Γιατί το ημίτονο (και το συνημίτονο) κάνουν κύματα

Σκεφτείτε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Τότε πιθανότατα θα θυμάστε από το σχολείο ότι μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις συναρτήσεις ημιτονοειδούς και συνημιτονοειδούς για να μάθετε περισσότερα για το τρίγωνο. Αν $\άλφα$ είναι μία από τις γωνίες που δεν είναι η σωστή γωνία, τότε έχετε

$\sin (\alpha ) = \frac{\mbox{μήκος αντίθετης πλευράς}}{\mbox{μήκος υποτείνουσας}}$

και

$\cos (\alpha ) =\frac{\mbox{μήκος διπλανής πλευράς}}{\mbox{μήκος υποτείνουσας}}.$

Για τη γωνία α, το ημίτονο δίνει τον λόγο του μήκους της απέναντι πλευράς προς το μήκος της υποτείνουσας. Το συνημίτονο δίνει τον λόγο του μήκους της διπλανής πλευράς προς το μήκος της υποτείνουσας. (Εικόνα από Dnu72 – CC BY-SA 3.0. )

Οι συναρτήσεις ημιτόνου και συνημιτόνου μπορούν να κάνουν πολλά περισσότερα από το να σας βοηθήσουν να λύσετε προβλήματα γεωμετρίας. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη δημιουργία οποιασδήποτε κυματομορφής – τη μουσική που ακούτε, το ψηφιακό σήμα που στέλνετε μέσω wifi, ακόμα και το κύμα στη θάλασσα – ανεξάρτητα από το πόσο περίπλοκες μπορεί να είναι αυτές οι φυσικές ή ανθρωπογενείς ταλαντώσεις.

Γύρνα και γύρο

Το πρώτο βήμα για την κατασκευή ενός κύματος είναι να φανταστούμε έναν κύκλο ακτίνας 1 που σχεδιάζεται σε καρτεσιανές συντεταγμένες , με το κέντρο του κύκλου να βρίσκεται στο σημείο $(x,y)=(0,0).$ Φανταστείτε ότι κινείστε γύρω από τον κύκλο αριστερόστροφα, ξεκινώντας από το δεξιότερο σημείο, $(1,0)$ . Αφού έχετε περιστραφεί σε γωνία $\άλφα$ μικρότερη από 90 μοίρες (που αντιστοιχεί σε μικρότερη από ό ,τι $\pi /2$ σε ακτίνια), το σημείο στο οποίο $(x,y)$ βρίσκεστε ορίζει ένα ορθογώνιο τρίγωνο, με γωνίες $(0,0), (x,0)$ και $(x,y).$ Η υποτείνουσα αυτού του τριγώνου έχει μήκος 1 επειδή το σημείο $(x,y)$ βρίσκεται στο Ο κύκλος της ακτίνας μας είναι 1. Για αυτό το τρίγωνο έχουμε $cos(\alpha )=x$ και $sin(\alpha )=y.$

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται από ένα σημείο του μοναδιαίου κύκλου.

Μπορείτε να συνεχίσετε να κινείστε γύρω από τον κύκλο αριστερόστροφα για να κάνετε τη γωνία $\άλφα$ μεγαλύτερη από $\pi /2.$ Όταν το κάνετε αυτό, το τρίγωνο με γωνίες $(0,0), (x,0)$ και $(x,y)$ δεν έχει πλέον $\άλφα$ ως μία από τις γωνίες του.

Όταν το α είναι μεγαλύτερο από π/2, τότε το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται από ένα σημείο του μοναδιαίου κύκλου δεν περιέχει πλέον τη γωνία α.

Ωστόσο, δεν υπάρχει τίποτα που να σας εμποδίζει να επεκτείνετε τους ορισμούς του ημιτόνου και του συνημίτονος $\άλφα$ σε αναλογία με αυτό που είχαμε πριν:

$\cos {(\alpha )}=x\; \; \; \; \mbox{and}\; \; \; \sin {(\alpha )}=y,$

πού $(x,y)$ είναι οι συντεταγμένες του σημείου στο οποίο βρίσκεστε.

Τι συμβαίνει με το ημίτονο και το συνημίτονο καθώς κινείστε μια φορά γύρω από τον κύκλο; Σε ένα κύκλωμα του κύκλου θα έχετε γυρίσει κατά γωνία $2\pi$ . Καθώς κινηθήκατε γύρω από τον κύκλο η κατακόρυφη συντεταγμένη σας (το ημίτονο) ξεκινούσε από $0$ και αυξανόταν σταθερά μέχρι να φτάσει στο μέγιστο $1$ όταν βρισκόσασταν στην κορυφή του κύκλου. Καθώς συνεχίζατε να το μετακινείτε, έπεφτε $0$ ξανά προς τα κάτω με συμμετρικό τρόπο, πριν φτάσετε στο ελάχιστο $-1$$ , και τελικά ανεβείτε ξανά στο 0.

