Γύρω από ένα τραπέζι πρέπει να καθίσουν επτά άτομα.
Ανάμεσά τους όμως υπάρχουν και δύο αχώριστα ζευγάρια. Μπορείτε να βρείτε πόσοι δυνατοί συνδυασμοί μπορούν να γίνουν, ώστε και τα επτά άτομα ν’ αλλάξουν αμοιβαία τις θέσεις τους;
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
Τα δυο αχωριστα ζευγαρια λογιζονται σαν 2 ατομα. Για καθε ενα απο τα δυο αυτα ζευγαρια οι δυνατες μεταξυ τους εναλλαγες θεσεων θα ειναι 2!. Αρα θα ισχυει για τους. συνολικους συνδυασμους Σ1= 2!x2!x5!=4×120=480.
Τα δυο αχωριστα ζευγαρια λογιζονται σαν 2 ατομα. Για καθε ενα απο τα δυο αυτα ζευγαρια οι δυνατες μεταξυ τους εναλλαγες θεσεων θα ειναι 2!. Αρα θα ισχυει για τους. συνολικους συνδυασμους Σ1= 2!x2!x(7-2)!=4×5!=4×120=480.
προφανως θα ισχυει Σ1=2!x2!x(7-2-1)!=4×24=96.
Πιστεύω ότι είναι 48 συνδυασμοί αν και με μπερδεύει η φράση “ώστε και τα επτά άτομα ν’ αλλάξουν αμοιβαία τις θέσεις τους” με δεδομένο ότι κάθε αχώριστο ζευγάρι πρέπει να είναι πάντα δίπλα-δίπλα.
Επίσης η διαφορετική φορά ισχύει ότι είναι διαφορετικός συνδυασμός;
Τότε απαντώ 96.
Προκύπτουν 96 διαφορετικές θέσεις. Για να μη χωριστούνε τα δύο ζευγάρια κατά την αλλαγή των αμοιβαίων θέσεων των επτά ατόμων αντί για καρέκλες θα χρησιμοποιήσουμε δύο διπλές πολυθρόνες και τρεις καρέκλες για τους υπόλοιπους.
Από το τύπο, ν!=1*2*3*4*…*n, των μεταθέσεων για τα 5 αυτά καθίσματα προκύπτουν:
ν = Το πλήθος των όρων της σειράς.
ν! = Νι Παραγοντικό.
n =Οι φυσικοί αριθμοί:1,2,3,4……∞.
4! =1*2*3*4=24 διαφορετικές θέσεις.
Επειδή σε κάθε διπλή πολυθρόνα τα ζευγάρια μπορούν να καθίσουν κατά δύο διαφο-
ρετικούς τρόπους, αριστερά ή δεξιά σε κάθε πολυθρόνα, θα έχουμε τελικά 24*2*2=
96 διαφορετικές θέσεις. ο.ε.δ.
Ή
Αν θεωρήσουμε τα δύο ζευγάρια ως μία οντότητα το καθένα τότε είναι σαν να έχουμε όλες τις πιθανές διατάξεις 5 αντικειμένων που είναι: 5!=1*2*3*4*5=120
Τώρα όμως κάθε ζευγάρι μπορεί να κάτσει με 2 τρόπους (π.χ. ΑΒ και ΒΓ ή ΓΔ και ΔΓ) άρα κάθε μετάθεση από τις 120 που υπολογίσαμε πιο πριν έχει 2×2 = 4 παραλλαγές ανάλογα με το πως κάθονται τα δύο ζευγάρια. Έτσι το σύνολο των συνδυασμών είναι:4×120 = 480.
Τώρα για την περίπτωση στον κύκλο εκτός από τις 480 περιπτώσεις της ευθείας είναι επίσης έγκυρες (λόγω κύκλου) και οι περιπτώσεις που τα δύο μέλη ενός ζευγαριού βρίσκονται στην άκρη της ευθείας (οπότε όταν ενώσουμε τα δύο άκρα της θα βρεθούν δίπλα-δίπλα) π.χ. Α-Ε-Ζ-Η-Γ-Δ-Β. Πόσες είναι αυτές οι περιπτώσεις;
Αν τοποθετήσουμε ένα ζευγάρι (π.χ. το ΑΒ) στην στις δύο άκρες της ευθείας (άρα στον κύκλο δίπλα-δίπλα) τότε με τον προηγούμενο συλλογισμό τα άλλα 3 άτομα και το ένα ζευγάρι (ΓΔ) μπορούν να κάτσουν με 4! = 24 τρόπους. Πολλαπλασιάζουμε επί 2 για τις μεταθέσεις του ζευγαριού ΓΔ και επί 2 για τις μεταθέσεις του άλλου ζευγαριού (ΑΒ) κι έχουμε σύνολο 96 μεταθέσεις. Τοποθετώντας στις άκρες το άλλο ζευγάρι (ΓΔ) προκύπτουν ακόμη 96 μεταθέσεις άρα έχουμε: 480 + 96 + 96 = 672.
