Ο πρώτος χωρικός είχε 40αυγά και ο δεύτερος χωρικός είχε 60αυγά. Έστω ότι ο πρώτος χωρικός είχε «α» αυγά και τα πούλησε προς «x» € το ένα, οπότε ο δεύτερος χωρικός είχε (100-α) αυγά και τα πούλησε προς «ψ» € το ένα. Επίσης έστω «κ» η τιμή για κάθε σακί του πίτουρου. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
α+β=100 (1)
Ο πρώτος χωρικός εισέπραξε:
α*x ευρώ
Kαι ο δεύτερος χωρικός εισέπραξε:
(100-α)*ψ ευρώ
Επειδή και οι δύο χωρικοί εισέπραξαν τα ίδια χρήματα από την πώληση των αυγών έχουμε την εξίσωση:
α*x=(100-α)*ψ (2)
Εάν ο πρώτος χωρικός πούλαγε τα (100-α) αυγά του δεύτερου χωρικού προς «x» € θ’ αγόραζε 15 σακιά πίτουρα. Άρα έχουμε την εξίσωση:
(100-α)*χ=15*κ —-> x=15*κ/(100-α) (3)
Ομοίως, εάν ο δεύτερος χωρικός πούλαγε τα «α» αυγά του πρώτου χωρικού προς «ψ» € θ’ αγόραζε 6 και 2/3=(3*6+2)/3=(18+2)/3=20/3 σακιά πίτουρα. Άρα έχουμε: την εξίσωση:
α*ψ=(20*κ)/3 —> ψ=(20κ)/3*α (4)
Αντικαθιστούμε τις τιμές (2) και (3) στην (1) κι’ έχουμε:
α*x=(100-α)*ψ —> (α*15κ)/(100-α)=(100-α)*(20κ)/3*α —>
3α*α*15κ=(100-α)*(100-α)*20*κ
Απλοποιούμε τα «κ» κι’ έχουμε:
3α^2*15=[(100-α)*(100-α)*20*κ]/κ —> 45α^2=(10.000-100α-100α+α^2)*20 45α^2=(10.000-100α-100α+α^2)*20 —>45α^2=200.000-2.000α-2.000α+20α^2 —>
45α^2-200.000+2.000α+2.000α-20α^2 —> 45α^2-20α^2+4.000α-200.000=0 —>
25α^2+4.000α-200.000=0
Διαιρούμε το πρώτο μέλος με το 25 κι’ έχουμε:
25α^2+4.000α-200.000=0 —> (25α^2+4.000α-200.000)/25=0 —> α^2+160α-8.000=0 (5)
Βάσει του τύπου της δευτεροβαθμίου εξισώσεως x=[-β+/-sqrt[(β^2)-4αγ]]/2α έχουμε:
α=[-β+/-sqrt[(β^2)-4αγ]]/2α —> α=[-160+/-sqrt[(160^2)-4*1*(-8.000)]]/2*1 —>
α=[-160+/-sqrt[25.600+32.000]/2 —> α=[-160+/-sqrt57.600]/2 —> α=(-160+/-240)/2
α1=(-160+240)/2 —> α1=80/2 —> α1=40 (αποδεκτή) (6)
α2=(-160-240)/2 —> α2= -400/2 —> α2= -200 (απορρίπτεται)
Αντικαθιστούμε την (6) στην (1) κι’ έχουμε:
α+β=100 —> 40+β=100 β=100-40 —> β=60 (7)
Επαλήθευση:
α+β=100 —> 40+60=100 ο. ε. δ.
Σημείωση:
Από τη λύση δεν προσδιορίζεται η τιμή πώλησης του ενός αυγού από τον κάθε ένα. Απλά προσδιορίζεται μόνο ο αριθμός των αυγών. Οι μόνες λογικές τιμές, με τα σημερινά δεδομένα, που θα μπορούσαμε να αποδεχτούμε, είναι ο πρώτος χωρικός να πούλησε τ’ αυγά του προς x=0,60€ και ο δεύτερος χωρικός να πούλησε τ’ αυγά του προς ψ=0,40€.
Από τη (2) βρίσκουμε πόσα χρήματα εισέπραξε ο καθένας από την πώληση των αυγών:
α*x=(100-α)*ψ —> α*x=60*ψ —> 40*0,60=60*0,40 —> 24=60*0,40
Άρα ο καθένας χωρικός εισέπραξε από την πώληση των αυγών του 24€
ΛΥΣΗ. Έστω χ τα αυγά του πρώτου,100-χ του δεύτερου και ψ τα χρήματα που πήρε ο καθένας. Ο πρώτος πούλησε κάθε αυγό ψ/χ και ο δεύτερος ψ/[100-χ]. Αν ο πρώτος είχε 100-χ αυγά ,θα έπαιρνε [100-χ]*ψ/χ και αν ο δεύτερος είχε αυτά του πρώτου, θα έπαιρνε χ*ψ/[100-χ] .Συνεπώς ισχύει ότι [100-χ]*ψ/χ=4/9*χ*ψ/[100-χ],δηλαδή ψ[χ*χ+160*χ-8000]=0 με το ψ θετικό, άρα χ*χ+160*χ-8000=0 που έχει λύσεις 40 και -200 ,από τις οποίες μόνο το 40 είναι δεκτή. Άρα χ=40 και 100-χ=60.
