Σε μια χοροεσπερίδα χόρεψαν 20 άτομα.
Η Μαίρη χόρεψε με 7 καβαλιέρους , Όλγα με 8 , η Βέρα με 9 κι ούτω καθεξής μέχρι τη Ντίνα που χόρεψε με όλους.
Πόσοι άντρες υπήρχαν στην εκδήλωση;
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
Έστω ότι οι γυναίκες ήταν κ στο πλήθος και οι άντρες 20-κ.
Η Μαίρη (Νο 1) χόρεψε με 1 + 6 καβαλιέρους
Η Όλγα (Νο 2) χόρεψε με 2 + 6 καβαλιέρους
Η Βέρα (Νο 3) χόρεψε με 3 + 6 καβαλιέρους
…
Η Ντίνα (Νο κ) χόρεψε με κ + 6 καβαλιέρους
Όμως η Ντίνα χόρεψε με όλους τους άντρες που είναι 20 – κ.
κ + 6 = 20 – κ
2κ = 14
κ = 7 γυναίκες
20 – κ = 13 άντρες
13
Στην χοροεσπερίδα παρευρίσκονταν 7 γυναίκες και 13 άνδρες. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
Η Μαίρη χόρεψε με 7 καβαλιέρους.
Η Όλγα χόρεψε με 7+(1*ω) καβαλιέρους.
Η Βέρα χόρεψε με 7+(2*ω)καβαλιέρους.
………………….
Η Ντίνα χόρεψε με 7+[(x*ω)-1)] καβαλιέρους.
Οπότε, βάσει του τύπου τ=α+(x-1)*ω της αριθμητικής προόδου βρίσκουμε το τελευταίο όρο αυτής που είναι:
τ =Ο τελευταίος όρος της αριθμητικής προόδου.
α = Ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου.
x = Το πλήθος των όρων της αριθμητικής προόδου.
ω = Ο λόγος. Ο σταθερός αριθμός, ο οποίος προστίθεται εις έναν όρο για να
δώσει τον επόμενο.
τ=α+(x-1)*ω —> τ=7+(x-1)*1 —> τ=7+x-1 —> τ=6+x (1)
Επειδή, Σ=x+τ —> 20=x+6+x —> 2x=20-6 —> 2x=14 —> x=14/2 —> x=7 γυναίκες (2)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
τ=6+x —> τ=6+7 —> τ=13 άνδρες (3)
Επαλήθευση:
Η Μαίρη χόρεψε με 7 καβαλιέρους.
Η Όλγα χόρεψε με 7+(1*1)=7+1=8 καβαλιέρους.
Η Βέρα χόρεψε με 7+(2*1)=7+2=9 καβαλιέρους.
Η τέταρτη γυναίκα χόρεψε με 7+(3*1)=7+3=10 καβαλιέρους.
Η πέμπτη γυναίκα χόρεψε με 7+(4*1)=7+4=11 καβαλιέρους.
Η έκτη γυναίκα χόρεψε με 7+(5*1)=7+5=12 καβαλιέρους.
Η Ντίνα χόρεψε με 7+(6*1)=7+6=13 καβαλιέρους. ο.ε.δ.