Πρόβλημα 1
Καταλαβαίνουμε ότι αν ένας ψηφοφόρος Σ βρεθεί ανάμεσα σε 2 ΝΔ τότε αλλάζει γνώμη στον επόμενο γύρο και το αντίστροφο. Επιπλέον αν ένας Σ (ή ΝΔ) βρεθεί ανάμεσα σε Σ και ΝΔ τότε ΔΕΝ αλλάζει γνώμη στον επόμενο γύρο.
Υπάρχει η περίπτωση να έχουμε διαρκή εναλλαγή γνώμης; Για να συμβεί αυτό θα πρέπει ένας τουλάχιστον να αλλάζει διαρκώς γνώμη σε κάθε γύρο. Πώς μπορεί να συμβεί; Έστω ο Χ, για να έχουμε αλλαγή γνώμης θα πρέπει να έχει εκατέρωθεν ψηφοφόρους του ιδίου κόμματος και αυτός να έχει διαφορετική άποψη. Έστω ότι ο Χ είναι Σ, για να αλλάξει πρέπει να έχει δίπλα του ΝΔ. Στον επόμενο γύρο ο Χ θα είναι ΝΔ, αλλά για να αλλάξει και πάλι θα πρέπει οι 2 ΝΔ να έχουν δίπλα τους ο καθένας από έναν Σ και να έχουν μετατραπεί σε Σ, όπου για να αλλάξουν θα πρέπει να αλλάζουν και οι διπλανοί τους κοκ. Υπό αυτή τη λογική θα πρέπει να έχουμε διαρκή εναλλαγή και να καταλήγουμε ΠΑΝΤΑ σε ζυγό αριθμό ψηφοφόρων.
Για παράδειγμα με 4 ψηφοφόρους σε κυκλική διάταξη κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού σ-νδ-σ-νδ στον επόμενο γύρω γίνονται νδ-σ-νδ-σ και θα συνεχίσουμε αέναα. Αυτό δεν μπορεί να γίνει σε μονό αριθμό σε κυκλική διάταξη γιατί στην καλύτερη των περιπτώσεων η διαφορά μεταξύ ΝΔ και Σ θα είναι 1 και αναγκαστικά μια κυκλική διάταξη θα περιλαμβάνει δύο συνεχόμενους ψηφοφόρους του κόμματος που υπερέχει και άρα θα είναι αδύνατη η διαρκής εναλλαγή (βλέπε παρακάτω).
Αφού είναι αδύνατη η διαρκής εναλλαγή σε μονό αριθμό, σε πόσες το πολύ στιγμές-γύρους μπορεί να σταματήσει η διαδικασία της αλλαγής γνώμης;
Αυτό κυμαίνεται από 1 γύρο μέχρι εκείνους του γύρους που αντιστοιχούν στον αριθμό των ψηφοφόρων του μικρότερου κόμματος συν 1 (+1).
Το παιχνίδι για να σταματήσει θα πρέπει είτε όλοι να γίνουν του ίδιου κόμματος, είτε να έχουμε νησίδες ψηφοφόρων του ενός και του άλλου κόμματος, όπου όμως η κάθε νησίδα θα αποτελείται από τουλάχιστον δύο ψηφοφόρους. Για παράδειγμα, αν είχαμε αρχικό αριθμό ψηφοφόρων 5 σε διάταξη Σ-Σ-Σ-ΝΔ-ΝΔ στον πρώτο γύρο, στον δεύτερο γύρο η διάταξη παραμένει ως έχει. Σε μία διάταξη 7 ψηφοφόρων πάλι σε νησίδες
ΝΔ-ΝΔ-ΝΔ-ΝΔ-Σ-Σ, η διάταξη παραμένει ως έχει. Για να έχουμε τις περισσότερες πεπερασμένες σε αριθμό εναλλαγές θα πρέπει να έχουμε διάταξη με διαρκή εναλλαγή
σ-νδ, με διαφορά 1 δηλαδή 51-50 ή 50-51. Σε αυτή την περίπτωση ξεκινώντας από το γεγονός ότι θα υπάρχουν αναγκαστικά δύο διαδοχικοί ψηφοφόροι του ιδίου κόμματος, στον επόμενο γύρο, αυτοί οι δύο παραμένουν σταθεροί αλλά θα αυξηθεί ο αριθμός των ψηφοφόρων του κόμματος που υπερέχει. Αυτό θα συνεχίζεται τόσους γύρους όσοι είναι οι ψηφοφόροι του κόμματος που υπολείπεται συν ένα γύρο επιπλέον. Στην περίπτωσή μας 51 γύροι (συμπεριλαμβανομένου και του αρχικού).
