Οἳδε λοετροχόοι τρεῖς ἕσταμεν ἐνθάδ’ ῎Ερωτες,
καλλιρόου πέμποντες ἐπ’ εὐρίποιο λοετρά.
∆εξιτερὸς μὲν ἔγωγε τανυπτερύγων ἀπὸ ταρσῶν
ἤματος ἑκταίῃ μοίρῃ ἔνι τόνδε κορέσσω·
λαιὸς δ’ αὖ πισύρεσσιν ἀπ’ ἀμφιφορῆος ἐν ὡραις·
ἐκ δ’ ὁ μέσος τόξοιο κατ’ ἤματος αὐτὸ τὸ μέσσον.
Φράζεο δ’, ὡς ὀλίγῃ κεν ἐνιπλήσαιμεν ἐν ὥρῃ,
ἐκ πτερύγων, τόξου τε, καὶ ἀμφιφορῆος ἱέντες.
Μετάφραση:
Εδώ στεκόμαστε τρεις Έρωτες, που χύνουμε στο λουτρό νερό, στέλνοντας τα
ρέματά μας στον λουτήρα με την ωραία ροή.
-«Εγώ στα δεξιά, με τα μακροφτέρουγα πέλματα μου, γεμίζω τον λουτήρα ως πάνω στο ένα έκτο της ημέρας.»
-«Εγώ στ’ αριστερά, με τους αμφορείς μου, τον γεμίζω σε τέσσερις ώρες.»
-«Κι εγώ στη μέση, με το τόξο μου, θέλω μισή ημέρα ακριβώς.»
Για πες μου, σε πόσο λίγο χρόνο θα τον γεμίσουμε ρίχνοντας νερό από τα φτερά, το τόξο και τους αμφορείς ταυτόχρονα;
Διευκρίνιση:
Παλατινή Ανθολογία. Το ανωτέρω πρόβλημα είναι ιδιαίτερα διαδεδομένο και με μεγάλη ιστορία, γνωστό ως πρόβλημα δεξαμενής (Cistern Problem). Το πρώτο πρόβλημα αυτής της κατηγορίας εμφανίζεται στο έργο Chiu Chang Suan Shu (150 π.Χ.) και αναφέρεται σε 5 σωλήνες που γεμίζουν μια δεξαμενή. Στη συνέχεια το συναντάμε στις Μετρήσεις του ́Ηρωνα (50 μ.Χ.), για κάποιους την πατρότητα του προβλήματος έχει ο ́Ηρωνας. D. E Smith History of Mathematics Vol II, Dover Publications, Inc., New York, 1958, σελίς 538,και στο ∆ιόφαντο. Το συναντάμε στο Propositiones ad Acuendos Juvenes του Αλκουίνου (775 μ.Χ.), στη Lilavati του Bhaskara (1150 μ.Χ.), στο Kholâsat al – Hisâb του Behâ Eddîn (1600 μ.Χ.) και σε πολλά ακόμα κείμενα.
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
O 1ος γεμίζει τον λουτήρα σε 1/6 της μέρας δηλαδή 4 ώρες, άρα κάθε μια ώρα γεμίζει το 1/4 του λουτήρα.
O 2ος γεμίζει τον λουτήρα επίσης σε 4 ώρες, άρα κάθε μια ώρα γεμίζει το 1/4 του λουτήρα.
O 3ος γεμίζει τον λουτήρα σε 12 ώρες, άρα κάθε μια ώρα γεμίζει το 1/12 του λουτήρα.
1/4 + 1/4 + 1/12 = 7/12
Και οι τρεις μαζί σε μία ώρα γεμίζουν τα 7/12 του λουτήρα,
άρα και οι τρεις μαζί γεμίζουν τον λουτήρα σε 12/7 ώρες ή 1 ώρα 42΄ 51΄΄ περίπου.
Ο λουτήρας θα γεμίσει σε 1ωρ. 42΄ λ. 51,43΄΄ λ . Έστω «α» τα λίτρα του νερού που χωράει ο λουτήρας.
Α΄ Έρωτας: Ρίχνει «α» λίτρα σε 1/6 της ημέρας ή 24/6= 4 ώρες.
Β΄ Έρωτας: Ρίχνει «α» λίτρα σε 4 ώρες.
Γ΄ Έρωτας: Ρίχνει α λίτρα σε 1/2 της ημέρας ή 24/2= 12 ώρες.
Επομένως όλοι οι Έρωτες μαζί ρίχνουν:
α/4+α/4+α/12= (3α/12)+(3α/12)+α/12=(7α)/12 λίτρα σε 1 ώρα.
Άρα «α» λίτρα ρίχνουν και οι τρεις μαζί στο λουτήρα σε 12/7 ώρες ή 1/14 της ημέρας*.
Μετατρέπουμε τα 12/7 ώρες σε ώρες λεπτά και δευτερόλεπτα:
(12/7)*60=102,85714285714285714285714285714
102΄λεπτά= 60΄λεπτα και 42΄΄ λεπτα = 1ωρ.:42΄ λ.
0,85714285714285714285714285714*60=51,4285714285714285714285714284 ήτοι:
51,43΄΄ λ.
* Στα σχόλια που συνοδεύουν τα προβλήματα στο βιβλίο Ανθολογία Ελληνική ή Παλατινή Ανθολογία, Βιβλίον XIV: Προβλήματα, αριθμητικά αινίγματα, χρησμοί, 1967, δίνεται η απάντηση 1και 1/11 ώρες ή 1/11 της ημέρας. Την απάντηση αυτή την λαμβάνουμε αν υποθέσουμε ότι η μέρα έχει 12 ώρες.