Ο Τοτός για ν’ ανέβει από το ισόγειο στον πρώτο όροφο, όπου βρίσκεται το διαμέρισμά του, ανεβαίνει 3-3 τα σκαλοπάτια.
Για ν’ ανέβει στον δεύτερο όροφο, όπου βρίσκεται το διαμέρισμα του φίλου του Κώστα, η σκάλα του οποίου έχει τρία σκαλοπάτια λιγότερα, ανεβαίνει τα σκαλιά 3-3 ή 2-2.
Με δεδομένο ότι ο συνολικός αριθμός των σκαλοπατιών και των δύο ορόφων διαιρείται ακριβώς από το 13, μπορείτε να βρείτε πόσα σκαλοπάτια έχει ο κάθε όροφος;
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
15,12
Έστω x τα σκαλοπάτια συνολικά
Το x είναι πολλαπλάσιο του 3 (μπορεί να ανέβει τα σκαλιά 3-3) και πολλαπλάσιο του 13
x = 3n = 13m, m,n ακέραιοι
Με δεδομένο ότι μια σκάλα έχει περίπου 20 σκαλιά (δηλαδή συνολικά γύρω στα 40)
x = 39 σκαλοπάτια
το 39 πρέπει να γραφεί σαν αθροίσιμα ενός πολλαπλασίου του 3 και ενός πολλαπλασίου του 6 (κάθε αριθμός κοντά στο 20)
Απάντηση : 21 και 18 σκαλοπάτια
Αν χ τα σκαλια του πρωτου οροφου και ψ του δευτερου, ισχυει χ=ψ+3 (1). Επισης εφοσον. το αθροισμα των σκαλοπατιων διαιρειται με το 13 ακριβώς θα υπαρχει ακεραιος ω ετσι ωστε χ+ψ=13ω (2). Απο (1) και (2) εχουμε χ=(13ω+3)/2, οπου χ>0, ακεραιος και διαιρειται με το 3. Με δοκιμες αν ω=1. ω=2, χ=8 η χ=14.5 που απορριπτονται. Ομως για ω=3, χ=21, που ειναι δεκτο, και ψ=18 δεκτο, αφου το 18 δθαιρειται και με το 2 και με το 3. Αρα τα συνολικα σκαλοπατια ειναι 39.
Βάσει του τύπου [τ = α + (ν – 1)*ω] της αριθμητικής προόδου βρίσκουμε το τελευταίο όρο αυτής, δηλαδή το σύνολο των σκαλοπατιών των δύο ορόφων.
α =Ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου.
τ =Ο τελευταίος όρος της αριθμητικής προόδου.
ν =Το πλήθος των όρων της αριθμητικής προόδου.
ω =Ο Λόγος. (Ο σταθερός αριθμός, ο οποίος προστίθεται σ’ έναν όρο για να μας
δώσει τον επόμενο. Ή Η διαφορά του επόμενου όρου από τον προηγούμενο όρο.)
τ = α + (ν –1)*ω –> τ =3+(13-1)*3 –> τ = 3+(12*3) –> τ =3+36 –> τ =39
*Οι όροι της αριθμητικής προόδου είναι 13, διότι βάσει της εκφωνήσεως του προβλήματος που λέει ότι «…ο συνολικός αριθμός των σκαλοπατιών διαιρείται με το 13…» συνάγεται το συμπέρασμα ότι εφ’ όσον ανεβαίνει τα σκαλοπάτια 3-3 το σύνολο των σκαλοπατιών θα είναι:
13*3=39: όπου α = 3 και ω = 3
α+(α+1ω)+(α+2ω)+(α+3ω)+(α+4ω)+(α+5ω)+(α+6ω)+(α+7ω)+(α+8ω)+(α+9ω)+(α+10ω)+(α+11ω)+(α+12ω)=3+(3+3)+(3+(2*3))+(3+(3*3))+(3+(4*3))+(3+(5*3))+(3+(6*3))+(3+(7*3))+(3+(8*3))+(3+(9*3))+(3+(10*3))+(3+(11*3))+(3+(12*3))=
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39.
Από τη κατωτέρω σχέση βρίσκουμε από πόσες τριάδες και από πόσα σκαλοπάτια
αποτελείται ο πρώτος όροφος:
3α+(3α-3)=39 –> 3α+3α-3=39 –> 6α=39+3 –> 6α=42 –> α=42/6 –> α=7 .
Άρα ο πρώτος όροφος αποτελείται από 7 τριάδες σκαλοπάτια, δηλαδή 3α=3*7=21 σκαλοπάτια. Και βάσει του δεδομένου του προβλήματος ότι τα σκαλοπάτια του δευτέρου ορόφου είναι κατά τρία λιγότερα του πρώτου ορόφου θα έχουμε:
3α-3=3*7-3=21-3 =18 –> 3α = 18 –> α =18/3 –> α = 6 σκαλοπάτια
δηλαδή αποτελείται από 6 τριάδες εάν τ’ ανέβω 3-3 ή 9 δυάδες εάν τ’ ανέβω 2-2.
Επαλήθευση:
3α+(3α-3)=39 –> (3 * 7) + [(3 * 7) – 3)]=39 –> 21+(21-3)=39 –> 21+18=39 ο.ε.δ.
Έστω χ τα σκαλιά ισόγειο-πρώτος όροφος. Το χ διαιρείται με το 3 άρα χ=3κ (1). Τα σκαλιά πρώτος-δεύτερος θα είναι χ-3 που είναι σίγουρα (από προηγουμένως) πολλαπλάσιο του 3. Επειδή το χ-3 = 3κ-3 = 3(κ-1) διαιρείται με το 2, το κ-1 διαιρείται με το 2 άρα κ-1=2λ ή κ=2λ+1. Το άθροισμα των σκαλιών είναι 2χ-3 = 6κ-3 = 12λ+6-3 = 12λ+3 (2) που διαιρείται από το 13. Όμως και το 13λ διαιρείται με το 13 και έτσι το 13 θα διαιρεί και την διαφορά τους. Έτσι το 13 διαιρεί το λ-3.
Αν λ-3=0 τότε λ=3 και από (2)… χ=21
Αν λ-3=13 τότε λ=16 και … χ=99
Αν λ-3=26 τότε …
Λογικά από αυτές τις λύσεις (αν και δεν διευκρινίζεται) χ=21.