Εφ’όσον τα κ και λ είναι ακέραιοι, το εμβαδόν γίνεται ελάχιστο, όταν 12*λ-5*κ=1(ή -1, ανάλογα με τη φορά που λαμβάνουμε τα σημεία)
Υπάρχουν διάφοροι συνδυασμοί κ και λ που δίνουν το ζητούμενο, πχ (5,2), (7,3), (17,7) κλπ, που όλες καταλήγουν στο ελάχιστο εμβαδόν Ε=1,5
Μάνος Κοθρής
Ο(0,0), Α(36,15), Β(κ,λ)
διάνυσμα ΟΑ=(36,15), διάνυσμα ΟΒ=(κ,λ)
Εμβαδόν =1/2*απόλυτη τιμή της ορίζουζας των διανυσμάτων
Ε=1/2*απόλυτο(36λ-15κ) = 3/2*απόλυτο(12λ-5κ)
Ελάχιστο εμβαδόν 3/2 όταν κ = 5 και λ = 2
Μάνος Κοθρής
Υπάρχουν άπειρα κοινά σημεία (κ , λ) με κ,λ ακεραίους που σχηματίζουν τρίγωνα με ελάχιστο εμβαδόν 3/2, τα οποία βρίσκονται σε δύο παράλληλες ευθείες με εξισώσεις y = (5x – 1)/12 και y = (5x + 1)/12
Αν γράψουμε το εμβαδόν σαν συνάρτηση των συντεταγμένων κ και λ και απλοποιώντας βάσει του γεγονότος ότι το ένα σημείο είναι στο (0,0), η συνάρτηση του εμβαδού γράφεται:
Ε(κ,λ)=|36λ-15κ|/2
ή απλοποιώντας λίγο ακόμα:
|12λ-5κ|=(2/3)*Ε(κ,λ)
Αν το τρίγωνο δεν είναι εκφυλισμένο, δηλαδή Ε(κ,λ)>0, τότε η ελάχιστη ακέραια τιμή του |12λ-5κ| είναι το 1.
Αυτό πράγματι συμβαίνει π.χ. για (κ,λ)=(5,2) αλλά υπάρχουν άπειρες άλλες λύσεις.
Έτσι έχουμε 1=(2/3)*Ε(5,2) ==> Ε(5,2)=3/2 που είναι το ελάχιστο εμβαδόν.
ΚΔ
Λύνοντας τις διοφαντικές 5k-12l=1ή-1 παίρνουμε ως λύσεις τα ζεύγη ακεραίων (5-12t, 2-5t) και (-5-12t, -2-5t) t ακέραιος.
Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του Gauss για τον υπολογισμό εμβαδου τριγωνου (γενικότερα πολυγώνου) από τις συντεταγμένες των κορυφών του:
2? = Σ(?? ∗ (??−1 − ??+1))
2Ε=0*(15-λ)+κ(0-15)+36*(λ-0)=36*λ-15*κ=3*(12*λ-5*κ)
Εφ’όσον τα κ και λ είναι ακέραιοι, το εμβαδόν γίνεται ελάχιστο, όταν 12*λ-5*κ=1(ή -1, ανάλογα με τη φορά που λαμβάνουμε τα σημεία)
Υπάρχουν διάφοροι συνδυασμοί κ και λ που δίνουν το ζητούμενο, πχ (5,2), (7,3), (17,7) κλπ, που όλες καταλήγουν στο ελάχιστο εμβαδόν Ε=1,5
Ο(0,0), Α(36,15), Β(κ,λ)
διάνυσμα ΟΑ=(36,15), διάνυσμα ΟΒ=(κ,λ)
Εμβαδόν =1/2*απόλυτη τιμή της ορίζουζας των διανυσμάτων
Ε=1/2*απόλυτο(36λ-15κ) = 3/2*απόλυτο(12λ-5κ)
Ελάχιστο εμβαδόν 3/2 όταν κ = 5 και λ = 2
Υπάρχουν άπειρα κοινά σημεία (κ , λ) με κ,λ ακεραίους που σχηματίζουν τρίγωνα με ελάχιστο εμβαδόν 3/2, τα οποία βρίσκονται σε δύο παράλληλες ευθείες με εξισώσεις y = (5x – 1)/12 και y = (5x + 1)/12
Αν γράψουμε το εμβαδόν σαν συνάρτηση των συντεταγμένων κ και λ και απλοποιώντας βάσει του γεγονότος ότι το ένα σημείο είναι στο (0,0), η συνάρτηση του εμβαδού γράφεται:
Ε(κ,λ)=|36λ-15κ|/2
ή απλοποιώντας λίγο ακόμα:
|12λ-5κ|=(2/3)*Ε(κ,λ)
Αν το τρίγωνο δεν είναι εκφυλισμένο, δηλαδή Ε(κ,λ)>0, τότε η ελάχιστη ακέραια τιμή του |12λ-5κ| είναι το 1.
Αυτό πράγματι συμβαίνει π.χ. για (κ,λ)=(5,2) αλλά υπάρχουν άπειρες άλλες λύσεις.
Έτσι έχουμε 1=(2/3)*Ε(5,2) ==> Ε(5,2)=3/2 που είναι το ελάχιστο εμβαδόν.
Λύνοντας τις διοφαντικές 5k-12l=1ή-1 παίρνουμε ως λύσεις τα ζεύγη ακεραίων (5-12t, 2-5t) και (-5-12t, -2-5t) t ακέραιος.
Εξαιρετικοί κι οι τρεις!!!