Αν α η αρχική απόσταση του τρένου από την είσοδο του τούνελ, β το μήκος του τούνελ και υ η ταχύτητα του Τοτού, ισχύουν οι ισότητες:
α/90=5β/12υ και
(α+β)/90=7β/12υ
Αφαιρώντας κ.μ. την πρώτη από τη δεύτερη έχουμε:
β/90=2β/12υ => υ=15 km/h
Μάνος Κοθρής
Έστω x το μήκος του τούνελ, y η απόσταση του τρένου από την είσοδο του τούνελ και υ η ταχύτητα του Τοτού σε km/h.
Αν κινηθεί προς την έξοδο του τούνελ πρέπει 7x/12/υ=(x+y)/90
Αν κινηθεί προς την είσοδο του τούνελ πρέπει 5x/12/υ=y/90
Αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε x/(6υ)=x/90 ή 6υ=90 ή υ = 15
Επομένως υ=15 km/h
Η ταχύτητα του Τοτού είναι 15χλμ/ω. Έστω:
ω = η απόσταση του τρένου από την είσοδο «Α».
α = Το μήκος του τούνελ.
υ = Η ταχύτητα της γάτας.
V = Η ταχύτητα του τρένου.
Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: τις εξισώσεις
α) Σύμφωνα με το τύπο της ομαλής ευθύγραμμης κίνησης S = t*υ, ο Τοτός για να
φθάσει στην είσοδο «Α» του τούνελ θα χρειαστεί χρόνο:
S = t*υ —-> t =S/υ —-> t = (5α)/12υ (1)
β)Το τρένο για να φθάσει στην είσοδο «Α» του τούνελ θα χρειαστεί χρόνο:
S = t*υ —-> t = S/υ —-> t = ω/V (2)
Εφόσον φθάνουν συγχρόνως οι χρόνοι και των δύο είναι ίσοι, οπότε έχουμε:
(5α)/12υ = ω/V (3)
γ)Για να φθάσει ο Τοτός στην έξοδο «Β» του τούνελ θα χρειαστεί χρόνο:
S = t*υ —> t = S/υ —> t = (7α)/12υ (4)
δ)Για να φθάσει το τρένο στην έξοδο «Β» του τούνελ θα χρειαστεί χρόνο:
S = t*υ —–> t =S/υ —> t = (ω+α)/V (5)
Εφόσον φθάνουν συγχρόνως, οι χρόνοι και των δύο είναι ίσοι, οπότε έχουμε:
(7α)/12υ = (ω+α)/V (6)
Από τ’ ανωτέρω έχουμε:
(5α/12υ)/(7α)12υ = (ω/V)/(ω+α)/V —-> (5α*12υ)/(7α*12υ) =(V*ω)/V*(ω+α) —-> 5/7 = ω/(ω+α) —-> 5*(ω+α) = 7ω —-> 5ω+5α = 7ω —-> 5α = 7ω-5ω —->
5α = 2ω —-> α = 2ω/5 (7)
Αντικαθιστούμε την (7) στη (3) κι’ έχουμε:
(5α)/12υ = ω/V —-> 5*(2ω/5)/12υ = ω/V —–> 2ω/12υ = ω/V —->
2ω*V = 12υ*ω —-> V = (12υ*ω)/2ω —-> V = 6υ (8)
Άρα η ταχύτητα του τρένου είναι έξι φορές μεγαλύτερη της ταχύτητας του Τοτού..
V(τρένου)=4*υ(Τοτού) —-> 90Km/h=6*υ –> υ=90/6 —-> υ=15Km/h (Τοτού)
@Μάνος Κοθρής
Μάνο, όταν το είδα είπα δεν νομίζω ότι θα το δει κάποιος, αλλά ξεγελάστηκα. Τελικά είσαι μεγαλύτερη γάτα από το Τοτό. 🙂 🙂 Για την ιστορία το πρόβλημα αυτό το έχω με παραλλαγή τη γάτα. και με διαφορετικά δεδομένα που δίνει ως αποτέλεσμα πάλι 15χλμ/ω.