Παράδειγμα με 7 και κατανομή 4-3, τελικός αριθμός γύρων =4
Σ-Σ-Ν-Σ-Ν-Σ-Ν
Σ-Σ-Σ-Ν-Σ-Ν-Σ
Σ-Σ-Σ-Σ-Ν-Σ-Σ
Σ-Σ-Σ-Σ-Σ-Σ-Σ
Πρόβλημα 2
Παρατηρούμε ότι ρόλο παίζει ο αριθμός των κορυφών που συγκροτούν ένα ημικύκλιο. Στις 5 είναι 3 διαδοχικές, στις 7 είναι 4, στις 9 είναι 5, δηλαδή για σύνολο κορυφών 2ν+1 είναι ν+1 οι διαδοχικές κορυφές που συγκροτούν ημικύκλιο. Επιπλέον θα πρέπει να γνωρίζουμε ότι για να ΜΗ σχηματίζεται οξυγώνιο θα πρέπει οι κορυφές του τριγώνου να βρίσκονται στο ίδιο ημικύκλιο. Επίσης, σε πολύγωνα μονού αριθμού κορυφών, η διάμετρος που περνάει από την κορυφή συναντά πλευρά του πολυγώνου και όχι αντίστοιχη κορυφή.
Ο Κυριάκος (παίχτης Β) έχει το πλεονέκτημα.
Η στρατηγική του Κυριάκου είναι να σβήνει κορυφή που απέχει ν+1 από την κορυφή που διέγραψε ο Αλέξης, δηλαδή να απομακρύνεται από το ημικύκλιο που έπαιξε ο Αλέξης (παίχτης Α).
Ας υποθέσουμε ότι το παιχνίδι συνεχίζεται μέχρι τη στιγμή που ο Αλέξης σβήσει κορυφή (κίνηση Χ) έτσι ώστε έχει συμπληρωθεί μια ομάδα ν τουλάχιστον κορυφών, που σημαίνει ότι κερδίζει το παιχνίδι. Υπάρχουν 2 ενδεχόμενα νίκης του Αλέξη:
(Α) Αν η κίνηση Χ γίνει στο ημικύκλιο που είχε παίξει την κίνηση Χ-1, τότε πολύ απλά ο Κυριάκος αντί να παίξει ν+1 ως απάντηση στη Χ-1 κίνηση του Αλέξη, θα μπορούσε να σβήσει την κορυφή που έσβησε ο Αλέξης στην κίνηση Χ και να κερδίσει το παιχνίδι.
(Β) Αν δεν συμβαίνει αυτό, τότε αν είναι να κερδίσει ο Αλέξης θα πρέπει να σβήσει κορυφή στο ημικύκλιο που έπαιξε προηγουμένως ο Κυριάκος. Ας υποθέσουμε ότι αυτό μπορεί να συμβεί. Βρισκόμαστε στην κίνηση Χ. Ο Κυριάκος τι θα μπορούσε να κάνει; Λογικά να μην έπαιζε στο δικό του ημικύκλιο και στην κίνηση του (τη Χ-1) να έπαιζε στο ημικύκλιο του Αλέξη. Εδώ, το ερώτημα που προκύπτει είναι, μήπως αυτό θα έδινε και πάλι την ευκαιρία στον Αλέξη να τελειώσει το παιχνίδι στο δικό του ημικύκλιο; Με άλλα λόγια να έχουν σβηστεί ν-2 κορυφές σε κάθε ημικύκλιο με αποτέλεσμα όπου και να παίξει ο Κυριάκος απλώς να σβήσει μια κορυφή στην Χ-1 κίνησή του, να ανέλθει ο αριθμός των σβησμένων κορυφών στις ν-1 και να περιμένει ο Αλέξης να κάνει τη δική του κίνηση και να σβήσει και την νιοστή κορυφή. Αν μπορεί να συμβεί, αυτό σημαίνει ότι έχουν σβηστεί (ν-2)+(ν-2)=2ν-4 πριν παίξει ο Κυριάκος την Χ-1 κίνησή του, δηλαδή δεν έχουν σβηστεί 2ν+1-(2ν-4)=5 κορυφές. Οι 5 κορυφές θα είναι διαμοιρασμένες σε 3-2 ή 2-3. Ο Κυριάκος πρέπει να παίξει και να σβήσει εκεί που είναι 3 κορυφές. Τότε θα έχουμε 2 κορυφές από τη μία και 2 κορυφές από την άλλη με τη σειρά του Αλέξη. Ο Αλέξης απ’ όπου και να πάρει θα αφήσει 2-1 κορυφές που αναγκαστικά φτιάχνουν οξυγώνιο. Από το 3-2 ο Κυριάκος δεν έχει συμφέρον να πάει στο 3-1 γιατί τότε ο Αλέξης θα έκανε 3-0 και θα κέρδιζε. Συνεπώς αν είχαμε το ενδεχόμενο Β θα είχαμε πάλι νίκη του Κυριάκου.
