Ο γρίφος της ημέρας – Η Απόσταση ΙΙΙ (Για καλούς λύτες)

...3

Στο ανωτέρω σχήμα , έχουμε δυο πασσάλους με ύψη 10μέτρα και 6μέτρα αντίστοιχα, οι οποίοι συνδέονται με δυο σχοινιά τα ΒΓ και ΑΔ.

(α)Αν η μεταξύ τους απόσταση, ΑΓ είναι ίση με 10μέτρα σε ποιο ύψος από το έδαφος ΑΓ βρίσκεται η τομή των σχοινιών; Αλλιώς υπολογίστε το υ. (Σχήμα 1)

(β)Αν η μεταξύ τους απόσταση  ΑΓ είναι ίση με 16μέτρα σε ποιο ύψος από το έδαφος βρίσκεται τώρα  η τομή των δυο σχοινιών; Αλλιώς υπολογίστε το υ. (Σχήμα 2)

(γ)Εξηγήστε γιατί η απόσταση των πασσάλων είναι ανεξάρτητη από το ύψος των σχοινιών.

προτάθηκε από Carlo de Grandi
papaveri48.blogspot.com
degrand1@otenete.gr

3 σχόλια

  1. voulagx

    Τα τριωνα ΒΑΓ και ΕΚΓ ειναι ομοια, αρα:
    υ/ΑΒ=ΚΓ/ΑΓ (1)
    Τα τριγωνα ΔΓΑ και ΕΚΑ ειναι ομοια, αρα:
    υ/ΓΔ=ΚΑ/ΑΓ (2)
    Προσθετουμε κατα μελη τις (1) και (2):
    υ*(1/ΑΒ+1/ΓΔ)=(ΚΑ+ΚΓ)/ΑΓ=ΑΓ/ΑΓ=1 => υ*(ΑΒ+ΓΔ)/(ΑΒ*ΓΔ)=1 => υ=ΑΒ*ΓΔ/(ΑΒ+ΓΔ) (3)
    Αντικαθιστωντας στην (3) τα δεδομενα του προβλήματος βρισκουμε:
    υ=10*6/(10+6)=60/16=15/4=3,75
    Η εξισωση (3) μας δειχνει οτι το υ δεν εξαρταται απο την αποσταση μεταξυ των δυο πασσαλων.
    Με αλλα λογια ο γεωμετρικος τοπος του σημειου Ε ειναι ευθεια παραλληλη προς την ΑΓ και σε αποσταση: υ=ΑΒ*ΓΔ/(ΑΒ+ΓΔ)=ct απο αυτην.

  2. ΚΔ

    α) ΑΔ=8, ΑΕ/ΕΔ=5/3, ΑΕ=5. Ισχύει ΑΕ/ΑΔ=υ/6 άρα υ=3,75.
    β) ΑΔ=14sqrt(2), ΑΕ/ΕΔ=5/3, ΑΕ=8,75sqrt(2). Ισχύει ΑΕ/ΑΔ=υ/6 άρα υ=3,75.
    γ) Γιατί το Ε χωρίζει το ΒΓ και το ΑΔ στον ίδιο λόγο που είναι ίσος με το λόγο των μηκών των πασσάλων, δηλαδή 3/5.

  3. Carlo de Grandi

    Είναι αδύνατον να βρούμε την απόσταση ανάμεσα στους δύο πασσάλους. Το ύψος στο οποίο διασταυρώνονται τα σχοινιά θα είναι πάντα 3,75μ., ανεξάρτητα από την απόσταση των πασσάλων.
    Ενδιαφέρον παρουσιάζει επίσης μια παραλλαγή στην οποία τα μήκη είναι δεδομένα, στα σχοινιά, στο ύψος του σημείου της διασταύρωσης των σχοινιών από το έδαφος και ζητείται η απόσταση μεταξύ των δύο πασσάλων. Το βιβλίο του Martin Gardner “Το Τσίρκο των Μαθηματικών”,1990, έκδοση Τροχαλία, §3, σελίδα 53, αναφέρει ότι η απλούστερη ακέραια λύση του προβλήματος είναι η εξής:
    Μήκη σχοινιών:119μ. και 70μ.
    Ύψος σημείου διασταύρωσης των σχοινιών από το έδαφος:30μ.
    Απόσταση μεταξύ των πασσάλων:56μ.
    Μήκη πασσάλων:105μ. και 42μ.
    Επίσης ο Brian Bolt στο βιβλίο του «Mathematical Cavalcade», 1992 έκδοση Cambridge University Press, αναφέρει δύο παραλλαγές του προβλήματος Νο.92, σελίδα 77 και Νο.110, σελίδα 88.
    Βλέπε σχήμα 1 εδώ:
    https://imgur.com/a/m1e1WqL
    Βλέπε σχήμα 2 εδώ:
    https://imgur.com/a/IJEtijz

Απάντηση