Ο γρίφος της ημέρας – Η Τιμή (για καλούς λύτες)

...5

Ο θετικός ακέραιος «Α» έχει το γινόμενο των ψηφίων του ίσο με 12, το άθροισμα των ψηφίων του ίσο με 9 και επί πλέον διαιρείται με το 4.

Να βρείτε τη μικρότερη και τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του «Α».

προτάθηκε από Carlo de Grandi
papaveri48.blogspot.com
degrand1@otenete.gr

5 σχόλια

  2. ΚΔ

    12=2^2*3, άρα τα δυνατά ψηφία με άθροισμα 9 είναι: 1,2,6 σε 3ψήφιο, 1,1,3,4 σε 4ψήφιο και 1,1,2,2,3 σε 5ψήφιο. Για να διαιρείται με το 4 πρέπει το τελευταίο διψήφιο τμήμα του να είναι πολλαπλάσιο του 4, άρα ο μικρότερος είναι ο 216 και ο μεγαλύτερος ο 32.112.

  3. Στράτος

    Για να διαιρείται ενας αριθμός με το 4, θα πρέπει τα δύο τελευταία ψηφία του να σχηματίζουν αριθμό που να διαρειται με το 4. Λαμβάνοντας υπ’όψιν τους περιορισμούς για το άθροισμα και το γινόμενο ψηφίων, καταλήγουμε ότι ο Α μπορεί να λήγει μόνο σε 12, 16, ή 32

    Εαν λήγει σε 16, η μοναδική λύση είναι Α=216
    Εαν λήγει σε 32, τότε οι προκείμενοι του 32 αριθμοί πρεπει να είναι 1,1,2 (με οποιαδήποτε σειρά). Εχουμε δηλαδή τις λύσεις 11232, 12132 και 21132
    Εάν λήγει σε 12, είτε ο προκείμενος αριθμός είναι το 6, οπότε έχουμε τη λύση Α=612, είτε προηγούνται οι αριθμοί 1,2,3 με οποιαδήποτε σειρά, οπότε έχουμε τις λύσεις 12312, 13212, 21312, 23112, 31212 και 32112

    Επομένως η μικρότερη δυνατή τιμή του Α είναι 216 και η μεγαλύτερη 32112

  4. Μάνος Κοθρής

    Μικρότερη=216
    Μεγαλύτερη=32112

    Ο αριθμός είναι άρτιος, δεν έχει 0 ή 5 ή 7 ή 9, δεν τελειώνει σε 8
    Έστω ότι το τελευταίο ψηφίο είναι 6
    Τότε τα υπόλοιπα είναι 1 ή 2, άρα το προτελευταίο είναι 1 (για να είναι πολ4)
    Αν τελειώνει σε 16, τότε τα υπόλοιπα εχουν άθροισμα και γινόμενο 2, άρα ο αριθμός είναι ο 216.

    Έστω ότι το τελευταίο ψηφίο είναι 4
    Τα υπόλοιπα είναι 1 ή 3, άρα ο αριθμός τελειώνει σε 34 ή 14 και δεν είναι πολ4

    Έστω ότι το τελευταίο ψηφίο είναι 2
    Για να είναι πολ4 θα πρέπει το προτελευταίο ψηφίο να είναι 1 ή 3
    Αν ο αριθμός τελειώνει σε 32, τότε τα υπόλοιπα ψηφία έχουν γινόμενο 2 και άθροισμα 4, δηλαδή είναι 1,1 και 2.
    Οπότε προκύπτουν οι αριθμοί : 11232, 12132, 21132
    Αν ο αριθμός τελειώνει σε 12, τότε τα υπόλοιπα ψηφία έχουν γινόμενο 6 και άθροισμα 6, δηλαδή είναι 1,2 και 3
    Οπότε προκύπτουν οι αριθμοί : 12312, 13212, 21312, 23112, 31212, 32112.

  5. Carlo de Grandi

    Πηγή: 77ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός στα Μαθηματικά «Ο Ευκλείδης», 28-01-2017 Β΄ Γυμνασίου.

Απάντηση