;
Ο John von Neumann μετά από λίγη σκέψη (3΄΄ ) είπε το σωστό νούμερο, 150 χιλιόμετρα.
“Περίεργο”, του είπε ο συνομιλητής του. “Υπάρχει ο εύκολος τρόπος και
ο τρόπος με σειρές. Συνήθως οι μαθηματικοί στους οποίους έθεσα
το πρόβλημα προσπαθούν να υπολογίσουν το άθροισμα της σειράς και κάνουν πολλή ώρα. Ενώ εσείς το αποφύγατε”.
“Μα και εγώ με σειρά το έλυσα”, του απάντησε ο John von Neumann και τον άφησε άναυδο!
Ή (Παραλλαγή απάντησης)
Και μια σχετική ιστοριούλα: Το πρόβλημα αυτό τέθηκε από κάποιον στον John von
Neumann, ο οποίος είχε τη φήμη του ιδιαίτερα ευφυούς μαθηματικού. Αυτός
σκέφτηκε για 3 (!) δευτερόλεπτα και απάντησε:
«Είναι πολύ απλό: 150 χιλιόμετρα».
Ο συνομιλητής του τότε του είπε:
«Συγχαρητήρια κύριε Neumann. Σχεδόν όλοι προσπαθούν να λύσουν αυτό το πρόβλημα υπολογίζοντας την άπειρη ακολουθία».
Και ο John von Neumann απάντησε:
«Α, γιατί; υπάρχει και άλλος τρόπος;»
Πηγή: Ένα παζλ από το RM Abraham’s Diversions & Pastimes , 1933:
(Γ) Το Πολλαπλάσιο
Αν το (10α+β) είναι πολλαπλάσιο του 7, τότε (10α+β)=7n (1) , όπου n είναι ακέραιος αριθμός.
Λύνουμε την εξίσωση (1) ως προς β κι’ έχουμε:
β=7n-10α (2)
Αντικαθιστούμε την τιμή του β στην παράσταsη (α-2β) κι’ έχουμε:
α–2β === α–2*(7n–10α) === α-14n+20α === 21α-14n
που είναι πολλαπλάσιο του 7.
Αυτή η λύση είναι του Eric Zhang.
Πηγή: https://www.futilitycloset.com/2022/05/20/birds-of-a-feather-2/
Από Μιχάλη Ζαρτούλα
Carlo, καλημέρα. Πολύ ωραίοι όλοι οι γρίφοι !!
Για τον πρώτο τα τρένα καλύπτουν αθροιστικά τα 1/8+1/12 που κάνει 5/24 της διαδρομής κάθε ώρα, επομένως θα συναντηθούν σε 4 ώρες και 48 λεπτά, άρα στις 11:48 .
Για τον δεύτερο οι φύλακες θα πιάσουν τον δραπέτη σε μιάμιση ώρα, οπότε ο σκύλος σε αυτό τον χρόνο θα διανύσει 18 χιλιόμετρα.
Για τον τρίτο παρατηρούμε ότι:
10α+β=πολ.7 και 21β=πολ.7, άρα (10α+β)-21β=10(α-2β)=πολ.7.
Τώρα επειδή ΜΚΔ(7,10)=1, αναγκαστικά πρέπει α-2β=πολ.7 και τελειώσαμε.