Συνοψίζοντας, είτε θα έχουμε ενδεχόμενο Α με νίκη Κυριάκου είτε ενδεχόμενο Β με νίκη Κυριάκου.
batman1986
Για τον 2ο γρίφο έχουμε τα εξής
Νομίζω νικητής είναι ο Κυριάκος (όπως αναμένεται κιόλας 🙂 )
H τακτικη που πρέπει να ακολουθηθεί από οποιοδήποτε πολύγωνο 2ν+1 κορυφων (περιττό αριθμό ) είναι του οταν ο Αλέξης σβήνει μία κορυφή ο Κυριάκος να απαντάει αντισυμμετρικά και να σβήνει μία κορυφή στο άλλο ημικύκλιο
Πχ σε 11 γωνο αν ο αλέξης σβήσει την κορυφή 2 τότε ο κυριάκος σβήνει την κορυφή 7 (δηλαδή απαντά μετά απο ν (εδώ 5 βήματα) , η οποία είναι κορυφή που ανήκει σε σημεία του άλλου ημικυκλίου σίγουρα αν χωρίσουμε σε 2 ημικύκλια φέροντας διάμετρο από την κορυφή 1 (τα 11,1,2,3,4,5 ανήκουν στο ένα ημικύκλιο και τα 6,7,8,9,10,11 στο άλλο)
Αρα αντισυμμετρική απάντηση ως προς αυτή τη διάμετρο
Αντίστοιχα αν ο Αλέξης μετά πάρει την κορυφή 1 ο κυριακος πρέπει να πάρει την 6 (αντισυμμετρική ) με άξονα πλέον τη διάμετρο που περνά από το 9 , μετακινείται δηλαδή συνεχως ώστε να παίρνει το αντίστοιχο αντισυμμετρικό σημείο του άλλου ημικυκλίου
κοκ
Γενικά για να μην σχηματίζεται οξυγώνιο τριγωνο πρέπει όλα τα σημεία να ανήκουν σε ένα ημικύκλιο
Αρα με αυτη την τακτική φτάνουμε σε 5 γωνο όπου κάθε πιθανή 3 -άδα συνεχόμενων σημείων ανήκει σε ένα ημικύκλιο οπωσδήποτε
Οπότε οποια κορυφή και να σβήσει ο Αλέξης , ο Κυριάκος σβήνει τη διπλανή της και αναγκαστικά τα 3 σημεία που απομένουν δεν σχηματίζουν οξυγώνιο και νικά
Ο λόγος που απαντάμε αντισυμμετρικά έγκειται στο να διασφαλίζουμε ότι υπάρχει συνεχώς μια διάμετρος που χωρίζει σε ημικύλια με ίσα σημεία(το 1 θα ανήκει και στα 2 ημικύκλια) σε αντισυμμετρικές θέσεις όπως και να παίζει ο αλέξης
Οπότε μοιραία όταν φτάσουμε στο 5 γωνο αναγκαστικά όλες οι πιθανές συνεχόμενες 3-άδες θα ανήκουν σε ένα κοινό ημικύκλιο
Ο λόγος που πρέπει να καταλήξουμε στο 5 γωνο και δεν γίνεται νωρίτερα έγκειται ότι σε παραπάνω κορυφές πχ στο 7 γωνο , ολοι οι συνδυασμοί 4 συνεχόμενων σημείων ανήκουν σε κοινό ημικύκλιο
Αρα αν πάρει ο αλέξης μία κορυφή , δεν με συμφέρει ακόμα να επιλέξω την διπλανή γιατι θα υπάρχει ακόμα ένα ημικύκλιο με 2 σημεία και ένα άλλο με 4 και έτσι χαλάει η συμμετρική διάταξη που όπως είπαμε θέλουμε να ισχυει (μετά απο κάθε απάντηση του Κυριάκου να υπαρχει ίδιο πλήθος σημείων σε 2 ημικύκλια)
batman1986
Όσον αφορά τον 1ο γρίφο μπορούμε να πούμε οτι υπάρχει με βεβαιότητα στιγμή που δεν θα αλλάξει κανείς γνωμη
Ο λόγος είναι ειναι αφου έχουμε περιττό αριθμό ατόμων τότε σύμφωνα με την αρχή του περιστερώνα σίγουρα θα υπάρχουν τουλάχιστον 2 συνεχόμενοι που έχουν την ίδια γνώμη
