Aν ΕΑ=5, ΕΓ=14 και ΕΒ=10 και φέρω τα ύψη ΕΖ, ΕΗ των τριγώνων ΑΕΒ, ΕΔΓ από ΠΘ: ΑΕ^2=ΑΖ^2+ΕΖ^2, ΕΓ^2=ΕΗ^2+ΗΓ^2 και με πρόσθεση ΑΕ^2+ΕΓ^2=ΔΗ^2+ΖΕ^2+ΕΗ^2+ΖΒ^2=ΔΕ^2+ΕΒ^2 απ’ όπου 25+196=ΔΕ^2+100, ΔΕ=11.
Θανάσης Παπαδημητρίου
Έστω χ η απόσταση του Ε από την τέταρτη κορυφή και α, β, γ, δ οι αποστάσεις του Ε από τις 4 πλευρές του ορθογωνίου. Από Π.Θ έχουμε:
α^2+δ^2=χ^2 (1)
γ^2+δ^2=5^2 (2)
γ^2+β^2=10^2 (3)
α^2+β^2=14^2 (4)
Από (1)+(3)-(2)-(4) προκύπτει:
0=χ^2+10^2-5^2-14^2 => χ^2=121 => χ=11
Το σημείο Ε απέχει από την τέταρτη κορυφή 81εκ. Φέρουμε τις ευθείες Ζ, και Η προς την Ε από τις πλευρές του τετραγώνου ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΗΕ, ΑΖΕ, ΒΗΕ, και ΓΖΕ είναι όμοια, βάσει του Πυθαγορείου Θεωρήματος έχουμε:
(ΖΕ)^2+(ΖΓ)^2=(ΓΕ)^2 —-> x^2+(α-y)^2=10^2 (1)
(HB)^2+(HE)^2=(BE)^2 —> (α-x)^2+y^2=14^2 (2)
(ZE)^2+(AZ)^2=(AE)^2 —> x^2+y^2=5^2 (3)
Από τη (3) συνάγουμε ότι:
x^2+y^2=5^2 —-> x^2=5^2-y^2 (4)
x^2+y^2=5^2 —-> y^2=5^2-x^2 (5)
Αντικαθιστούμε τη (4) στην (1) κι’ έχουμε:
x^2+(α-y)^2=10^2 —-> 5^2-y^2+α^2-2αy+y^2=10^2 —-> 25-y^2+α^2-2αy+y^2=100 —>
α^2-2αy=100-25 —-> α^2-2αy=75 —-> α^2-2αy-75=0 (6)
Αντικαθιστούμε τη (5) στην (2) κι’ έχουμε:
(α-x)^2+y^2=14^2 —-> α^2-2αx+x^2+5^2-x^2=14^2 —-> α^2-2αx+25=196 —->
α^2-2αx=196-25 —–> α^2-2αx=171 —-> α^2-2αx-171=0 (7)
Λύνουμε τις (6) και (7) ως προς y και x κι’ έχουμε:
α^2-2αy-75=0 —-> 2αy=α^2-75 —-> y=(α^2-75)/2α (8)
α^2-2αx-171=0 —-> 2αx=α^2-171 —-> x=(α^2-171)/2α (9)
Αντικαθιστούμε τις (8) και (9) στη (3) κι’ έχουμε:
x^2+y^2=5^2 —-> [(α^2-171)/2α]^2+[(α^2-75)/2α]^2=5^2 —->
[(α^4-2*171α^2+171^2)/2^2*α^2)]+[(α^4-2*75α^2+75^2)/2^2*α^2]=5^2 —->
[(α^4-342α^2+ 29.241)/4α^2]+[(α^4-150α^2+ 5.625)/4α^2]=25 —->
(α^4-342α^2+ 29.241)+(α^4-150α^2+ 5.625)=25*4α^2 —->
α^4-342α^2+29.241+α^4-150α^2+ 5.625=100α^2 —->
2α^4-492α^2+34.866=100α^2 —-> 2α^4-492α^2+34.866-100α^2 =0—->
2α^4-592α^2+34.866=0
Διαιρούμε δια δύο κι’ έχουμε:
α^4 -296α^2+17.433=0 (10)
Η (10) γίνεται:
α^4 -296α^2+17.433=0 —-> (α^2)^2-296α^2+17.433=0 (11)
Αντικαθιστούμε το α^2 με x κι’ έχουμε:
(α^2)^2-296α^2+17.433=0 —-> (x)^2-296x+17.433 =0 (12)
Βάσει του τύπου της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχουμε:
x= [-β±sqrt[(β)^2-4αγ]]/2α —–> x=[296±sqrt[(-296)^2-4*1*17.433]/2*1 —–>
x=[296±sqrt[87.616-69.732]/2 —–> x=[296±sqrt(17.884)]/2 —-> x=(296±133,73)/2
x1=(296+133,73)/2 —-> x1=429,73/2 —–> x1=214,865εκ. αποδεκτή
x2=(296-133,73)/2 —-> x2= 162,27/2 —–> x2=81,135,εκ. αποδεκτή
Το πρόβλημα αποτελεί παραλλαγή του προβλήματος του Brian Bolt από το βιβλίο του «Mathematical Cavalcade, εκδ.Cambridge University Press, 1992 πρβ. #108 σελ.56»
χ = 11 cm
Είναι χ^2 + 10^2 = 14^2 + 5^2
Aν ΕΑ=5, ΕΓ=14 και ΕΒ=10 και φέρω τα ύψη ΕΖ, ΕΗ των τριγώνων ΑΕΒ, ΕΔΓ από ΠΘ: ΑΕ^2=ΑΖ^2+ΕΖ^2, ΕΓ^2=ΕΗ^2+ΗΓ^2 και με πρόσθεση ΑΕ^2+ΕΓ^2=ΔΗ^2+ΖΕ^2+ΕΗ^2+ΖΒ^2=ΔΕ^2+ΕΒ^2 απ’ όπου 25+196=ΔΕ^2+100, ΔΕ=11.
