Σ΄ ένα πάρτι είναι συνολικά 20 αγόρια και κορίτσια.
Μπορείτε να βρείτε πόσα είναι τα αγόρια και πόσα τα κορίτσια αν ξέρετε ότι: Το πρώτο αγόρι χόρεψε με 5 κορίτσια το δεύτερο με 6 κορίτσι, το τρίτο με 7 κορίτσια κ.ο.κ;
Έστω Ν τα αγόρια.
Το 1ο αγόρι χόρεψε με 5 κορίτσια.
Το 2ο αγόρι χόρεψε με 6 κορίτσια.
…
Το Ν αγόρι χόρεψε με Ν+4 κορίτσια
και όλα τα παιδιά μαζί ήταν 2Ν+4
Τ’ αγόρια ήταν 8 και τα κορίτσια 12. Έστω «τ» τα κορίτσια και «x» τ’ αγόρια. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
Το πρώτο αγόρι χόρεψε με 5 κορίτσια.
Το δεύτερο αγόρι χόρεψε με 5+(1*ω) κορίτσια.
Το τρίτο αγόρι χόρεψε με 5+(2*ω) κορίτσια.
Το τέταρτο αγόρι χόρεψε με 5+(3*ω) κορίτσια.
…………………………………………………
Το χ-οστό αγόρι χόρεψε με 5+[(x*ω)-1)] κορίτσια.
Οπότε, βάσει του τύπου [τ =α+(x-1)*ω] της αριθμητικής προόδου βρίσκουμε το
τελευταίο όρο αυτής που είναι:
τ =Ο τελευταίος όρος της αριθμητικής προόδου.
α = Ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου.
x = Το πλήθος των όρων της αριθμητικής προόδου.
ω = Ο λόγος. Ο σταθερός αριθμός, ο οποίος προστίθεται εις έναν όρο δια να δώσει
τον επόμενο.
τ =α+(x-1)*ω τ =5+(x-1)*1 τ =5+x-1 τ = 4+x
Επειδή, Σ=x+τ 20=x+4+x 2x=20-4 2x=16 x =16/2 x = 8 αγόρια
Αντικαθιστούμε τη τιμή του «x» στην (1) κι’ έχουμε:
τ = 4+x τ = 4+8 τ = 12 κορίτσια
Επαλήθευση:
Το πρώτο αγόρι χόρεψε με 5 κορίτσια.
Το δεύτερο αγόρι χόρεψε με 5+(1*1)=5+1=6 κορίτσια.
Το τρίτο αγόρι χόρεψε με 5+(2*1)=5+2=7 κορίτσια.
Το τέταρτο αγόρι χόρεψε με 5+(3*1)=5+3=8 κορίτσια.
Το πέμπτο αγόρι χόρεψε με 5+(4*1)=5+4=9 κορίτσια.
Το έκτο αγόρι χόρεψε με 5+(5*1)=5+5=10 κορίτσια.
Το έβδομο αγόρι χόρεψε με 5+(6*1)=5+6=11 κορίτσια.
Το όγδοο αγόρι χόρεψε με 5+(7*1)=5+7=12 κορίτσια. ο.ε.δ.
8 αγόρια και 12 κορίτσια.
Έστω Ν τα αγόρια.
Το 1ο αγόρι χόρεψε με 5 κορίτσια.
Το 2ο αγόρι χόρεψε με 6 κορίτσια.
…
Το Ν αγόρι χόρεψε με Ν+4 κορίτσια
και όλα τα παιδιά μαζί ήταν 2Ν+4
2Ν+4 = 20
2Ν = 16
Ν = 8
Επομένως υπήρχαν 8 αγόρια και 12 κορίτσια.
Τ’ αγόρια ήταν 8 και τα κορίτσια 12. Έστω «τ» τα κορίτσια και «x» τ’ αγόρια. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
Το πρώτο αγόρι χόρεψε με 5 κορίτσια.
Το δεύτερο αγόρι χόρεψε με 5+(1*ω) κορίτσια.
Το τρίτο αγόρι χόρεψε με 5+(2*ω) κορίτσια.
Το τέταρτο αγόρι χόρεψε με 5+(3*ω) κορίτσια.
…………………………………………………
Το χ-οστό αγόρι χόρεψε με 5+[(x*ω)-1)] κορίτσια.
Οπότε, βάσει του τύπου [τ =α+(x-1)*ω] της αριθμητικής προόδου βρίσκουμε το
τελευταίο όρο αυτής που είναι:
τ =Ο τελευταίος όρος της αριθμητικής προόδου.
α = Ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου.
x = Το πλήθος των όρων της αριθμητικής προόδου.
ω = Ο λόγος. Ο σταθερός αριθμός, ο οποίος προστίθεται εις έναν όρο δια να δώσει
τον επόμενο.
τ =α+(x-1)*ω τ =5+(x-1)*1 τ =5+x-1 τ = 4+x
Επειδή, Σ=x+τ 20=x+4+x 2x=20-4 2x=16 x =16/2 x = 8 αγόρια
Αντικαθιστούμε τη τιμή του «x» στην (1) κι’ έχουμε:
τ = 4+x τ = 4+8 τ = 12 κορίτσια
Επαλήθευση:
Το πρώτο αγόρι χόρεψε με 5 κορίτσια.
Το δεύτερο αγόρι χόρεψε με 5+(1*1)=5+1=6 κορίτσια.
Το τρίτο αγόρι χόρεψε με 5+(2*1)=5+2=7 κορίτσια.
Το τέταρτο αγόρι χόρεψε με 5+(3*1)=5+3=8 κορίτσια.
Το πέμπτο αγόρι χόρεψε με 5+(4*1)=5+4=9 κορίτσια.
Το έκτο αγόρι χόρεψε με 5+(5*1)=5+5=10 κορίτσια.
Το έβδομο αγόρι χόρεψε με 5+(6*1)=5+6=11 κορίτσια.
Το όγδοο αγόρι χόρεψε με 5+(7*1)=5+7=12 κορίτσια. ο.ε.δ.