Ένα αυτοκίνητο διανύει μια διαδρομή 200 χμ.
Το αυτοκίνητο διαθέτει υπολογιστή, ο οποίος δείχνει κάθε στιγμή τον υπολειπόμενο χρόνο ταξιδιού, με βάση την υπόθεση ότι το αυτοκίνητο θα έχει από εκείνη τη στιγμή μέχρι την άφιξη στον προορισμό του όση μέση ταχύτητα είχε από την αφετηρία μέχρι εκείνη τη στιγμή.
Η ένδειξη υπολειπόμενου χρόνου μετά από 40 λεπτά ταξιδιού ήταν 1 ώρα και παρέμεινε σταθερά στη 1 ώρα για τις επόμενες 5 ώρες μέχρι να αλλάξει.
Πώς είναι δυνατό να συμβεί αυτό;
Πόσα χιλιόμετρα διαδρομής απέμεναν τη στιγμή αλλαγής της ένδειξης;
προτάθηκε από τον Θανάση Παπαδημητρίου
Μετά από 40 λεπτά ο συνολικός εκτιμόμενος χρόνος ταξιδιού ήταν 1ώρα40′ = 100′ με μέση ταχύτητα 2 km/min. Άρα είχε διανύσει ήδη 120 km.
Μετά από 5 ώρες και 40 λεπτά ο συνολικός εκτιμόμενος χρόνος ταξιδιού ήταν 6 ώρες και 40′ = 400′ με μέση ταχύτητα 1/2 km/min. Άρα είχε διανύσει 170 km.
Από το 120km ως το 170km η ταχύτητα μειώθηκε σταθερά από 2 km/min σε 1/2 km/min,.
Aπέμεναν 30 χιλιόμετρα
Χάριν απλότητας, στις σχέσεις που ακολουθούν, θεωρούμε όλα τα μεγέθη που εκφράζουν αποστάσεις, εκπεφρασμένες σε χιλιόμετρα, τους χρόνους σε ώρες και τις ταχύτητες σε χλμ/ώρα
Εστω U(t) η μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου από την έναρξη της κίνησης μέχρι τη χρονική στιγμή t.
Η απόσταση s(t) που έχει διανυθεί ως τότε είναι s(t)=u(t)*t
Η εναπομένουσα απόσταση, βάσει της εκφώνησης είναι u(t)*1
Επομένως 200=u(t)*t+u(t), δηλαδή u(t)=200/(t+1)
και s(t)=u(t)*t, δηλαδή s(t)=200*t/t+1)
Η στιγμιαία ταχύτητα, σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή t, θα είναι η πρώτη παράγωγος του s(t), που είναι
s'(t)=200/(t+1)^2
Κατά τη στιγμή της αλλαγής της ένδειξης, εχουν περάσει 5 ώρες και 40 λεπτά, δηλαδή 17/3 ώρες, οπότε
Εχει διανυθεί απόσταση s=200*(17/3)/(20/3)=170 χιλιόμετρα, οπότε απομένουν ακόμα 30 χιλιόμετρα
Η μέση ταχύτητα από την αφετηρία μέχρι εκείνη τη στιγμή είναι u=200/(20/3)=30 χιλιόμετρα την ώρα (οπότε όντως ο υπολογιστής προβλέπει για τα τελευταία 30 χιλιόμετρα ακόμα μία ώρα)
Η στιγμιαία ταχύτητα του αυτοκινήτου εκείνη τη στιγμή είναι 200/(400/9)=4.5 χιλιόμετρα/ώρα
Θαυμάσιες λύσεις και οι δύο, Μάνο και Στράτο υποκλίνομαι!
Μια και ο Στράτος έβαλε και το λογισμό στη λύση του (αλίμονο ?), να προσθέσω ότι η στιγμιαία μεταβολή της ταχύτητας, για όσο χρόνο η ένδειξη ήταν κολλημένη στη 1 ώρα, ήταν γ(t)= s”(t) = -400/(t+1)^3, δηλαδή αρνητική (επιβράδυνση), πράγμα που κουμπώνει με το γεγονός ότι η συνάρτηση στιγμιαίας ταχύτητας υ(t)=s'(t)=200/(t+2)^2 είναι μεν φθίνουσα, αλλά διαρκώς θετική. Αυτό με τη σειρά του κουμπώνει με το γεγονός ότι η συνάρτηση της διανυθείσας απόστασης s(t)=200*t/(t+1) είναι διαρκώς θετική και αύξουσα, ότι δηλαδή το αυτοκίνητο πλησιάζει διαρκώς στον προορισμό του, παρά το κόλλημα της ένδειξης..
Έστω χ τα χλμ που έχει διανύσει το αυτοκίνητο στα 40 λεπτά μετά την έναρξη του ταξιδιού. Για να δείχνει ο υπολογιστής ένδειξη 1ώρα σημαίνει ότι χ/(2/3)=200-χ => χ=80 χλμ.
Έτσι στα 40 λεπτά μετά την έναρξη έχει κάνει 80 χλμ, κινείται με ταχύτητα 120 χλμ και του μένουν 120 χλμ μέχρι το τέλος.
Από εκεί και έπειτα ρίχνει την ταχύτητα σταδιακά μέχρι να φτάσουμε στα 170 χλμ.
Μετά από 1ώρα (80+α)/(5/3)=120-α α=45 μ.τ=75 υπολ. διάστημα=75 ένδειξη => 1ωρα
Μετά από 2 ώρες (125+β)/(8/3)=75-β β=225/11 μ.τ=600/11 υ.δ. 75-225/11=600/11 ένδειξη=>1ώρα
Μετά από 3 ώρες (1600/11+γ)/(11/3)=600/11-γ γ=900/77 μ.τ.=300/7 υ.δ. 600/11-900/77=
300/7 ένδειξη=>1ώρα
Μετά από 4 ώρες (1100/7+δ)/(14/3)= 300/7-δ δ=900/119 μ.τ.=600/17 υ.δ.
300/7-900/119=600/17 ένδειξη=>1ώρα
Μετά από 5 ώρες (2800/17+ε)/(17/3)=600/17-ε ε=90/17 μ.τ=30 υ.δ.600/17-90/17=30 ένδειξη=>1ώρα
**Όπου α,β,γ,δ,ε τα διαστήματα που διανύει ανά ώρα.
Μέχρι και 5 ώρες μετά τα πρώτα 40 λεπτά το αυτοκίνητο έχει διανύσει συνολικά 170 χλμ και μας μένουν 30 χλμ