Σε ένα τουρνουά πάλης με 144 παλαιστές, γίνεται ένας αγώνας τη φορά και ο ηττημένος αποκλείεται από τη συνέχεια.
Όλοι οι αγώνες γίνονται μεταξύ παλαιστών που οι μέχρι τότε νίκες τους διαφέρουν το πολύ κατά 1.
Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός αγώνων τού νικητή του τουρνουά;
προτάθηκε από τον Θανάση Παπαδημητρίου
Μέχρι να φθάσουν σε μονό αριθμό παικτών δηλ. 9 θα έχουν δώσει 4 αγώνες ο καθένας. Ο ένας θα κληρωθεί να περάσει στην επόμενη φάση χωρίς αγώνα, έστω ο 9ος. Οι υπόλοιποι 8 θα δώσουν αγώνα μεταξύ τους, οπότε θα μείνουν 4 με 5 αγώνες και 1 με 4. Έστω Α,Β,Γ,Δ οι 4 με τους 5 αγώνες και Ε ο άλλος με τους 4. Θα κληρωθεί ένας από τους 4 να περάσει χωρίς αγώνα στην επόμενη φάση και θα γίνουν 2 αγώνες, ένας αναγκαστικά μεταξύ των παικτών με τους 5 αγώνες και ένας μεταξύ του ενός με τους 5 αγώνες και του άλλου με τους 4. Έστω Α+Β–>Α 6ος αγώνας, κληρώνεται ο Δ 5 αγώνες, Γ+Ε–>Γ 6ος αγώνας ή Ε 5ος αγώνας. Αν μείνουν οι Α,Δ,Ε θα παίξουν οι Δ,Ε 6ος αγώνας και ο νικητής με τον Α 7ος αγώνας. Αν μείνουν οι Α,Δ,Γ θα κληρωθεί ένας από τους Α,Γ για τελικό και θα παίξει ο άλλος με τον Δ. Έστω Α+Δ–>Α 7ος αγώνας ή Δ 6ος αγώνας. Αν νικήσει ο Α ο τελικός Α-Γ θα είναι ο 8ος αγώνας για τον Α, που είναι και ο ζητούμενος μέγιστος αριθμός αγώνων.
3 ομάδες α,β,γ σπό 48 η καθεμία
Παίζει η α με την β, κερδίζει μόνο η α και έπειτα α με γ κερδίζει ξανά η α
Έχουμε 48 παίκτες με 2 νίκες.
3 ομάδες δ,ε,ζ με 16 παίκτες η καθεμία και όμοια μένουν 16 παίκτες με 4 νίκες
3 ομάδες η,θ,ι με 5 παίκτες και χ1 μόνος του
Παίζει η η με θ κερδίζει η η, ο χ1 αντικαθιστά τόν η1, παίζει η η με την ι κερδίζει η η και έχουμε 4 παίκτες με 6 νίκες και 2 με 5 νίκες
Παίζουν οι δύο με 6ν με τους 2 με 5ν και κερδίζουν οι 6ν
Έχουνε 2 με 7ν και 2 με 6ν
Κερδίζουν οι 7ν και έχουμε τελικό με δύο παίκτες που έχουν 8ν
Ο νικητής θα έχει 9 νίκες.
Λοιπόν, ξεκινάμε με το νικητή με τη μία και μέσω αυτού αναδρομικά βγάζουμε πορίσματα για τους υπόλοιπους.
Πρώτο παιχνίδι νικητή (0 νίκες) με κάποιον με 0 νίκες (αναγκαστικά)->1 άτομο.
Δεύτερο παιχνίδι νικητή (1 νίκη) με κάποιον και πάλι με 0 νίκες-> 1 άτομο
Τρίτο παιχνίδι νικητή (2 νικες) με κάποιον με 1 νίκη-> 2 άτομα
Εδώ να αναφέρω ότι τα άτομα μετά το ‘->’ είναι τα ελάχιστα άτομα που πρέπει να αγωνιστούν για να προκύψει άτομο με τις νίκες που αναφέρονται πριν από το ‘->’, ώστε να προκύψουν να μέγιστα παιχνίδια. Τα άτομα αυτά μάλιστα προκύπτουν από όσα έχουν προκύψει πριν για το νικητή. Δηλαδή είδαμε ότι για να φτάσει ο νικητής να έχει μια νίκη αγωνίστηκε με άλλο 1 άτομο και νίκησε. Αντίστοιχα για να μπορέσει ο νικητής να έχει δύο νίκες πρέπει να αγωνιστεί με 2 άτομα τα οποία δεν πρέπει καν να έχουν αγωνιστεί λόγω της συνθήκης (1 νίκη λιγότερη).
Ας συνεχίσουμε τώρα.
Τέταρτο παιχνίδι νικητή (3 νικες) με κάποιον με 2 νίκες-> 3 άτομα
Πέμπτο παιχνίδι νικητή (4 νίκες) με κάποιον με 3 νίκες-> 5 ατομα
Έκτο παιχνίδι νικητή (5 νίκες) με κάποιον με 4 νικες-> 8 άτομα
Έβδομο παιχνίδι νικητή (6 νίκες) με κάποιον με 5 νίκες-> 13 άτομα
Όγδοο παιχνίδι νικητή (7 νίκες) με κάποιον με 6 νίκες-> 21 άτομα
Ένατο παιχνίδι νικητή (8 νίκες) με κάποιον με 7 νίκες-> 34 άτομα
Δέκατο παιχνίδι νικητή (9 νίκες) με κάποιον με 8 νίκες+> 55 άτομα
Αν αθροίσουμε όλα αυτά τα άτομα:
1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=143
Και ένας ο νικητής 144. Άρα η απάντηση είναι ότι θα παίξει το πολύ 10 αγώνες.
