Κάποιος πήγε στην αγορά τρεις φορές.
(α)Τη πρώτη φορά, έφερε πίσω τα διπλάσια χρυσά νομίσματα απ’ όσα είχε πάρει μαζί του.
(β)Τη δεύτερη φορά, πήρε μαζί του το διπλό ποσό του και επέστρεψε με το ίδιο ποσό συν την τετραγωνική ρίζα του ποσού αυτού επαυξημένου κατά δύο χρυσά νομίσματα
(γ)Όλα αυτά τα διατήρησε και επέστρεψε στην αγορά με αυτά για τρίτη φορά και επέστρεψε με το τετράγωνο από αυτά που πήρε μαζί του και 4 επιπλέον χρυσά νομίσματα. Επέστρεψε από την αγορά με επί πλέον 310 χρυσά νομίσματα
Πόσα χρυσά νομίσματα είχε πάρει μαζί του τη πρώτη φορά;
Από το βιβλίο του Ιταλού γιατρού Girolamo Cardano (1501-1576) με τίτλο «Artis Magnæ», 1545.
The Rules of Algebra: Artis Magnæ
14ο Λύκειο Περιστερίου – Askisopolis
προτάθηκε από Carlo de Grandi
papaveri48.blogspot.com
degrand1@otenete.gr
Aπό τη λύση της εξίσωσης φ^2-φ-306=0 με φ=2x+sqrt(2x+2) προκύπτει λύση φ=18 και από την εξίσωση 2x+sqrt(2x+2)=18 προκύπτει λύση x=7 (η ρητή ρίζα 23/2 απορρίπτεται). Άρα αρχικά είχε πάρει μαζί του 7 χρυσά νομίσματα.
7 λίρες
Εστω x τα χρυσά νομίσματα που είχε πάρει μαζί του τη πρώτη φορά. Τοτε:
(2x+sqrt(2x+2))^2+4-(2x+sqrt(2x+2))=310
(2x+sqrt(2x+2))^2-(2x+sqrt(2x+2))-306=0
Θετω: ω=2x+sqrt(2x+2) οποτε:
ω^2-ω-306=0
ω=(1+sqrt(1+4*306))/2=18
Και: 2x+sqrt(2x+2)=18 => sqrt(2x+2)=18-2x>0 => 9>x (1)
(sqrt(2x+2))^2=(18-2x)^2
2x+2=18^+4x^2-4*18x
2x^2-37x+161=0
Δυο ριζες:
x=(37+sqrt(37^2-4*2*161))/(2*2) = (37+9)/4 = 11,5>9 απορρ. λόγω της (1)
x=(37-sqrt(37^2-4*2*161))/(2*2) = (37-9)/4 = 7<9 αποδεκτη.