τότε σίγουρα αυτοι που είναι πλάι σε αυτά τα 2 άτομα θα γίνουν ίδιοι με αυτούς με την 1η κίνηση (είτε θα παραμείνουν στην αρχική τους άποψη για πάντα ) οπότε όσο προχώράμε προς τα μέσα θα σταθεροποιούνται ολο και περισσότεροι μέχρι να μην αλλάξει κανείς αποψη
Αν αλλαζαν επ απειρον απόψεις θα έπρεπε οπωσδήποτε να ειχαμε ζυγο πλήθος με εναλλάξ διαφορετικές κομματικές ταυτότητες ανα άτομο
Όσον αφορα τα 101 ατομα
Αυτο που γίνεται είναι το εξής
Η πιο δυσμενής περίπτωση είναι να έχουμε εναλλαξ άτομα (εκτος από 2 συνεχόμενα που έχουν αναγκαστικά την ίδια ταυτότητα)
Αρα για 3 άτομα έστω
ΝΣΝ (αρα μετα απο 1 λεπτο φωνάζουν αυτα)
μετά απο 1 λεπτό ΝΝΝ
Και μετά από 1 λεπτό πάλι ΝΝΝ άρα στα 2 λεπτά έχουμε τη στιγμή όπου παραμένει η ίδια άποψη και κανείς δεν αλλάζει γνώμη
Στα 5 ατομα
ΝΣΝΣΝ
ΝΝΣΝΝ αρα τα 3 μεσαια είναι η προηγ ερίπτωση
Άρα σε 1+2= 3 λεπτά
Στα 7 άτομα ΝΣΝΣΝΣΝ
Ν ΝΣΝΣΝ Ν
Αρα τα 5 μεσαία είναι η προηγ περίπτωση άρα 3 +1=4
με την ίδια λογικη στα 101 άτομα (51 ΝΔ αρχικά και 50 ΣΥΡΙΖΑ εναλλάξ)
εχουμε στα 51 λεπτά τη στιγμή που το αργοτερο δεν αλλάζει κανείς γνώμη
Θανάσης Παπαδημητρίου
Εξαιρετικές οι αναλύσεις από Κωστή και Μπάτη, μπράβο!!
batman1986
@Θανασης Παπαδημητρίου
Μερσί!έχεις να προτείνεις κάποιον εναλλακτικό τρόπο?Συνήθως οι λύσεις σου κόβουν αρκετό δρόμο!
Θανάσης Παπαδημητρίου
Πόσο περισσότερο δρόμο να κόψω Μπάτη, όταν εσύ με το καλημέρα βγάζεις νικητή τον Κυριάκο;?
Τέλος πάντων, το καλύτερο που μπορώ να κάνω είναι να διατυπώσω κάπως πιο σύντομα τη στρατηγική του:
Γενικότερα, σε οποιοδήποτε κανονικό (2ν+1)γωνο, για να μην είναι οξυγώνιο κανένα από τα τρίγωνα που σχηματίζονται από τις κορυφές του, πρέπει να έχουν σβηστεί ν τουλάχιστον διαδοχικές κορυφές.
Για ν=2 (2ν+1=5 κορυφές), κερδίζει αμέσως ο Κυριάκος, σβήνοντας κορυφή γειτονική της κορυφής που έσβησε ο Αλέξης στην πρώτη του κίνηση.
Για ν>2 (2ν+1 κορυφές, π.χ ν=1009, 2ν+1=2019), ας πούμε ότι ο Αλέξης σβήνει στην πρώτη του κίνηση την κορυφή 1. Τότε ο Κυριάκος μπορεί αμέσως μετά να σβήσει την κορυφή ν+1. Με την κίνηση αυτή τού Κυριάκου, η αμέσως επόμενη κίνηση τού Αλέξη δεν μπορεί να είναι νικητήρια, ενώ για να λήξει το παιχνίδι, απομένει να σβηστούν ακόμα ν-1 διαδοχικές κορυφές, δεδομένου ότι κάθε ακολουθία ν-1 διαδοχικών από τις απομένουσες 2(ν-1)+1 κορυφές θα τελειώνει δίπλα σε μία (τουλάχιστον) από τις σβησμένες κορυφές 1 και ν+1 ή θα περνάει από πάνω της, σχηματίζοντας σε κάθε περίπτωση μαζί τους ακολουθία ν τουλάχιστον διαδοχικών κορυφών.
Συνεπώς, ο Κυριάκος μπορεί να συνεχίσει την ίδια στρατηγική και στις 2(ν-1)+1 απομένουσες κορυφές, αντιμετωπίζοντάς τες σαν να ήταν κορυφές κανονικού [2(ν-1)+1]γώνου, στη συνέχεια στις 2(ν-2)+1 κορυφές κ.ο.κ. μέχρι να απομείνουν κάποια στιγμή 5 κορυφές και να κερδίσει όπως πιο πάνω..
