Υπάλληλος εταιρείας με έδρα την Αθήνα συχνά ταξιδεύει στην επαρχία με σκοπό την προώθηση προϊόντων και τη σύσφιξη σχέσεων με τους πελάτες.
Στο τελευταίο του ταξίδι είχε σκοπό να επισκεφθεί τις πόλεις Α, Β, Γ.
Στην πόλη Α διαμένει σε ξενοδοχείο με κόστος διανυκτέρευσης 50€.
Στην πόλη Β διαμένει σε ξενοδοχείο με κόστος διανυκτέρευσης 60€.
Στην πόλη Γ διαμένει σε ξενοδοχείο με κόστος διανυκτέρευσης 75€.
Στο ταξίδι αυτό ξόδεψε συνολικά για κόστος διαμονής 500€.
Ζητείται να βρεθεί πόσες ήταν οι διανυκτερεύσεις Δ του ταξιδιού.
Προτάθηκε από Αθανάσιο Γακόπουλο
Έστω x οι διανυκτερεύσεις στην πόλη Α, y οι διανυκτερεύσεις στην πόλη Β και z οι διανυκτερεύσεις στην πόλη Γ.
Τότε, ισχύει: 50x + 60y + 75z = 500 (1), όπου x, y, z θετικοί ακέραιοι.
Επειδή το άθροισμα είναι πολλαπλάσιο του 10, πρέπει ο όρος 75z να είναι πολλαπλάσιο του 10 και μικρότερος του 500. Άρα πρέπει οπωσδήποτε ο z να είναι άρτιος και μικρότερος του 8, δηλ. z = 2 ή z = 4 ή z = 6.
Αν z = 6, τότε (1) => 50x + 60y + 450 = 500 => 50x + 60y = 50, δεν επαληθεύεται για κανένα συνδυασμό θετικών ακέραιων.
Άρα, o z δεν είναι 6.
Αν z = 4, τότε (1)=> 50x + 60y + 300 = 500 => 50x + 60y = 200, δεν επαληθεύεται για κανένα συνδυασμό θετικών ακέραιων.
Άρα, ο z δεν είναι 4.
Άρα, είναι z = 2, οπότε (1)=> 50x + 60y + 150 = 500 => 50x + 60y = 350 (2).
Επειδή το αποτέλεσμα είναι πολλαπλάσιο του 50, πρέπει οπωσδήποτε ο όρος 60y να είναι πολλαπλάσιο του 50 και μικρότερος του 350. Άρα, είναι y = 5.
Έτσι, έχουμε (2) => 50x + 300 = 350 => x = 1.
Τελικά, οι διανυκτερεύσεις ήταν: x + y + z = 1 + 5 + 2 = 8 διανυκτερεύσεις.
8 διανυκτερεύσεις
Έστω x οι διανυκτερεύσεις στην πόλη Α, y στην πόλη Β και ω στην πόλη Γ .
Υποθέτουμε ότι διανυκτέρευσε σε κάθε πόλη τουλάχιστον 1 φορά.
Άρα x,y, ω>0 και δ>x, δ>y, δ>ω και δ>3
δ = x+y+ω
50x+60y+75ω=500
10x+12y+15ω=100
10(x+y+ω)+2y+5ω=100
10δ+2y+5ω=100
Είναι δ <10 και y = πολ5, με 0<y<δ<10
Άρα y=5.
Tότε 10δ+5ω=90
2δ+ω=18, με ω= άρτιος και 7<δ<9
Επομένως δ = 8 (ω=2 και x=1)
Επαλήθευση : 1*50+5*60+2*75=500
Αν χ,ψ,ζ οι αριθμοί διανυκτερεύσεων στα ξενοδοχεία Α,Β,Γ αντιστοίχως, ισχύει:
50χ+60ψ+75ζ=500 =>
10χ+12ψ+15ζ=100
Ο 100 είναι ζυγός, όπως και οι 10χ, 12ψ. Για να είναι ζυγός και ο 15ζ, πρέπει να είναι απαραίτητα ζυγός ο ζ.
Ο 100 είναι πολλαπλάσιος του 5, όπως και οι 10χ και 15ζ. Για να είναι πολλαπλάσιος του 5 και ο 12ψ, πρέπει να είναι απαραίτητα πολλαπλάσιος του 5 ο ψ.
Αν σε κάθε πόλη έγινε τουλάχιστον μία διανυκτέρευση, μοναδική θετική ακέραια λύση είναι η χ=1, ψ=5, ζ=2 και οι διανυκτερεύσεις συνολικά 1+5+2=8.
Οι διανυκτερεύσεις ήταν 8.
Α=1 διανηκτέρευση.
Β=5 διανηκτερεύσεις.
Γ=2 διανικτερεύσεις.
Σύνολο: 8 διανηκτερεύσεις.
5α+60β+75γ=50€
50*1+60*5+75*2=500€
50€+300€+150€=500€