Μια νύχτα μπήκε ένας κλέφτης σ’ ένα κοσμηματοπωλείο.
Ο κλέφτης βρήκε στο χρηματοκιβώτιο ένα σωρό από διαμάντια.
Η πρώτη του σκέψη ήταν να τα πάρει όλα και να φύγει.
Η συνείδησή του όμως τον εμπόδισε.
Έτσι , πήρε τα μισά διαμάντια και έκανε να φύγει.
Το μετάνιωσε όμως και λίγο πριν φύγει, πήρε ακόμη ένα διαμάντι.
Ύστερα από λίγα λεπτά, ένας δεύτερος κλέφτης μπήκε στο ίδιο κοσμηματοπωλείο.
Πήρε τα μισά από τα εναπομείναντα διαμάντια συν ένα διαμάντι.
Μετά, ένας τρίτος κλέφτης μπήκε στο ίδιο κοσμηματοπωλείο πήρε τα μισά από τα υπόλοιπα διαμάντια συν ένα διαμάντι.
Το ίδιο και ο τέταρτος κατά σειρά κλέφτης, μπήκε στο ίδιο κοσμηματοπωλείο πήρε τα μισά από τα εναπομείναντα διαμάντια συν ένα διαμάντι.
Τέλος, μπήκε κι ένας πέμπτος κλέφτης, αλλά δεν βρήκε κανένα διαμάντι για να κλέψει.
Πόσα διαμάντια είχε αρχικά ο σωρός μέσα στο χρηματοκιβώτιο;
προτάθηκε από Carlo de Grandi
papaveri48.blogspot.com
degrand1@otenete.gr
30 διαμάντια υπήρχαν στο χρηματοκιβώτιο.
Με απλή εξίσωση ως προς χ = αριθμός διαμαντιών.
(χ/2 + 1) + (χ/4 + 1/2) + (χ/8 + 1/4) + (χ/16 + 1/8) = χ
O α΄ πήρε (x+2)/2 και έμειναν (x-2)/2. Ο β΄ (x+2)/4 και έμειναν (x-6)/4. Ο γ΄ πήρε (x+2)/8 και έμειναν (x-14)/8. Ο δ΄πήρε (x+2)/16 και έμειναν (x-30)/16. Άρα υπήρχαν 30. Ο ν-οστός παίρνει (x+2)/2^ν και μένουν (x-(2^(ν+1)-2))/2^ν. Αφού μετά τον 4ο μένουν 0 πρέπει x-(2^5-2)=0 x=30.
Αν ν ο αριθμος των κλεφτων, αριθμωντας τους απο τον τελευταιο προς τον πρωτο, και Αν η ποσοτητα διαμαντιων που βρισκει ο καθενας, τοτε:
Αν-(Αν/2-1)=Αν-1 => (Αν/2)-1=(Αν-1) => Αν=2*((Αν-1))+1)
με Α1=0
Με βαση τα παραπανω σχηματιζουμε τον παρακατω πινακα:
ν Αν
…………
1 0
2 2
3 6
4 14
5 30
6 62
7 126
8 254
9 510
10 1022
Για ν=5, ο αριθμος των κλεφτων, βρισκουμε Αν=30 ο αριθμος των διαμαντιων που υπηρχαν αρχικα στο χρηματοκιβωτιο.