Πρόβλημα 1
Καταλαβαίνουμε ότι αν ένας ψηφοφόρος Σ βρεθεί ανάμεσα σε 2 ΝΔ τότε αλλάζει γνώμη στον επόμενο γύρο και το αντίστροφο. Επιπλέον αν ένας Σ (ή ΝΔ) βρεθεί ανάμεσα σε Σ και ΝΔ τότε ΔΕΝ αλλάζει γνώμη στον επόμενο γύρο.
Υπάρχει η περίπτωση να έχουμε διαρκή εναλλαγή γνώμης; Για να συμβεί αυτό θα πρέπει ένας τουλάχιστον να αλλάζει διαρκώς γνώμη σε κάθε γύρο. Πώς μπορεί να συμβεί; Έστω ο Χ, για να έχουμε αλλαγή γνώμης θα πρέπει να έχει εκατέρωθεν ψηφοφόρους του ιδίου κόμματος και αυτός να έχει διαφορετική άποψη. Έστω ότι ο Χ είναι Σ, για να αλλάξει πρέπει να έχει δίπλα του ΝΔ. Στον επόμενο γύρο ο Χ θα είναι ΝΔ, αλλά για να αλλάξει και πάλι θα πρέπει οι 2 ΝΔ να έχουν δίπλα τους ο καθένας από έναν Σ και να έχουν μετατραπεί σε Σ, όπου για να αλλάξουν θα πρέπει να αλλάζουν και οι διπλανοί τους κοκ. Υπό αυτή τη λογική θα πρέπει να έχουμε διαρκή εναλλαγή και να καταλήγουμε ΠΑΝΤΑ σε ζυγό αριθμό ψηφοφόρων.
Για παράδειγμα με 4 ψηφοφόρους σε κυκλική διάταξη κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού σ-νδ-σ-νδ στον επόμενο γύρω γίνονται νδ-σ-νδ-σ και θα συνεχίσουμε αέναα. Αυτό δεν μπορεί να γίνει σε μονό αριθμό σε κυκλική διάταξη γιατί στην καλύτερη των περιπτώσεων η διαφορά μεταξύ ΝΔ και Σ θα είναι 1 και αναγκαστικά μια κυκλική διάταξη θα περιλαμβάνει δύο συνεχόμενους ψηφοφόρους του κόμματος που υπερέχει και άρα θα είναι αδύνατη η διαρκής εναλλαγή (βλέπε παρακάτω).
Αφού είναι αδύνατη η διαρκής εναλλαγή σε μονό αριθμό, σε πόσες το πολύ στιγμές-γύρους μπορεί να σταματήσει η διαδικασία της αλλαγής γνώμης;
Αυτό κυμαίνεται από 1 γύρο μέχρι εκείνους του γύρους που αντιστοιχούν στον αριθμό των ψηφοφόρων του μικρότερου κόμματος συν 1 (+1).
Το παιχνίδι για να σταματήσει θα πρέπει είτε όλοι να γίνουν του ίδιου κόμματος, είτε να έχουμε νησίδες ψηφοφόρων του ενός και του άλλου κόμματος, όπου όμως η κάθε νησίδα θα αποτελείται από τουλάχιστον δύο ψηφοφόρους. Για παράδειγμα, αν είχαμε αρχικό αριθμό ψηφοφόρων 5 σε διάταξη Σ-Σ-Σ-ΝΔ-ΝΔ στον πρώτο γύρο, στον δεύτερο γύρο η διάταξη παραμένει ως έχει. Σε μία διάταξη 7 ψηφοφόρων πάλι σε νησίδες
ΝΔ-ΝΔ-ΝΔ-ΝΔ-Σ-Σ, η διάταξη παραμένει ως έχει. Για να έχουμε τις περισσότερες πεπερασμένες σε αριθμό εναλλαγές θα πρέπει να έχουμε διάταξη με διαρκή εναλλαγή
σ-νδ, με διαφορά 1 δηλαδή 51-50 ή 50-51. Σε αυτή την περίπτωση ξεκινώντας από το γεγονός ότι θα υπάρχουν αναγκαστικά δύο διαδοχικοί ψηφοφόροι του ιδίου κόμματος, στον επόμενο γύρο, αυτοί οι δύο παραμένουν σταθεροί αλλά θα αυξηθεί ο αριθμός των ψηφοφόρων του κόμματος που υπερέχει. Αυτό θα συνεχίζεται τόσους γύρους όσοι είναι οι ψηφοφόροι του κόμματος που υπολείπεται συν ένα γύρο επιπλέον. Στην περίπτωσή μας 51 γύροι (συμπεριλαμβανομένου και του αρχικού).
