Έστω 2x η βάση και y το ύψος που αντιστοιχεί στη βάση αυτή.
Εμβαδόν αρχικού τριγώνου = E = xy
Πυθαγόρειο θεώρημα σε ένα από τα δύο ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίζονται : x^2+y^2=1
Είναι (x-y)^2 >= 0
x^2 + y^2 – 2xy >= 0
1 – 2E >= 0
E <= 1/2
Ελάχιστο εμβαδόν = 1/2, όταν το αρχικό τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.
Με Πυθαγόρειο θεώρημα βρίσκουμε ότι η τρίτη πλευρά είναι ρίζα(2)
Μάνος Κοθρής
Διορθώνω
Μέγιστο εμβαδόν = 1/2
Θανάσης Παπαδημητρίου
Μια αμιγώς γεωμετρική προσέγγιση θα μπορούσε να είναι η εξής:
Αν ΑΒ και ΑΓ είναι οι δύο πλευρές μήκους 1, τότε θεωρώντας την ΑΒ ως σταθερή βάση του τριγώνου και περιστρέφοντας την ΑΓ γύρω από την κορυφή Α, εύκολα διαπιστώνουμε ότι η απόσταση της κορυφής Γ από την πλευρά ΑΒ, δηλαδή το ύψος του τριγώνου, μεγιστοποιείται όταν η ΑΓ γίνεται κάθετη στην ΑΒ. Επομένως το μέγιστο εμβαδό αντιστοιχεί σε μήκος πλευράς ΒΓ ίσο με ρίζα(1^2+1^2)=ρίζα2.
Δρούγας Θ.
Άψογοι και οι δύο.Το βρήκα στο Wheels, Life and Other Mathematical Amusements του Martin Gardner όταν έψαχνα υλικό για προβλήματα ακροτάτων στην Γ λυκείου.Στο σχολείο το τερματίζουμε με την ανάλυση. Το αστείο είναι ότι όλα τα γεωμετρικά προβλήματα ακροτάτων του σχολικού στην Γ λυκείου λύνονται χωρίς παράγωγο.
Θανάσης Παπαδημητρίου
Να ‘σαι καλά ΘΑΝΑΣΗ.
Ας μου επιτραπεί να συμπληρώσω μόνο ότι και η ανισότητα α^2+β^2>ή=2αβ που χρησιμοποίησε ο Μάνος (πρόκειται στην ουσία για την ανισότητα αριθμητικού και γεωμετρικού μέσου) είναι πολύ χρήσιμη και σε προβλήματα αναζήτησης ακροτάτων σε συναρτήσεις ακέραιων μεταβλητών, όπου η χρήση διαφορικού λογισμού, λόγω ασυνέχειας, δεν είναι μαθηματικά δόκιμη.
Έστω 2x η βάση και y το ύψος που αντιστοιχεί στη βάση αυτή.
Εμβαδόν αρχικού τριγώνου = E = xy
Πυθαγόρειο θεώρημα σε ένα από τα δύο ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίζονται : x^2+y^2=1
Είναι (x-y)^2 >= 0
x^2 + y^2 – 2xy >= 0
1 – 2E >= 0
E <= 1/2
Ελάχιστο εμβαδόν = 1/2, όταν το αρχικό τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.
Με Πυθαγόρειο θεώρημα βρίσκουμε ότι η τρίτη πλευρά είναι ρίζα(2)
Διορθώνω
Μέγιστο εμβαδόν = 1/2
Μια αμιγώς γεωμετρική προσέγγιση θα μπορούσε να είναι η εξής:
Αν ΑΒ και ΑΓ είναι οι δύο πλευρές μήκους 1, τότε θεωρώντας την ΑΒ ως σταθερή βάση του τριγώνου και περιστρέφοντας την ΑΓ γύρω από την κορυφή Α, εύκολα διαπιστώνουμε ότι η απόσταση της κορυφής Γ από την πλευρά ΑΒ, δηλαδή το ύψος του τριγώνου, μεγιστοποιείται όταν η ΑΓ γίνεται κάθετη στην ΑΒ. Επομένως το μέγιστο εμβαδό αντιστοιχεί σε μήκος πλευράς ΒΓ ίσο με ρίζα(1^2+1^2)=ρίζα2.
Άψογοι και οι δύο.Το βρήκα στο Wheels, Life and Other Mathematical Amusements του Martin Gardner όταν έψαχνα υλικό για προβλήματα ακροτάτων στην Γ λυκείου.Στο σχολείο το τερματίζουμε με την ανάλυση. Το αστείο είναι ότι όλα τα γεωμετρικά προβλήματα ακροτάτων του σχολικού στην Γ λυκείου λύνονται χωρίς παράγωγο.
Να ‘σαι καλά ΘΑΝΑΣΗ.
Ας μου επιτραπεί να συμπληρώσω μόνο ότι και η ανισότητα α^2+β^2>ή=2αβ που χρησιμοποίησε ο Μάνος (πρόκειται στην ουσία για την ανισότητα αριθμητικού και γεωμετρικού μέσου) είναι πολύ χρήσιμη και σε προβλήματα αναζήτησης ακροτάτων σε συναρτήσεις ακέραιων μεταβλητών, όπου η χρήση διαφορικού λογισμού, λόγω ασυνέχειας, δεν είναι μαθηματικά δόκιμη.
Η αρχική μου προσέγγιση ήταν η εξής:
https://imgur.com/TdHQD0c