Ο γρίφος της ημέρας – “Αναζητώντας το τελευταίο ψηφίο” (για άριστους λύτες)

3 σχόλια

1. Anna 01/10/2017

   Θα ειναι μηδέν αφου στους δεκαδικούς αριθμούς προσθέτοντας το μηδέν στο τέλος του αριθμού μετά την υποδιαστολή δεν αλλάζει την αξία του

2. Μάνος Κοθρής 01/10/2017

   Προφανώς ζητείται το τελευταίο μη μηδενικό δεκαδικό ψηφίο.

   Ο αριθμός γράφεται (2^2019)/(10^2019)
   Το τελευταίο μη μηδενικό δεκαδικό ψηφίο που ζητείται είναι το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 2^2019
   Με δεδομένο ότι 2^5 = 32 (τελειώνει σε 2) έχουμε
   2^2019 = 2^(5*403+4) = (2^5)^403 *2^4 –> 2^403 * 2^4 = 2^407
   2^407 = 2^(5*81+2) = (2^5)^81 *2^2 –> 2^81 * 2^2 = 2^83
   2^83 = 2^(5*16+3) = (2^5)^16 *2^3 –> 2^16 * 2^3 = 2^19
   2^19 = 2^(5*3+4) = (2^5)^3 *2^4 –> 2^3 * 2^4 = 2^7
   2^7 = 2^5 *2^2 –> 2 * 2^2 = 8

   Επομένως το τελευταίο μη μηδενικό δεκαδικό ψηφίο είναι το 8.

3. Carlo de Grandi 01/10/2017

   Λύση του Α. Δρούγα.
   1/(5)^2019 = (2^2019)/(2^2019)*(5^2019)= (2^2019)/10^2019
   Ο αριθμητής έχει το ίδιο τελικό ψηφίο με τον αρχικό αριθμό καθώς είναι ο αρχικός με την υποδιαστολή μετατοπισμένη κατά 2.019 θέσεις αριστερά. Τώρα,οι δυνάμεις του 2 έχουν ένα κύκλο τελευταίου ψηφίου μήκους 4 ψηφίων:
   2, 4, 8, 6,
   2, 4, 8, 6,
   2, 4, 8, 6,
   2, 4, 8, 6,……..
   Έτσι 2.019 = 4*504+3
   Άρα έχουμε 504 κύκλους 2, 4, 8, 6 και επιπλέον 2, 4, 8
   Οπότε το τελευταίο ψηφίο είναι το 8.