Καλλιέργεια της κριτικής ικανότητας μέσα από την επίλυση ασκήσεων
Κατερίνα Χατζηγεωργίου
M.Sc Μαθηματικός – Συγγραφέας
Καλλιέργεια της κριτικής ικανότητας μέσα από την επίλυση ασκήσεων
Η ακόλουθη εργασία αποτελεί τμήμα της εισήγησης που παρουσιάστηκε στην 9η μαθηματική εβδομάδα
με τίτλο: Οικοδομώντας την επανάληψη – Το παράδειγμα της μονοτονίας, 9η Μαθηματική εβδομάδα
2017.
[latexpage]
Το παράδειγμα της μονοτονίας
Ας μελετήσουμε το θέμα της μονοτονίας το οποίο διδάσκεται στην παράγραφο 1.3 αλλά και 2.6 του
σχολικού βιβλίου της κατεύθυνσης της Γ΄ λυκείου.
Αντιμέτωποι με ένα θέμα εύρεσης μονοτονίας, τα προβλήματα που μας απασχολούν είναι τα ακόλουθα:
1. Να βρούμε τη μονοτονία της συνάρτησης βάσει του ορισμού της γνησίως μονότονης συνάρτησης ή
χρησιμοποιώντας το θεώρημα της πρώτης παραγώγου;
2. Το πρόσημο της πρώτης παραγώγου είναι θετικό, αρνητικό, μεταβαλλόμενο, ή άγνωστο;
3. Αν δεν μπορούμε να υπολογίσουμε το πρόσημο της πρώτης παραγώγου, πώς συνεχίζουμε;
4. Υπάρχουν ειδικές περιπτώσεις εύρεσης μονοτονίας που πρέπει να λειτουργήσουμε διαφορετικά;
Το σχεδιάγραμμα που ακολουθεί δίνει απαντήσεις στα παραπάνω. Δεν προτείνεται για απομνημόνευση,
ούτε αποτελεί λύση για όλα τα προβλήματα εύρεσης μονοτονίας. Αποτελεί όμως αντικείμενο μελέτης,
ώστε να συνειδητοποιήσει ο μαθητής την πορεία της σκέψης του, να επιλέγει πιο συνειδητά τον τρόπο
επίλυσης μίας άσκησης εύρεσης μονοτονίας και να αντιληφθεί τη σημασία της υποβολής αυτό-ερωτήσεων.
Μικτή θα ονομάζουμε μία συνάρτηση που περιέχει δύο τουλάχιστον είδη συναρτήσεων από τις:
εκθετικές, λογαριθμικές, πολυωνυμικές, τριγωνομετρικές.
Να μελετηθεί η συνάρτηση ${\mathrm f}\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ με τύπο ${\mathrm f}\left(x\right)=\sfrac{1}{2}{{x}^{2}}+x+1-{{e}^{x}}$ ως προς τη μονοτονία.
Λύση:
1. Είναι η συνάρτηση ${\mathbf\mathrm f}$ παραγωγίσιμη;
Η συνάρτηση ${\mathrm f}$ είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων.
Για κάθε $x\in \mathbb{R}$, ισχύει ${\mathrm f}’\left(x\right)=x+1-{{e}^{x}}$.
2. Μπορούμε να υπολογίσουμε το πρόσημο της πρώτης παραγώγου;
Από τον τύπο της ${\mathrm f}’$ δεν μπορούμε να συμπεράνουμε το πρόσημό της, ούτε μπορούμε να
λύσουμε την ${\mathrm f}’\left(x\right)=0$ με κάποια γνωστή αλγεβρική μέθοδο. Μπορούμε όμως με
παρατήρηση να βρούμε μία προφανή ρίζα, τη $x=0$.
3. Είναι η πρώτη παράγωγος γινόμενο ή πηλίκο συναρτήσεων;
Όχι.
4. Είναι η πρώτη παράγωγος μικτή συνάρτηση;
Ναι. Η ${\mathrm f}’$ είναι το άθροισμα ενός πολυωνύμου και μίας εκθετικής συνάρτησης, οπότε θα
προσπαθήσουμε να βρούμε τη μονοτονία της, υπολογίζοντας τη δεύτερη παράγωγο.
Για κάθε $x\in \mathbb{R}$, ισχύει ${{\mathrm f}”\left(x\right)=1-{{e}^{x}}$ με ${\mathrm f}”\left(x\right)=0\iff 1-{{e}^{x}}=0\iff x=0$.
Οπότε, έχουμε:
όπου, ${\mathrm f}”\left(x\right)>0\iff -{{e}^{x}}>0\iff {{e}^{x}}<{{e}^{0}}\iff x<0$
και ${\mathrm f}”\left(x\right)<0\iff -{{e}^{x}}<0\iff {{e}^{x}}>{{e}^{0}}\iff x>0$
Επίσης, για κάθε $x<0\:\overset{{\mathrm f}’\uparrow}{\mathop{\Longrightarrow}}\,{\mathrm f}’\left(x\right)<{\mathrm f}’\left(0\right)\Longrightarrow{\mathrm f}’\left(x\right)<0$
και για κάθε $x>0\:\overset{{\mathrm f}’\downarrow}{\mathop{\Longrightarrow}}\,{\mathrm f}’\left(x\right)<{\mathrm f}’\left(0\right)\Longrightarrow{\mathrm f}’\left(x\right)<0$.
Άρα, για κάθε $x\in \mathbb{R}$, η ${\mathrm f}’\left(x\right)\le0$ με την ισότητα
να ισχύει μόνο για $x=0$.
Επομένως, η ${\mathrm f}$ είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το $\mathbb{R}$.
Το βιβλίο «Αναγνώριση – Μεθοδολογία – Εφαρμογή
Μαθηματικά Γ΄ λυκείου» της συγγραφέως, είναι οργανωμένο σε θεματικές
ενότητες και αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα στην δόμηση μίας ολοκληρωμένης
επανάληψης.
