Εσύ και ένας φίλος ναυαγήσατε σ’ ένα πολύ μικρό νησί.
Αφού τελειώσατε όλες τις προμήθειες που είχατε, δεν σας απέμενε τίποτα άλλο από μία μπανάνα, έτσι αποφασίσατε να την διεκδικήσετε σε ένα παιχνίδι με ζάρια.
Συμφωνήσατε από κοινού στους εξής κανόνες, και οι δύο θα ρίξετε από ένα ζάρι, αν ο μεγαλύτερος αριθμός και από τα δύο ζάρια που ρίξατε είναι 1, 2, 3 ή 4 τότε κερδίζει ο παίκτης Α ενώ αν ο μεγαλύτερος αριθμός και από τα δύο ζάρια που ρίξατε είναι 5 ή 6 τότε κερδίζει ο παίκτης Β.
Για παράδειγμα αν οι αριθμοί μετά την ρίψη των ζαριών είναι 1 και 4 τότε κερδίζει ο παίκτης Α ενώ αν οι αριθμοί είναι 5 και 3 τότε κερδίζει ο παίκτης Β.
Λοιπόν ποιος θα ήθελες να είσαι; ο παίκτης Α ή ο Β;
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
Η πιθαμότητα να κερδίσει ο Α είναι 16/36, ενώ η πιθσνότητα να κερδίσει ο Β είναι 20/36
Τα ενδεχόμενα είναι συνολικά 36. Ο Α κερδίσει στα 4+2*3+2*2+2*1=16, ενώ ο Β στα υπόλοιπα 2+2*5+2*4=20. Δε μου αρέσουν οι μπανάνες, οπότε θα προτιμήσω Α?.
Ο Β με πιθανότητα 1/2 που προκύπτει από 18 ζεύγη (1,5),(1,6),…,(6,5) από τα 36 δυνατά αποτελέσματα της ρίψης 2 ζαριών, ενώ ο Α με πιθανότητα 1/3 που προκύπτει από τα (1,2),…(4,3). Εξαιρούνται τα 6 αποτελέσματα (1,1),…,(6,6).
Ο Α γιατί έχει τις διπλάσιες πιθανότητες να κερδίσει
Ας δώσω αναλυτικά τη λύση:
Με μια πρώτη ματιά ίσως να φαίνεται πως ο παίκτης Α έχει το πλεονέκτημα αφού κερδίζει αν ένας από τους τέσσερις αριθμούς του είναι ο μεγαλύτερος σε αντίθεση με τον Β που κερδίζει αν ένας από τους δύο αριθμούς του είναι ο μεγαλύτερος, παρόλα αυτά ο παίκτης Β έχει πιθανότητα 55,6% να κερδίσει.
Ένας τρόπος για να βρούμε την λύση είναι να κάνουμε έναν πίνακα με όλους τους πιθανούς συνδυασμούς των δύο ζαριών, όπως φαίνεται στην ανωτέρω εικόνα, και μετά να μετρήσουμε σε πόσους από αυτούς τους συνδυασμούς κερδίζει ο Α και σε πόσους ο Β. Όπως φαίνεται στην εικόνα, από τους συνολικά 36 πιθανούς συνδυασμούς (6 x 6 = 36) ο παίκτης Α κερδίζει σε 16 συνδυασμούς (4 x 4 = 16) ενώ ο παίκτης Β σε 20 συνδυασμούς (36 – 16 = 20) δηλαδή ο Β έχει μεγαλύτερη πιθανότητα να κερδίσει. Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα να κερδίσει ο παίκτης Α διαιρούμε το πλήθος των συνδυασμών που κερδίζει, με το πλήθος όλων των συνδυασμών δηλαδή 16/36 = 44,4% με τον ίδιο τρόπο ο παίκτης Β έχει πιθανότητα 20/36 = 55,6% να κερδίσει. Αυτό δεν σημαίνει βέβαια πως αν παίξουν μία φορά ο παίκτης Β θα κερδίσει αλλά ούτε πως αν παίξουν 36 φορές ο παίκτης Β θα κερδίσει 20 φορές. Αυτό που ισχύει είναι πως αν ρίχνουν για πάντα τα ζάρια (άπειρες φορές) τότε ο παίκτης Α θα κερδίσει το 44,4% των παιχνιδιών ενώ ο παίκτης Β το 55,6% των παιχνιδιών.
Πηγή: http://mathimatikaparaksena.blogspot.gr/