Αν α η αρχική απόσταση του τρένου από την είσοδο του τούνελ, β το μήκος του τούνελ και υ η ταχύτητα του Τοτού, ισχύουν οι ισότητες:
α/90=5β/12υ και
(α+β)/90=7β/12υ
Αφαιρώντας κ.μ. την πρώτη από τη δεύτερη έχουμε:
β/90=2β/12υ => υ=15 km/h
Έστω x το μήκος του τούνελ, y η απόσταση του τρένου από την είσοδο του τούνελ και υ η ταχύτητα του Τοτού σε km/h.
Αν κινηθεί προς την έξοδο του τούνελ πρέπει 7x/12/υ=(x+y)/90
Αν κινηθεί προς την είσοδο του τούνελ πρέπει 5x/12/υ=y/90
Αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε x/(6υ)=x/90 ή 6υ=90 ή υ = 15
Επομένως υ=15 km/h
http://omathimatikos.gr/wp-content/uploads/2018/03/τσι-1.jpg
Η ταχύτητα του Τοτού είναι 15χλμ/ω. Έστω:
ω = η απόσταση του τρένου από την είσοδο «Α».
α = Το μήκος του τούνελ.
υ = Η ταχύτητα της γάτας.
V = Η ταχύτητα του τρένου.
Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: τις εξισώσεις
α) Σύμφωνα με το τύπο της ομαλής ευθύγραμμης κίνησης S = t*υ, ο Τοτός για να
φθάσει στην είσοδο «Α» του τούνελ θα χρειαστεί χρόνο:
S = t*υ —-> t =S/υ —-> t = (5α)/12υ (1)
β)Το τρένο για να φθάσει στην είσοδο «Α» του τούνελ θα χρειαστεί χρόνο:
S = t*υ —-> t = S/υ —-> t = ω/V (2)
Εφόσον φθάνουν συγχρόνως οι χρόνοι και των δύο είναι ίσοι, οπότε έχουμε:
(5α)/12υ = ω/V (3)
γ)Για να φθάσει ο Τοτός στην έξοδο «Β» του τούνελ θα χρειαστεί χρόνο:
S = t*υ —> t = S/υ —> t = (7α)/12υ (4)
δ)Για να φθάσει το τρένο στην έξοδο «Β» του τούνελ θα χρειαστεί χρόνο:
S = t*υ —–> t =S/υ —> t = (ω+α)/V (5)
Εφόσον φθάνουν συγχρόνως, οι χρόνοι και των δύο είναι ίσοι, οπότε έχουμε:
(7α)/12υ = (ω+α)/V (6)
Από τ’ ανωτέρω έχουμε:
(5α/12υ)/(7α)12υ = (ω/V)/(ω+α)/V —-> (5α*12υ)/(7α*12υ) =(V*ω)/V*(ω+α) —-> 5/7 = ω/(ω+α) —-> 5*(ω+α) = 7ω —-> 5ω+5α = 7ω —-> 5α = 7ω-5ω —->
5α = 2ω —-> α = 2ω/5 (7)
Αντικαθιστούμε την (7) στη (3) κι’ έχουμε:
(5α)/12υ = ω/V —-> 5*(2ω/5)/12υ = ω/V —–> 2ω/12υ = ω/V —->
2ω*V = 12υ*ω —-> V = (12υ*ω)/2ω —-> V = 6υ (8)
Άρα η ταχύτητα του τρένου είναι έξι φορές μεγαλύτερη της ταχύτητας του Τοτού..
V(τρένου)=4*υ(Τοτού) —-> 90Km/h=6*υ –> υ=90/6 —-> υ=15Km/h (Τοτού)
Ναι,σωστά,για την ιστορία είναι πρόβλημα του 2002 από το Καναδικό Mathematical Mayhem
Γάτα ο Τοτός Carlo;
@Μάνος Κοθρής
Μάνο, όταν το είδα είπα δεν νομίζω ότι θα το δει κάποιος, αλλά ξεγελάστηκα. Τελικά είσαι μεγαλύτερη γάτα από το Τοτό. 🙂 🙂 Για την ιστορία το πρόβλημα αυτό το έχω με παραλλαγή τη γάτα. και με διαφορετικά δεδομένα που δίνει ως αποτέλεσμα πάλι 15χλμ/ω.