Τέλος να αναφέρω ότι οι αριθμοί αυτοί ακολουθούν την αλληλουχία Fibonacci, δηλαδή κάθε επόμενος αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Άρα μπορούσα να μην μακρυγορήσω , απλά ήθελα να το κάνω όσο πιο κατανοητό γίνεται για όλους. Καλές γιορτές
Καλή χρονιά σε όλους
Για να υπάρξει παίκτης με 1 νίκη χρειάζονται 2 παίκτες
Για να υπάρξει παίκτης με 2 νίκες χρειάζονται το λιγότερο 3 παίκτες
Για να υπάρξει παίκτης με 3 νίκες χρειάζονται το λιγότερο 5 παίκτες
Για να υπάρξει παίκτης με 4 νίκες χρειάζονται το λιγότερο 8 παίκτες
Για να υπάρξει παίκτης με 5 νίκες χρειάζονται το λιγότερο 13 παίκτες
Για να υπάρξει παίκτης με 6 νίκες χρειάζονται το λιγότερο 21 παίκτες
Για να υπάρξει παίκτης με 7 νίκες χρειάζονται το λιγότερο 34 παίκτες
Για να υπάρξει παίκτης με 8 νίκες χρειάζονται το λιγότερο 55 παίκτες
Για να υπάρξει παίκτης με 9 νίκες χρειάζονται το λιγότερο 89 παίκτες
Οι 144 χωρίζονται σε 55 και 89 και βγαίνει τελικός με δύο παίκτες που έχουν 8 και 9 νίκες αντίστοιχα.
Ο νικητής μπορεί να έχει 10 νίκες.
Ο νικητής του τουρνουά θα συμμετάσχει στον μέγιστο αριθμό αγώνων αν σε κάθε αγώνα παίζει με κάποιον που έχει μία νίκη λιγότερη από αυτόν, εκτός από τον πρώτο του αγώνα. Το ίδιο πρέπει να κάνει και καθένας από τους υπόλοιπους.
Αν η συνάρτηση F(ν) εκφράζει τον αριθμό των συμμετασχόντων που πρέπει να έχουν αποκλειστεί προκειμένου ο νικητής να κερδίσει τον ν-οστό του αγώνα, τότε ισχύει ότι F(ν)=F(ν-1)+F(ν-2). Η συνάρτηση F δηλαδή είναι μια σειρά Fibonacci. Το άθροισμα S όλων των συμμετασχόντων που έχουν αποκλειστεί προκειμένου να κερδίσει τελικά το τουρνουά ο νικητής δίνεται από το άθροισμα όλων των τιμών της F από το F(1) έως το F(x) όπου x ο μέγιστος αριθμός αγώνων που ψάχνουμε. Για x=10 προκύπτει ότι S=143 και ένας ο νικητής: 144, δηλαδή ακριβώς όσοι και οι συμμετέχοντες στο τουρνουά. Άρα ο μέγιστος αριθμός αγώνων είναι 10.
Ο νικητής του τουρνουά μπορεί να κερδίσει συνολικά 10 αγώνες. Παρατηρούμε ότι ο πιο οικονομικός τρόπος για να “φτιάξουμε” έναν νικητή με 2 νίκες προϋποθέτει την ύπαρξη συνολικά 3 παλιστών. Για έναν νικητή 3 νικών θέλουμε 5. Για 4 νίκες θέλουμε 8 (5+3). Ακολουθώντας την ίδια λογική μπορούμε να φτιάξουμε έναν παλαιστή 9 νικών (89 άτομα) και έναν παλαιστή 8 νικών (55 άτομα) οι οποίοι θα παίξουν μεταξύ τους με νικητή τον πρώτο (89+55=144).
Πολύ σωστά, 10 νίκες το πολύ. Να πούμε μόνο πώς προκύπτει η Fibonacci και γιατί όχι πάνω από 10.
Εστω π(ν) ο ελάχιστος αριθμός παλαιστών για να υπάρξει νικητής με ν νίκες. Προφανώς π(1)=2 και π(2)=3. Για να υπάρξει νικητής με ν νίκες, πρέπει ο ίδιος να φτάσει στον τελικό με ν-1 νίκες και ο ηττημένος του τελικού με ν-2 τουλάχιστον νίκες. Δεδομένου ότι κανένας άλλος παλαιστής δεν έχει ηττηθεί και από τους δύο του τελικού, ο ελάχιστος συνολικός αριθμός παλαιστών είναι π(ν)=π(ν-1)+π(ν-2). Λαμβάνοντας τώρα υπόψη ότι συμμετέχουν συνολικά ακριβώς 144 = π(10) παλαιστές, ο αριθμός αγώνων του νικητή του τουρνουά δεν μπορεί να υπερβαίνει τους 10.
Θερμά συγχαρητήρια και ευχαριστίες σε όλους σας. Καλή χρονιά με υγεία και νίκες παντού?!