Αν δεν υπήρχε ο περιορισμός να κάθονται μαζί τα ζευγάρια έχουμε λόγω του οτι είναι σε κύκλο (7-1)!
Επειδή όμως έχουμε κάθε ζευγάρι να είναι δίπλα έχουμε ότι όλοι είναι 7, για τον περιορισμό να ισχυεί για ένα ζευγάρι είναι
Μένουν 5, λόγω κυκλικότητας έχουν (5-1)! συνδυασμούς διάταξης στις εναπομείναντες θέσεις μεταξύ τους και 2 το ζευγάρι, όμως όλο αυτούς τους συνδυασμού το κάνουν για κάθε θέση που υπάρχει (7) για τον κάθε έναν
Τα ζευγάρια είναι 2 άρα 4!×7×2×2
Τέλος 6!-(4!×7×2×2)=48
Ας θεωρήσουμε 1-2 το πρώτο ζευγάρι, 3-4 το δεύτερο ζευγάρι και Α,Β,Γ τους άλλους τρείς
Περιπτώσεις
Α. Τα ζευγάρια κάθονται «κολλητά»
1. 1-2 , 3-4 , Α , Β , Γ
2. 1-2 , 3-4 , Α , Γ , Β
3. 1-2 , 3-4 , Β , Α , Γ
4. 1-2 , 3-4 , Β , Γ, Α
5. 1-2 , 3-4 , Γ , Α , Β
6. 1-2 , 3-4 , Γ , Β , Α
7. 1-2 , 4-3 , Α , Β , Γ
8. 1-2 , 4-3 , Α , Γ , Β
9. 1-2 , 4-3 , Β , Α , Γ
10. 1-2 , 4-3 , Β , Γ, Α
11. 1-2 , 4-3 , Γ , Α , Β
12. 1-2 , 4-3 , Γ , Β , Α
13. 2-1 , 3-4 , Α , Β , Γ
14. 2-1 , 3-4 , Α , Γ , Β
15. 2-1 , 3-4 , Β , Α , Γ
16. 2-1 , 3-4 , Β , Γ, Α
17. 2-1 , 3-4 , Γ , Α , Β
18. 2-1 , 3-4 , Γ , Β , Α
19. 2-1 , 4-3 , Α , Β , Γ
20. 2-1 , 4-3 , Α , Γ , Β
21. 2-1 , 4-3 , Β , Α , Γ
22. 2-1 , 4-3 , Β , Γ, Α
23. 2-1 , 4-3 , Γ , Α , Β
24. 2-1 , 4-3 , Γ , Β , Α
Β. Τα ζευγάρια ΔΕΝ κάθονται «κολλητά»
25. 1-2 , Α , 3-4 , Β , Γ
26. 1-2 , Α , 3-4 , Γ , Β
27. 1-2 , Β , 3-4 , Α , Γ
28. 1-2 , Β , 3-4 , Γ, Α
29. 1-2 , Γ , 3-4 , Α , Β
30. 1-2 , Γ , 3-4 , Β , Α
31. 1-2 , Α , 4-3 , Β , Γ
32. 1-2 , Α , 4-3 , Γ , Β
33. 1-2 , Β , 4-3 , Α , Γ
34. 1-2 , Β , 4-3 , Γ, Α
35. 1-2 , Γ , 4-3 , Α , Β
36. 1-2 , Γ , 4-3 , Β , Α
37. 2-1 , Α , 3-4 , Β , Γ
38. 2-1 , Α , 3-4 , Γ , Β
39. 2-1 , Β , 3-4 , Α , Γ
40. 2-1 , Β , 3-4 , Γ, Α
41. 2-1 , Γ , 3-4 , Α , Β
42. 2-1 , Γ , 3-4 , Β , Α
43. 2-1 , Α , 4-3 , Β , Γ
44. 2-1 , Α , 4-3 , Γ , Β
45. 2-1 , Β , 4-3 , Α , Γ
46. 2-1 , Β , 4-3 , Γ, Α
47. 2-1 , Γ , 4-3 , Α , Β
48. 2-1 , Γ , 4-3 , Β , Α
Άλλες 48 προκύπτουν αν αλλάξουμε τη φορά
Επομένως σύνολο 96