Παράδειγμα με 7 και κατανομή 4-3, τελικός αριθμός γύρων =4
Σ-Σ-Ν-Σ-Ν-Σ-Ν
Σ-Σ-Σ-Ν-Σ-Ν-Σ
Σ-Σ-Σ-Σ-Ν-Σ-Σ
Σ-Σ-Σ-Σ-Σ-Σ-Σ
Πρόβλημα 2
Παρατηρούμε ότι ρόλο παίζει ο αριθμός των κορυφών που συγκροτούν ένα ημικύκλιο. Στις 5 είναι 3 διαδοχικές, στις 7 είναι 4, στις 9 είναι 5, δηλαδή για σύνολο κορυφών 2ν+1 είναι ν+1 οι διαδοχικές κορυφές που συγκροτούν ημικύκλιο. Επιπλέον θα πρέπει να γνωρίζουμε ότι για να ΜΗ σχηματίζεται οξυγώνιο θα πρέπει οι κορυφές του τριγώνου να βρίσκονται στο ίδιο ημικύκλιο. Επίσης, σε πολύγωνα μονού αριθμού κορυφών, η διάμετρος που περνάει από την κορυφή συναντά πλευρά του πολυγώνου και όχι αντίστοιχη κορυφή.
Ο Κυριάκος (παίχτης Β) έχει το πλεονέκτημα.
Η στρατηγική του Κυριάκου είναι να σβήνει κορυφή που απέχει ν+1 από την κορυφή που διέγραψε ο Αλέξης, δηλαδή να απομακρύνεται από το ημικύκλιο που έπαιξε ο Αλέξης (παίχτης Α).
Ας υποθέσουμε ότι το παιχνίδι συνεχίζεται μέχρι τη στιγμή που ο Αλέξης σβήσει κορυφή (κίνηση Χ) έτσι ώστε έχει συμπληρωθεί μια ομάδα ν τουλάχιστον κορυφών, που σημαίνει ότι κερδίζει το παιχνίδι. Υπάρχουν 2 ενδεχόμενα νίκης του Αλέξη:
(Α) Αν η κίνηση Χ γίνει στο ημικύκλιο που είχε παίξει την κίνηση Χ-1, τότε πολύ απλά ο Κυριάκος αντί να παίξει ν+1 ως απάντηση στη Χ-1 κίνηση του Αλέξη, θα μπορούσε να σβήσει την κορυφή που έσβησε ο Αλέξης στην κίνηση Χ και να κερδίσει το παιχνίδι.
(Β) Αν δεν συμβαίνει αυτό, τότε αν είναι να κερδίσει ο Αλέξης θα πρέπει να σβήσει κορυφή στο ημικύκλιο που έπαιξε προηγουμένως ο Κυριάκος. Ας υποθέσουμε ότι αυτό μπορεί να συμβεί. Βρισκόμαστε στην κίνηση Χ. Ο Κυριάκος τι θα μπορούσε να κάνει; Λογικά να μην έπαιζε στο δικό του ημικύκλιο και στην κίνηση του (τη Χ-1) να έπαιζε στο ημικύκλιο του Αλέξη. Εδώ, το ερώτημα που προκύπτει είναι, μήπως αυτό θα έδινε και πάλι την ευκαιρία στον Αλέξη να τελειώσει το παιχνίδι στο δικό του ημικύκλιο; Με άλλα λόγια να έχουν σβηστεί ν-2 κορυφές σε κάθε ημικύκλιο με αποτέλεσμα όπου και να παίξει ο Κυριάκος απλώς να σβήσει μια κορυφή στην Χ-1 κίνησή του, να ανέλθει ο αριθμός των σβησμένων κορυφών στις ν-1 και να περιμένει ο Αλέξης να κάνει τη δική του κίνηση και να σβήσει και την νιοστή κορυφή. Αν μπορεί να συμβεί, αυτό σημαίνει ότι έχουν σβηστεί (ν-2)+(ν-2)=2ν-4 πριν παίξει ο Κυριάκος την Χ-1 κίνησή του, δηλαδή δεν έχουν σβηστεί 2ν+1-(2ν-4)=5 κορυφές. Οι 5 κορυφές θα είναι διαμοιρασμένες σε 3-2 ή 2-3. Ο Κυριάκος πρέπει να παίξει και να σβήσει εκεί που είναι 3 κορυφές. Τότε θα έχουμε 2 κορυφές από τη μία και 2 κορυφές από την άλλη με τη σειρά του Αλέξη. Ο Αλέξης απ’ όπου και να πάρει θα αφήσει 2-1 κορυφές που αναγκαστικά φτιάχνουν οξυγώνιο. Από το 3-2 ο Κυριάκος δεν έχει συμφέρον να πάει στο 3-1 γιατί τότε ο Αλέξης θα έκανε 3-0 και θα κέρδιζε. Συνεπώς αν είχαμε το ενδεχόμενο Β θα είχαμε πάλι νίκη του Κυριάκου.