Εάν σχεδιάσετε πώς η κατακόρυφη συντεταγμένη (με κόκκινο στο παρακάτω σχήμα) μεταβάλλεται με τη γωνία που στρέφεται (από 0 σε $2\pi$ ) θα έχετε ένα κανονικό σχήμα κύματος. Ξεκινά από το 0, ανεβαίνει στο μέγιστο 1, μετά μειώνεται ξανά στο 0, πριν πέσει στο ελάχιστο του -1 και ξανά στο 0.

Το κόκκινο κύμα είναι το ημίτονο της γωνίας που απεικονίζεται έναντι της γωνίας (που προέρχεται από την κατακόρυφη συντεταγμένη) και το μπλε κύμα είναι το συνημίτονο της γωνίας που απεικονίζεται έναντι της γωνίας (που προέρχεται από την οριζόντια συντεταγμένη).

Αυτό το μοτίβο κυμάτων επαναλαμβάνεται καθώς συνεχίζετε να περιφέρεστε για δεύτερη φορά γύρω από τον κύκλο σας, αυξάνοντας τη γωνία που στρίψατε από $2\pi$ έως $4\pi ,$ και για τρίτη φορά ταξιδεύοντας από $4\pi$ έως $6\pi$ και ούτω καθεξής. Καταλήγεις με ένα απείρως μακρύ, απόλυτα κανονικό κύμα. Οι οριζόντιες συντεταγμένες (το συνημίτονο) δίνουν ένα παρόμοιο τέλειο κύμα (χαρακτηρισμένο με μπλε χρώμα επάνω), μετατοπισμένο έναντι του πρώτου κατά μια απόσταση $\pi /2$ κατά μήκος του οριζόντιου άξονα. Αυτό επεκτείνει τον ορισμό μας για το ημίτονο και το συνημίτονο σε γωνίες μεγαλύτερες από $\pi /2$ . (Μπορείτε επίσης να ορίσετε το ημίτονο και το συνημίτονο για τους αρνητικούς αριθμούς περιστρέφοντας τον κύκλο κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού.)

Σφίξιμο και τέντωμα

Είδαμε τώρα πώς η κίνηση γύρω από τον μοναδιαίο κύκλο μπορεί να μας δώσει δύο συναρτήσεις, τη συνάρτηση ημιτόνου και τη συνημίτονο, καθεμία από τις οποίες συνοδεύεται από ένα γράφημα που περιγράφει ένα κανονικό κύμα. Όταν συναντάτε αυτές τις συναρτήσεις σε βιβλία, η μεταβλητή συνήθως καλείται $x$ αντί για $\άλφα$ , οπότε θα δείτε κάτι σαν

$f(x)=\sin {(x)}\; \; \; \; \mbox{and}\; \; \; g(x)=cos{(x)}.$

Θα μεταβούμε σε αυτόν τον συμβολισμό τώρα. Αυτό σημαίνει ότι $x$ τώρα αντιπροσωπεύει αυτό που ήταν η γωνία μας $\άλφα$ και ότι δεν αντιπροσωπεύει πλέον μια συντεταγμένη ενός σημείου στον μοναδιαίο κύκλο. Αυτό είναι δυνητικά λίγο μπερδεμένο, αλλά μείνετε εκεί και θα το συνηθίσετε.

Το μήκος κύματος είναι η απόσταση μεταξύ δύο κορυφών ενός κύματος, και στο παράδειγμά μας μέχρι στιγμής αυτό είναι $2\pi$ . Αυτό συμβαίνει επειδή για να περάσουμε από έναν πλήρη κύκλο του κύματός μας έπρεπε να στρίψουμε σε γωνία $2\pi$ .

Είναι επίσης δυνατό να δημιουργηθούν κύματα με διαφορετικά μήκη κύματος. Για να δημιουργήσετε ένα κύμα με μήκος κύματος $\λάμδα$ πολλαπλασιάζετε τη μεταβλητή $x$ με $2\in /\λάμδα$ για να λάβετε τις συναρτήσεις

$f(x)=\sin {\left(\frac{2\pi }{\lambda }x\right)}\; \; \; \; \mbox{and}\; \; \; \; g(x)=\cos {\left(\frac{2\pi }{\lambda }x\right)}.$

Κάνοντας το μήκος κύματος μικρότερο, ουσιαστικά πιέζετε το κύμα και μακρύτερο το τεντώνετε.

