Μια ακολουθία αριθμών α(ν) ορίζεται ως εξής:
α(1) = 1
α(ν) = 1+α(ν/2) για άρτιους ν ή
α(ν) = 1/α(ν-1) για περιττούς ν
Ένας όρος αυτής της ακολουθίας είναι ο αριθμός 19/87. Ποιος κατά σειρά όρος είναι;
προτάθηκε από τον Θανάση Παπαδημητρίου
Μια ακολουθία αριθμών α(ν) ορίζεται ως εξής:
α(1) = 1
α(ν) = 1+α(ν/2) για άρτιους ν ή
α(ν) = 1/α(ν-1) για περιττούς ν
Ένας όρος αυτής της ακολουθίας είναι ο αριθμός 19/87. Ποιος κατά σειρά όρος είναι;
προτάθηκε από τον Θανάση Παπαδημητρίου
Κατ’αρχήν παρατηρούμε ότι για κάθε άρτιο ν, α(ν)>1, ενώ για κάθε περιττό ν, α(ν)<1 (εκτός του α(1))
α(ν)=19/87<1, επομένως ν περιττός. Επομένως,
α(ν-1)=87/19, άρα (ν-1) άρτιος. Επομένως,
α((ν-1)/2)=68/19, άρα (ν-1)/2 αρτιος. Συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο, οπότε έχουμε:
α((ν-1)/4)=49/19,
α((ν-1)/8)=30/19,
α((ν-1)/16)=11/19,
α((ν-17)/16)=19/11,
α((ν-17)/32)=8/11,
α((ν-49)/32)=11/8,
α((ν-49)/64)=3/8,
α((ν-113)/64)=8/3,
α((ν-113)/128)=5/3,
α((ν-113)/256)=2/3,
α((ν-369)/256)=3/2,
α((ν-369)/512)=1/2,
α((ν-881)/512)=2,
α((ν-881)/1024)=1=α(1)
Επομένως (ν-881)/1024=1, άρα ν=1905
Οι όροι της ακολουθίας με περιττό δείκτη είναι μικρότεροι ή ίσοι του 1, ενώ οι όροι με άρτιο δείκτη είναι μεγαλύτεροι του 1.
Επιστρέφοντας από τον όρο α(κ) = 19/87 στον α(1)
Αν ο όρος είναι μικρότερος της μονάδας αντιστρέφουμε και από τον αντίστοιχο δείκτη αφαιρούμε 1
Αν ο όρος είναι μεγαλύτερος της μονάδας αφαιρούμε 1 και υποδιπλασιάζουμε τον δείκτη.
Όροι (από τον α(κ) στον α(1)):
19/87 –> 87/19 –> 68/19 –> 49/19 –> 30/19 –> 11/19 –> 19/11 –> 8/11 –> 11/8 –> 3/8 –> 8/3 –> 5/3 –> 2/3 –> 3/2 –> 1/2 –> 2 –> 1 = α(1)
Δείκτες (από τον 1 στον κ):
1 –> 2 –> 3 –> 6 –> 7 –> 14 –> 28 –> 29 –> 58 –> 59 –> 118 –> 119 –> 238 –> 476 –> 952 –> 1904 –> 1905
Επομένως α(1905) = 19/87
Αν εκφράσουμε το α(ν) σαν κ/λ τότε στα άρτια ν έχουμε κ>λ και στα περιττά ν έχουμε κ<λ.
Επίσης ισχύουν τα παρακάτω:
1. Αν α(ν)=κ/λ με ν=άρτιος τότε α(ν+1)=λ/κ.
2. Αν α(ν)=κ/λ με ν=άρτιος τότε α(2ν)=(κ+λ)/λ.
Με αυτά τα δεδομένα, ξεκινώντας από κάποιο χ+1 τέτοιο ώστε α(χ+1)=19/87, πηγαίνω ανάποδα μέχρι να καταλήξω στο ν=1 και στο τέλος μετράω τα βήματα που έκανα, ώστε να βρω τελικά το χ+1. Το χ+1 είναι περιττός γιατί 19 α(χ)=87/19 -> α(χ/2)=68/19 -> α(χ/2/2)=49/19 -> α(χ/2/2/2)=30/19 -> α(χ/2/2/2/2)=11/19 -> α(χ/2/2/2/2-1)=19/11 -> α((χ/2/2/2/2-1)/2)=8/11 -> α((χ/2/2/2/2-1)/2-1)=11/8 -> α(((χ/2/2/2/2-1)/2-1)/2)=3/8 -> α(((χ/2/2/2/2-1)/2-1)/2-1)=8/3 -> α((((χ/2/2/2/2-1)/2-1)/2-1)/2)=5/3 -> α((((χ/2/2/2/2-1)/2-1)/2-1)/2/2)=2/3 -> α((((χ/2/2/2/2-1)/2-1)/2-1)/2/2-1)=3/2 -> α(((((χ/2/2/2/2-1)/2-1)/2-1)/2/2-1)/2)=1/2 -> α(((((χ/2/2/2/2-1)/2-1)/2-1)/2/2-1)/2-1)=2/1 -> α((((((χ/2/2/2/2-1)/2-1)/2-1)/2/2-1)/2-1)/2) = 1/1 = α(1)
Άρα χ = (((((1*2+1)*2+1)*2*2+1)*2+1)*2+1)*2*2*2*2 = 1904
Άρα χ+1 = 1905, οπότε το 19/87 είναι ο 1905-ος όρος της ακολουθίας.
Δεν ξέρω αν δικαιούστε αναδρομικά, εγώ πάντως ό,τι κι αν λένε τα δικαστήρια, οι υπουργοί και η τρόικα, σας τα αναγνωρίζω και για τους τρεις στο ακέραιο και θα σας τα καταβάλω σε 1905 δόσεις?.
Συγχαρητήρια!!!