60 – 40
60-40
Ο πρώτος χωρικός είχε 40αυγά και ο δεύτερος χωρικός είχε 60αυγά. Έστω ότι ο πρώτος χωρικός είχε «α» αυγά και τα πούλησε προς «x» € το ένα, οπότε ο δεύτερος χωρικός είχε (100-α) αυγά και τα πούλησε προς «ψ» € το ένα. Επίσης έστω «κ» η τιμή για κάθε σακί του πίτουρου. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
α+β=100 (1)
Ο πρώτος χωρικός εισέπραξε:
α*x ευρώ
Kαι ο δεύτερος χωρικός εισέπραξε:
(100-α)*ψ ευρώ
Επειδή και οι δύο χωρικοί εισέπραξαν τα ίδια χρήματα από την πώληση των αυγών έχουμε την εξίσωση:
α*x=(100-α)*ψ (2)
Εάν ο πρώτος χωρικός πούλαγε τα (100-α) αυγά του δεύτερου χωρικού προς «x» € θ’ αγόραζε 15 σακιά πίτουρα. Άρα έχουμε την εξίσωση:
(100-α)*χ=15*κ —-> x=15*κ/(100-α) (3)
Ομοίως, εάν ο δεύτερος χωρικός πούλαγε τα «α» αυγά του πρώτου χωρικού προς «ψ» € θ’ αγόραζε 6 και 2/3=(3*6+2)/3=(18+2)/3=20/3 σακιά πίτουρα. Άρα έχουμε: την εξίσωση:
α*ψ=(20*κ)/3 —> ψ=(20κ)/3*α (4)
Αντικαθιστούμε τις τιμές (2) και (3) στην (1) κι’ έχουμε:
α*x=(100-α)*ψ —> (α*15κ)/(100-α)=(100-α)*(20κ)/3*α —>
3α*α*15κ=(100-α)*(100-α)*20*κ
Απλοποιούμε τα «κ» κι’ έχουμε:
3α^2*15=[(100-α)*(100-α)*20*κ]/κ —> 45α^2=(10.000-100α-100α+α^2)*20 45α^2=(10.000-100α-100α+α^2)*20 —>45α^2=200.000-2.000α-2.000α+20α^2 —>
45α^2-200.000+2.000α+2.000α-20α^2 —> 45α^2-20α^2+4.000α-200.000=0 —>
25α^2+4.000α-200.000=0
Διαιρούμε το πρώτο μέλος με το 25 κι’ έχουμε:
25α^2+4.000α-200.000=0 —> (25α^2+4.000α-200.000)/25=0 —> α^2+160α-8.000=0 (5)
Βάσει του τύπου της δευτεροβαθμίου εξισώσεως x=[-β+/-sqrt[(β^2)-4αγ]]/2α έχουμε:
α=[-β+/-sqrt[(β^2)-4αγ]]/2α —> α=[-160+/-sqrt[(160^2)-4*1*(-8.000)]]/2*1 —>
α=[-160+/-sqrt[25.600+32.000]/2 —> α=[-160+/-sqrt57.600]/2 —> α=(-160+/-240)/2
α1=(-160+240)/2 —> α1=80/2 —> α1=40 (αποδεκτή) (6)
α2=(-160-240)/2 —> α2= -400/2 —> α2= -200 (απορρίπτεται)
Αντικαθιστούμε την (6) στην (1) κι’ έχουμε:
α+β=100 —> 40+β=100 β=100-40 —> β=60 (7)
Επαλήθευση:
α+β=100 —> 40+60=100 ο. ε. δ.
Σημείωση:
Από τη λύση δεν προσδιορίζεται η τιμή πώλησης του ενός αυγού από τον κάθε ένα. Απλά προσδιορίζεται μόνο ο αριθμός των αυγών. Οι μόνες λογικές τιμές, με τα σημερινά δεδομένα, που θα μπορούσαμε να αποδεχτούμε, είναι ο πρώτος χωρικός να πούλησε τ’ αυγά του προς x=0,60€ και ο δεύτερος χωρικός να πούλησε τ’ αυγά του προς ψ=0,40€.
Από τη (2) βρίσκουμε πόσα χρήματα εισέπραξε ο καθένας από την πώληση των αυγών:
α*x=(100-α)*ψ —> α*x=60*ψ —> 40*0,60=60*0,40 —> 24=60*0,40
Άρα ο καθένας χωρικός εισέπραξε από την πώληση των αυγών του 24€
ΛΥΣΗ. Έστω χ τα αυγά του πρώτου,100-χ του δεύτερου και ψ τα χρήματα που πήρε ο καθένας. Ο πρώτος πούλησε κάθε αυγό ψ/χ και ο δεύτερος ψ/[100-χ]. Αν ο πρώτος είχε 100-χ αυγά ,θα έπαιρνε [100-χ]*ψ/χ και αν ο δεύτερος είχε αυτά του πρώτου, θα έπαιρνε χ*ψ/[100-χ] .Συνεπώς ισχύει ότι [100-χ]*ψ/χ=4/9*χ*ψ/[100-χ],δηλαδή ψ[χ*χ+160*χ-8000]=0 με το ψ θετικό, άρα χ*χ+160*χ-8000=0 που έχει λύσεις 40 και -200 ,από τις οποίες μόνο το 40 είναι δεκτή. Άρα χ=40 και 100-χ=60.