Κατά τη διάρκεια μιας διάλεξης, καθένας από μία πεντάδα μαθηματικών αποκοιμήθηκε ακριβώς δύο φορές.
Για κάθε ζεύγος μαθηματικών υπήρχε κάποια στιγμή που και οι δύο κοιμόντουσαν ταυτόχρονα.
Δείξτε ότι κάποια στιγμή, υπήρχαν τρεις μαθηματικοί που κοιμόντουσαν ταυτόχρονα.
14η Μαθηματική Ολυμπιάδα Η.Π.Α 1985
προτάθηκε από Carlo de Grandi
papaveri48.blogspot.com
degrand1@otenete.gr
Οι 5 μαθηματικοί σχηματίζουν ανά δύο 10 ζευγάρια. Αν πάρουμε, για κάθε ζευγάρι, την πρώτη χρονικά στιγμή που κοιμόντουσαν και τα δύο μέλη του, θα έχουμε αντίστοιχα 10 τέτοιες στιγμές, τις οποίες ονομάζουμε στιγμές-2. Σε μια στιγμή-2, ο ένας μαθηματικός του ζευγαριού αποκοιμιέται ακριβώς εκείνη τη στιγμή, ενώ ο άλλος ή είχε αποκοιμηθεί νωρίτερα ή αποκοιμιέται ακριβώς εκείνη τη στιγμή επίσης.
Αν ονομάσουμε στιγμές-1 τις 10 συνολικά στιγμές που αποκοιμιέται κάποιος μαθηματικός, είναι προφανές, ότι κάθε στιγμή-2 συμπίπτει με μία τουλάχιστον στιγμή-1.
Αν δύο από τις 10 στιγμές-2 συμπίπτουν, τη στιγμή της σύμπτωσης θα κοιμούνται ταυτόχρονα 3 ή 4 μαθηματικοί (αφού τη συγκεκριμένη στιγμή κοιμούνται ταυτόχρονα δυο ζευγάρια μαθηματικών), οπότε το αποδεικτέο ισχύει χωρίς άλλο.
Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι οι 10 στιγμές-2 είναι όλες διακριτές μεταξύ τους και ας πάρουμε εκείνη που προηγείται χρονικά των άλλων. Η συγκεκριμένη στιγμή-2, σύμφωνα με τα παραπάνω, συμπίπτει με μία ή δύο στιγμές-1. Αν συμπίπτει με μία στιγμή-1, δηλαδή τη στιγμή που αποκοιμιέται ο ένας μαθημστικός, θα έχει προηγηθεί χρονικά άλλη μία στιγμή-1, δηλαδή η στιγμή που είχε αποκοιμηθεί νωρίτερα ο άλλος μαθηματικός του ζευγαριού. Αν συμπίπτει με δύο στιγμές-1, έχουμε την περίπτωση όπου δύο μαθηματικοί αποκοιμιούνται ταυτόχρονα ακριβώς εκείνη τη στιγμή. Σε κάθε περίπτωση, αμέσως μετά από την πρώτη χρονικά στιγμή-2, έπονται άλλες 9 στιγμές-2 για να συμπέσουν με 8 επόμενες στιγμές-1. Αναγκαστικά, αφού οι επόμενες στιγμές-2 είναι περισσότερες από τις επόμενες στιγμές-1, κάποιες στιγμές-2 θα συμπέσουν στην ίδια στιγμή-1 (pigeonhole principle), οπότε θα συμπέσουν και μεταξύ τους (αντίφαση, αφού οι 10 στιγμές-2 υποτέθηκαν διακριτές).
Επομένως, είναι αδύνατο να υπάρξουν 10 διακριτές στιγμές-2 και, υποχρεωτικά, δύο τουλάχιστον από αυτές συμπίπτουν. Επομένως, είναι βέβαιο ότι υπάρχει στιγμή κατά την οποία κοιμόντουσαν ταυτόχρονα τρεις (τουλάχιστον) μαθηματικοί, ό.έ.δ.
Θανάση, πολύ ωραία η ανάλυση που έκανες. Μπράβο σου!!
Πηγή:
https://eisatopon.blogspot.com/2019/05/blog-post_44.html
Αρχικά θα δείξουμε ότι είναι αδύνατο να έχει κοιμηθεί κάποιος και κατά τη διάρκεια του ύπνου του να έχουν κοιμηθεί και οι 4 άλλοι μαθηματικοί. Έστω ότι συμβαίνει, για παράδειγμα κοιμάται ο 1 και κατά τη διάρκεια του ύπνου του κοιμούνται οι 2,3,4,5,
Αυτό σημαίνει ότι ο 2 θα κοιμηθεί μια ακόμη φορά και μαζί του θα κοιμηθούν οι 3,4,5. Αυτό όμως σημαίνει ότι ο 3 δε θα έχει κοιμηθεί με τους 4 και 5 χωρίς να παραβιάσει το όριο των 2 ύπνων.