Στην παρακάτω μικροεφαρμογή Geogebra, χρησιμοποιήστε το ρυθμιστικό για να αλλάξετε το μήκος κύματος των ημιτονοειδών (κόκκινο) και συνημιτόνου (μπλε) κυμάτων.

Πηγαίνοντας ψηλότερα και κατεβαίνοντας χαμηλότερα

Οι κορυφές των κυμάτων που έχουμε δημιουργήσει μέχρι τώρα έχουν την τιμή 1 και οι γούρνες την τιμή -1. Για να δημιουργήσετε ένα κύμα που έχει υψηλότερες κορυφές και χαμηλότερες κοιλότητες, απλώς πολλαπλασιάστε ολόκληρη τη συνάρτηση με μια σταθερά $A$ για να πάρετε

$f(x)=A\sin {\left(\frac{2\pi }{\lambda }x\right)}\; \; \; \; \mbox{and}\; \; \; \; g(x)=A\cos {\left(\frac{2\pi }{\lambda }x\right)}.$

Αυτή η σταθερά ονομάζεται πλάτος του κύματος.

Στην παρακάτω μικροεφαρμογή Geogebra χρησιμοποιήστε τα ρυθμιστικά για να διαφοροποιήσετε το πλάτος $A$ και το μήκος κύματος $\λάμδα$ για το ημιτονοειδές κύμα (κόκκινο) και το συνημιτονικό κύμα (μπλε).

Επιτάχυνση και επιβράδυνση

Μέχρι στιγμής τα κύματα που έχουμε δημιουργήσει είναι ακίνητα: δεν αλλάζουν με την πάροδο του χρόνου. Ωστόσο, είναι επίσης δυνατό να δημιουργηθούν κύματα που ταξιδεύουν κατά μήκος. Η κυματική μας συνάρτηση τώρα θα είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών $x$ και $t.$ όπως πριν $x$ αντιπροσωπεύει τη θέση στον οριζόντιο άξονα, ενώ $t$ υποδηλώνει χρόνο. Ας υποθέσουμε ότι θέλετε το κύμα σας να κινείται με ταχύτητα των $v.$ συναρτήσεων

$f(x,t)=A\sin {\left(\frac{2\pi }{\lambda }x-vt\right)}\; \; \; \; \mbox{and}\; \; \; \; g(x,t)=A\cos {\left(\frac{2\pi }{\lambda }x-vt\right)}.$

παράγουν τέτοια κινούμενα κύματα. Εάν διατηρείτε τη μεταβλητή χρόνου $t$ σταθερή, τότε ουσιαστικά βλέπετε ένα στιγμιότυπο στο χρόνο, δίνοντάς σας ένα ακίνητο κύμα όπως αυτά που είχαμε παραπάνω. Εάν διατηρείτε σταθερή την τοποθεσία σας $x$ στον $x$ άξονα -, τότε βλέπετε την αντίστοιχη $y$ μεταβλητή – καθώς κινείται προς τα πάνω και προς τα κάτω με την πάροδο του χρόνου. Είναι λίγο σαν να παρακολουθείς ένα συγκεκριμένο σημείο στην επιφάνεια μιας λίμνης να κινείται πάνω-κάτω καθώς κυματίζουν τα κύματα.

Στην παρακάτω μικροεφαρμογή Geogebra χρησιμοποιήστε το ρυθμιστικό για να αλλάξετε την ταχύτητα. Η ρύθμιση της ταχύτητας στο 0 (ή το πάτημα του κουμπιού παύσης) αντιστοιχεί στον χρόνο διακοπής, επομένως διατηρείτε $t$ σταθερή τη μεταβλητή του χρόνου. Σε αυτήν την περίπτωση βλέπετε ένα στιγμιότυπο στο χρόνο που μοιάζει με ένα συνηθισμένο ημιτονοειδές (ή συνημιτονικό) κύμα, μόνο ίσως μετατοπισμένο κατά μήκος του οριζόντιου άξονα κατά κάποια απόσταση. Η εστίαση στην μπλε κουκκίδα αντιστοιχεί στη διατήρηση της μεταβλητής $x$ σταθερή. (Δεν σας δίνουμε την επιλογή να αλλάξετε το μήκος κύματος και το πλάτος εδώ, καθώς η υπερβολική επιλογή μπορεί να προκαλέσει σύγχυση!)