Έστω χ η απόσταση του Ε από την τέταρτη κορυφή και α, β, γ, δ οι αποστάσεις του Ε από τις 4 πλευρές του ορθογωνίου. Από Π.Θ έχουμε:
α^2+δ^2=χ^2 (1)
γ^2+δ^2=5^2 (2)
γ^2+β^2=10^2 (3)
α^2+β^2=14^2 (4)
Από (1)+(3)-(2)-(4) προκύπτει:
0=χ^2+10^2-5^2-14^2 => χ^2=121 => χ=11
Λύση:
Το σημείο Ε απέχει από την τέταρτη κορυφή 81εκ. Φέρουμε τις ευθείες Ζ, και Η προς την Ε από τις πλευρές του τετραγώνου ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΗΕ, ΑΖΕ, ΒΗΕ, και ΓΖΕ είναι όμοια, βάσει του Πυθαγορείου Θεωρήματος έχουμε:
(ΖΕ)^2+(ΖΓ)^2=(ΓΕ)^2 —-> x^2+(α-y)^2=10^2 (1)
(HB)^2+(HE)^2=(BE)^2 —> (α-x)^2+y^2=14^2 (2)
(ZE)^2+(AZ)^2=(AE)^2 —> x^2+y^2=5^2 (3)
Από τη (3) συνάγουμε ότι:
x^2+y^2=5^2 —-> x^2=5^2-y^2 (4)
x^2+y^2=5^2 —-> y^2=5^2-x^2 (5)
Αντικαθιστούμε τη (4) στην (1) κι’ έχουμε:
x^2+(α-y)^2=10^2 —-> 5^2-y^2+α^2-2αy+y^2=10^2 —-> 25-y^2+α^2-2αy+y^2=100 —>
α^2-2αy=100-25 —-> α^2-2αy=75 —-> α^2-2αy-75=0 (6)
Αντικαθιστούμε τη (5) στην (2) κι’ έχουμε:
(α-x)^2+y^2=14^2 —-> α^2-2αx+x^2+5^2-x^2=14^2 —-> α^2-2αx+25=196 —->
α^2-2αx=196-25 —–> α^2-2αx=171 —-> α^2-2αx-171=0 (7)
Λύνουμε τις (6) και (7) ως προς y και x κι’ έχουμε:
α^2-2αy-75=0 —-> 2αy=α^2-75 —-> y=(α^2-75)/2α (8)
α^2-2αx-171=0 —-> 2αx=α^2-171 —-> x=(α^2-171)/2α (9)
Αντικαθιστούμε τις (8) και (9) στη (3) κι’ έχουμε:
x^2+y^2=5^2 —-> [(α^2-171)/2α]^2+[(α^2-75)/2α]^2=5^2 —->
[(α^4-2*171α^2+171^2)/2^2*α^2)]+[(α^4-2*75α^2+75^2)/2^2*α^2]=5^2 —->
[(α^4-342α^2+ 29.241)/4α^2]+[(α^4-150α^2+ 5.625)/4α^2]=25 —->
(α^4-342α^2+ 29.241)+(α^4-150α^2+ 5.625)=25*4α^2 —->
α^4-342α^2+29.241+α^4-150α^2+ 5.625=100α^2 —->
2α^4-492α^2+34.866=100α^2 —-> 2α^4-492α^2+34.866-100α^2 =0—->
2α^4-592α^2+34.866=0
Διαιρούμε δια δύο κι’ έχουμε:
α^4 -296α^2+17.433=0 (10)
Η (10) γίνεται:
α^4 -296α^2+17.433=0 —-> (α^2)^2-296α^2+17.433=0 (11)
Αντικαθιστούμε το α^2 με x κι’ έχουμε:
(α^2)^2-296α^2+17.433=0 —-> (x)^2-296x+17.433 =0 (12)
Βάσει του τύπου της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχουμε:
x= [-β±sqrt[(β)^2-4αγ]]/2α —–> x=[296±sqrt[(-296)^2-4*1*17.433]/2*1 —–>
x=[296±sqrt[87.616-69.732]/2 —–> x=[296±sqrt(17.884)]/2 —-> x=(296±133,73)/2
x1=(296+133,73)/2 —-> x1=429,73/2 —–> x1=214,865εκ. αποδεκτή
x2=(296-133,73)/2 —-> x2= 162,27/2 —–> x2=81,135,εκ. αποδεκτή
Το πρόβλημα αποτελεί παραλλαγή του προβλήματος του Brian Bolt από το βιβλίο του «Mathematical Cavalcade, εκδ.Cambridge University Press, 1992 πρβ. #108 σελ.56»