Μπορεί κάποιος να κοιμηθεί και κατά τη διάρκεια να κοιμηθούν 3 μαζί του; Έστω ότι ο 1 κοιμάται και κατά τη διάρκεια κοιμούνται οι 2,3,4. Αυτό σημαίνει ότι ο 2 θα πρέπει να κοιμηθεί μια ακόμη φορά και κατά τη διάρκεια να κοιμηθούν οι 3,4,5. Όμως αυτό σημαίνει ότι οι 3 και 4 δεν θα έχουν κοιμηθεί ταυτόχρονα χωρίς να σπάσουν το όριο των 2 ύπνων.
Με βάση τα παραπάνω κατά τη διάρκεια του ύπνου του καθενός μπορούν να κοιμηθούν 2 άλλοι (αν κοιμηθεί 1 αυτός σημαίνει ότι στον άλλον ύπνο θα έχουν κοιμηθεί 3, κατάσταση που είδαμε ότι είναι απαγορευτική).
Έστω ότι ο 1 κοιμάται και κατά τη διάρκεια κοιμάται ο 2 και ο 3. Αυτό σημαίνει ότι ο 2 όταν θα κοιμηθεί δεύτερη φορά θα κοιμηθούν οι 3,4,5, θέση απαγορευτική. Συνεπώς δεν υπάρχει δυνατότητα να κοιμηθούν όλα τα ζευγάρια και όλοι να έχουν κοιμηθεί από 2 φορές. Για να ισχύσει το παραπάνω θα πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 3 που κοιμήθηκαν ταυτόχρονα.
Θα δείξουμε ότι ΔΕΝ υπάρχει περίπτωση να έχουν κοιμηθεί λιγότεροι από 3 μαθηματικοί ταυτοχρόνως.
Οποιοσδήποτε στην πεντάδα όταν κοιμηθεί είτε θα κοιμηθούν μαζί 4 ή 3 ή 2 ή 1 ή 0 μαθηματικοί.
(Περίπτωση για 4 )= Για παράδειγμα κοιμάται ο 1 και κατά τη διάρκεια του ύπνου του κοιμούνται οι 2,3,4,5,
Αυτό σημαίνει ότι ο 2 θα κοιμηθεί μια ακόμη φορά και μαζί του θα κοιμηθούν οι 3,4,5. Αυτό όμως σημαίνει ότι ο 3 δε θα έχει κοιμηθεί με τους 4 και 5 χωρίς να παραβιάσει το όριο των 2 ύπνων.
(Περίπτωση για 3 )= Μπορεί κάποιος να κοιμηθεί και κατά τη διάρκεια να κοιμηθούν 3 μαζί του; Έστω ότι ο 1 κοιμάται και κατά τη διάρκεια κοιμούνται οι 2,3,4. Αυτό σημαίνει ότι ο 2 θα πρέπει να κοιμηθεί μια ακόμη φορά και κατά τη διάρκεια να κοιμηθούν οι 3,4,5. Όμως αυτό σημαίνει ότι οι 3 και 4 δεν θα έχουν κοιμηθεί ταυτόχρονα χωρίς να σπάσουν το όριο των 2 ύπνων.
(Περίπτωση για 2) = Με βάση τα παραπάνω κατά τη διάρκεια του ύπνου του καθενός μπορούν να κοιμηθούν 2 άλλοι (αν κοιμηθεί ένας αυτό σημαίνει ότι στον άλλον ύπνο θα έχουν κοιμηθεί 3, κατάσταση που είδαμε ότι είναι απαγορευτική).
Έστω ότι ο 1 κοιμάται και κατά τη διάρκεια κοιμάται ο 2 και ο 3. Αυτό σημαίνει ότι ο 2 όταν θα κοιμηθεί δεύτερη φορά θα κοιμηθούν οι 3,4,5, θέση απαγορευτική. Συνεπώς δεν υπάρχει δυνατότητα να κοιμηθούν όλα τα ζευγάρια και όλοι να έχουν κοιμηθεί από 2 φορές. Για να ισχύσει το παραπάνω θα πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 3 που κοιμήθηκαν ταυτόχρονα.
(Περίπτωση για 1) = Αν κοιμηθεί ο 1 μόνος του, αυτό σημαίνει ότι στο δεύτερο ύπνο θα κοιμηθούν μαζί του οι 2,3,4,5. Τότε όμως θα έχουμε την πρώτη περίπτωση που αναλύσαμε.