Συνοψίζοντας, είτε θα έχουμε ενδεχόμενο Α με νίκη Κυριάκου είτε ενδεχόμενο Β με νίκη Κυριάκου.
Για τον 2ο γρίφο έχουμε τα εξής
Νομίζω νικητής είναι ο Κυριάκος (όπως αναμένεται κιόλας 🙂 )
H τακτικη που πρέπει να ακολουθηθεί από οποιοδήποτε πολύγωνο 2ν+1 κορυφων (περιττό αριθμό ) είναι του οταν ο Αλέξης σβήνει μία κορυφή ο Κυριάκος να απαντάει αντισυμμετρικά και να σβήνει μία κορυφή στο άλλο ημικύκλιο
Πχ σε 11 γωνο αν ο αλέξης σβήσει την κορυφή 2 τότε ο κυριάκος σβήνει την κορυφή 7 (δηλαδή απαντά μετά απο ν (εδώ 5 βήματα) , η οποία είναι κορυφή που ανήκει σε σημεία του άλλου ημικυκλίου σίγουρα αν χωρίσουμε σε 2 ημικύκλια φέροντας διάμετρο από την κορυφή 1 (τα 11,1,2,3,4,5 ανήκουν στο ένα ημικύκλιο και τα 6,7,8,9,10,11 στο άλλο)
Αρα αντισυμμετρική απάντηση ως προς αυτή τη διάμετρο
Αντίστοιχα αν ο Αλέξης μετά πάρει την κορυφή 1 ο κυριακος πρέπει να πάρει την 6 (αντισυμμετρική ) με άξονα πλέον τη διάμετρο που περνά από το 9 , μετακινείται δηλαδή συνεχως ώστε να παίρνει το αντίστοιχο αντισυμμετρικό σημείο του άλλου ημικυκλίου
κοκ
Γενικά για να μην σχηματίζεται οξυγώνιο τριγωνο πρέπει όλα τα σημεία να ανήκουν σε ένα ημικύκλιο
Αρα με αυτη την τακτική φτάνουμε σε 5 γωνο όπου κάθε πιθανή 3 -άδα συνεχόμενων σημείων ανήκει σε ένα ημικύκλιο οπωσδήποτε
Οπότε οποια κορυφή και να σβήσει ο Αλέξης , ο Κυριάκος σβήνει τη διπλανή της και αναγκαστικά τα 3 σημεία που απομένουν δεν σχηματίζουν οξυγώνιο και νικά
Ο λόγος που απαντάμε αντισυμμετρικά έγκειται στο να διασφαλίζουμε ότι υπάρχει συνεχώς μια διάμετρος που χωρίζει σε ημικύλια με ίσα σημεία(το 1 θα ανήκει και στα 2 ημικύκλια) σε αντισυμμετρικές θέσεις όπως και να παίζει ο αλέξης
Οπότε μοιραία όταν φτάσουμε στο 5 γωνο αναγκαστικά όλες οι πιθανές συνεχόμενες 3-άδες θα ανήκουν σε ένα κοινό ημικύκλιο
Ο λόγος που πρέπει να καταλήξουμε στο 5 γωνο και δεν γίνεται νωρίτερα έγκειται ότι σε παραπάνω κορυφές πχ στο 7 γωνο , ολοι οι συνδυασμοί 4 συνεχόμενων σημείων ανήκουν σε κοινό ημικύκλιο
Αρα αν πάρει ο αλέξης μία κορυφή , δεν με συμφέρει ακόμα να επιλέξω την διπλανή γιατι θα υπάρχει ακόμα ένα ημικύκλιο με 2 σημεία και ένα άλλο με 4 και έτσι χαλάει η συμμετρική διάταξη που όπως είπαμε θέλουμε να ισχυει (μετά απο κάθε απάντηση του Κυριάκου να υπαρχει ίδιο πλήθος σημείων σε 2 ημικύκλια)
Όσον αφορά τον 1ο γρίφο μπορούμε να πούμε οτι υπάρχει με βεβαιότητα στιγμή που δεν θα αλλάξει κανείς γνωμη
Ο λόγος είναι ειναι αφου έχουμε περιττό αριθμό ατόμων τότε σύμφωνα με την αρχή του περιστερώνα σίγουρα θα υπάρχουν τουλάχιστον 2 συνεχόμενοι που έχουν την ίδια γνώμη