Ο λόγος που το επιχείρημα των συναρτήσεών μας τώρα είναι $x-vt$ ότι σε μια χρονική περίοδο μήκους $t$ ένα κύμα που ταξιδεύει με ταχύτητα $σε$ θα έχει διανύσει απόσταση $vt.$ Το ύψος του κύματος στο σημείο $x$ κατά μήκος του $x$ άξονα – τη στιγμή $t$ θα είναι επομένως το ίδιο με το ύψος τη χρονική στιγμή 0 στο σημείο $x-vt,$ γιατί τόσο μακριά έχει διανύσει το κύμα στο χρόνο $t$ .

Αποκωδικοποίηση μηνυμάτων

Εκ πρώτης όψεως, αυτά τα ημιτονοειδή και συνημιτονοειδή κύματα που δημιουργήσαμε φαίνονται πολύ τέλεια για να σας πουν πολλά για τα κύματα που συναντάμε στην πραγματική ζωή. Αλλά μπορείτε να ακούσετε ένα σε δράση αν χτυπήσετε ένα πιρούνι συντονισμού. Ο ήχος που ακούτε είναι το αποτέλεσμα των δονήσεων του τυμπάνου του αυτιού σας, που διεγείρονται από το ηχητικό κύμα από το πιρούνι συντονισμού που ταξιδεύει στον αέρα. Για μια διχάλα συντονισμού, αν σχεδιάζατε την ένταση ή την πίεση αυτής της δόνησης με την πάροδο του χρόνου, θα βλέπατε ένα τέλειο ημιτονοειδές κύμα σε δράση.

Το ηχητικό κύμα από ένα πιρούνι συντονισμού (πάνω), σε σύγκριση με αυτό της ανθρώπινης ομιλίας (κάτω).

Όπως μπορείτε να δείτε το ηχητικό κύμα κάτι σαν ομιλία είναι πιο περίπλοκο. Αλλά κάθε ηχητικό κύμα, μάλιστα κάθε επαναλαμβανόμενη συνάρτηση, μπορεί να χωριστεί σε έναν αριθμό ημιτονοειδών κυμάτων διαφόρων συχνοτήτων και πλάτους (εντάσεων). Αυτό είναι το αποτέλεσμα της δουλειάς που ξεκίνησε με τον Γάλλο μαθηματικό Joseph Fourier, ο οποίος έζησε τη γαλλική επανάσταση τον δέκατο όγδοο αιώνα. Η έκφραση ενός ηχητικού κύματος ή οποιουδήποτε σήματος μεταβάλλεται με την πάροδο του χρόνου, ως το άθροισμα των ημιτονοειδών κυμάτων που το αποτελούν, είναι γνωστή ως μετασχηματισμός Fourier αυτού του σήματος. (Μπορείτε να διαβάσετε μια πιο λεπτομερή εξήγηση των μαθηματικών που εμπλέκονται εδώ — τα μαθηματικά είναι αρκετά περίπλοκα, αλλά οι μαθηματικές ιδέες που εμπλέκονται είναι υπέροχες!)

Η συνάρτηση f ποικίλλει χρονικά – αντιπροσωπεύει ένα ηχητικό κύμα. Η διαδικασία μετασχηματισμού Fourier παίρνει το f και το αποσυνθέτει στα ημιτονοειδή κύματα που την αποτελούν, με συγκεκριμένες συχνότητες και πλάτη. Ο μετασχηματισμός Fourier αναπαρίσταται ως αιχμές στον τομέα συχνότητας, με το ύψος της ακίδας να δείχνει το πλάτος του κύματος αυτής της συχνότητας.

Σχετικά με αυτό το άρθρο

Αυτό το άρθρο δημιουργήθηκε ως μέρος της κάλυψής μας για την Υδροδυναμική Διασποράς: μαθηματικά, προσομοίωση και πειράματα, με εφαρμογές σε πρόγραμμα μη γραμμικών κυμάτων που φιλοξενείται από το Ινστιτούτο Μαθηματικών Επιστημών Isaac Newton. Μπορείτε να βρείτε περισσότερο περιεχόμενο για το πρόγραμμα εδώ .

Η Rachel Thomas και η Marianne Freiberger είναι οι συντάκτες του Plus .

Αυτό το άρθρο βασίζεται στο βιβλίο Numericon: Ένα ταξίδι μέσα στις κρυφές ζωές των αριθμών των Marianne Freiberger και Rachel Thomas και στο άρθρο μας Fourier transforms of images .

https://plus.maths.org/content/why-sine-and-cosine-make-waves