(Α) Η Απόδειξη
Σε μία συνάντηση πολιτικών παραβρέθηκαν αρκετοί γνωστοί από αυτούς, οι οποίοι έπρεπε να ανταλλάξουν μεταξύ τους χειραψίες.
Είχαν όλοι διαφορετικό ύψος και ο καθένας δεν δεχόταν να ανταλλάξει χειραψία με κάποιον που είναι πιο κοντός από αυτόν.
Να αποδείξετε ότι δεν μπορεί να γίνει καμία χειραψία, ανεξάρτητα από το πλήθος των ανθρώπων που παραβρέθηκαν στη συνάντηση.
(Β) Η Πιθανότητα
Φτιάχνουμε ένα τρίγωνο με τρεις τυχαίες κορυφές ενός κανονικού
20-γώνου.
Να υπολογίσετε την πιθανότητα το τρίγωνο αυτό να είναι αμβλυγώνιο.
Προτάθηκαν από τον Μιχάλη Ζαρτούλα.
A.Aν γινόταν χειραψία θα έπρεπε οι 2 πολιτικοί να είναι ισουψείς, άτοπο αφού όλοι έχουν διαφορετικά ύψη. Άρα δεν έγινε.
Β.Δυνατές περιπτώσεις 20 ανά 3=1140, που είναι όλα τα τρίγωνα με κορυφές του καν.20γώνου. Υπάρχουν 20 τόξα 18μοιρών και όλα τα άλλα τόξα είναι πολλ.18. Άρα οι αμβλείες γωνίες των τριγώνων πρέπει να είναι πολλ.9, αφού κάθε εγγεγραμμένη σε 18 είναι 9. Τα μέτρα των αμβλειών θα είναι από 99-162 μοίρες.
Αμβλείες με 162 είναι 20, όσες και οι γωνίες του κ. 20γώνου.
Αμβλείες με 153 είναι 2*20, αφού θα πρέπει να είναι εγγεγραμμένες σε 17 τόξα 18 μοιρών (πχ τα τρίγωνα Α1Α2Α4, Α1Α3Α4 με αντίστοιχο τόξο το μη κυρτό Α1Α4).
Αμβλείες με 144 είναι 3*20, με 135 4*20, με 126 5*20, με 117 6*20, με 108 7*20 και με 99 8*20. Σύνολο 720 και η πιθανότητα 720/1140*100=63 και 3/19%.