τότε σίγουρα αυτοι που είναι πλάι σε αυτά τα 2 άτομα θα γίνουν ίδιοι με αυτούς με την 1η κίνηση (είτε θα παραμείνουν στην αρχική τους άποψη για πάντα ) οπότε όσο προχώράμε προς τα μέσα θα σταθεροποιούνται ολο και περισσότεροι μέχρι να μην αλλάξει κανείς αποψη
Αν αλλαζαν επ απειρον απόψεις θα έπρεπε οπωσδήποτε να ειχαμε ζυγο πλήθος με εναλλάξ διαφορετικές κομματικές ταυτότητες ανα άτομο
Όσον αφορα τα 101 ατομα
Αυτο που γίνεται είναι το εξής
Η πιο δυσμενής περίπτωση είναι να έχουμε εναλλαξ άτομα (εκτος από 2 συνεχόμενα που έχουν αναγκαστικά την ίδια ταυτότητα)
Αρα για 3 άτομα έστω
ΝΣΝ (αρα μετα απο 1 λεπτο φωνάζουν αυτα)
μετά απο 1 λεπτό ΝΝΝ
Και μετά από 1 λεπτό πάλι ΝΝΝ άρα στα 2 λεπτά έχουμε τη στιγμή όπου παραμένει η ίδια άποψη και κανείς δεν αλλάζει γνώμη
Στα 5 ατομα
ΝΣΝΣΝ
ΝΝΣΝΝ αρα τα 3 μεσαια είναι η προηγ ερίπτωση
Άρα σε 1+2= 3 λεπτά
Στα 7 άτομα ΝΣΝΣΝΣΝ
Ν ΝΣΝΣΝ Ν
Αρα τα 5 μεσαία είναι η προηγ περίπτωση άρα 3 +1=4
με την ίδια λογικη στα 101 άτομα (51 ΝΔ αρχικά και 50 ΣΥΡΙΖΑ εναλλάξ)
εχουμε στα 51 λεπτά τη στιγμή που το αργοτερο δεν αλλάζει κανείς γνώμη
Εξαιρετικές οι αναλύσεις από Κωστή και Μπάτη, μπράβο!!
@Θανασης Παπαδημητρίου
Μερσί!έχεις να προτείνεις κάποιον εναλλακτικό τρόπο?Συνήθως οι λύσεις σου κόβουν αρκετό δρόμο!
Πόσο περισσότερο δρόμο να κόψω Μπάτη, όταν εσύ με το καλημέρα βγάζεις νικητή τον Κυριάκο;?
Τέλος πάντων, το καλύτερο που μπορώ να κάνω είναι να διατυπώσω κάπως πιο σύντομα τη στρατηγική του:
Γενικότερα, σε οποιοδήποτε κανονικό (2ν+1)γωνο, για να μην είναι οξυγώνιο κανένα από τα τρίγωνα που σχηματίζονται από τις κορυφές του, πρέπει να έχουν σβηστεί ν τουλάχιστον διαδοχικές κορυφές.
Για ν=2 (2ν+1=5 κορυφές), κερδίζει αμέσως ο Κυριάκος, σβήνοντας κορυφή γειτονική της κορυφής που έσβησε ο Αλέξης στην πρώτη του κίνηση.
Για ν>2 (2ν+1 κορυφές, π.χ ν=1009, 2ν+1=2019), ας πούμε ότι ο Αλέξης σβήνει στην πρώτη του κίνηση την κορυφή 1. Τότε ο Κυριάκος μπορεί αμέσως μετά να σβήσει την κορυφή ν+1. Με την κίνηση αυτή τού Κυριάκου, η αμέσως επόμενη κίνηση τού Αλέξη δεν μπορεί να είναι νικητήρια, ενώ για να λήξει το παιχνίδι, απομένει να σβηστούν ακόμα ν-1 διαδοχικές κορυφές, δεδομένου ότι κάθε ακολουθία ν-1 διαδοχικών από τις απομένουσες 2(ν-1)+1 κορυφές θα τελειώνει δίπλα σε μία (τουλάχιστον) από τις σβησμένες κορυφές 1 και ν+1 ή θα περνάει από πάνω της, σχηματίζοντας σε κάθε περίπτωση μαζί τους ακολουθία ν τουλάχιστον διαδοχικών κορυφών.
Συνεπώς, ο Κυριάκος μπορεί να συνεχίσει την ίδια στρατηγική και στις 2(ν-1)+1 απομένουσες κορυφές, αντιμετωπίζοντάς τες σαν να ήταν κορυφές κανονικού [2(ν-1)+1]γώνου, στη συνέχεια στις 2(ν-2)+1 κορυφές κ.ο.κ. μέχρι να απομείνουν κάποια στιγμή 5 κορυφές και να κερδίσει όπως πιο πάνω..