1. Ένας κύβος τυριού έχει μία κορυφή του στην αρχή (0,0,0) και τις συντρέχουσες σε αυτήν ακμές στους θετικούς ημιάξονες ενός ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων. Αν ο κύβος κοπεί με τρεις μαχαιριές στα επίπεδα χ=ψ, ψ=ζ, ζ=χ, πόσα κομμάτια τυριού θα πάρουμε;
2. Σε ένα κομμάτι τυρί σχήματος κυρτού πολυέδρου με 108 ακμές, αποκόβουμε με επίπεδες μαχαιριές από κάθε κορυφή ένα κομματάκι. Ποιος είναι ο μέγιστος και ποιος ο ελάχιστος αριθμός ακμών τού κομματιού που απομένει;
2. Το πολύεδρο που θα προκύψει μετά τις τομές θα είναι επίσης κυρτό και άρα θα έχει τον ίδιο χαρακτηριστικό αριθμό Euler με το αρχικό (2 για κυρτά πολύεδρα). Αν V είναι ο αριθμός των κορυφών, E ο αριθμός των ακμών, F ο αριθμός των εδρών και οι δείκτες 1 και 2 συμβολίζουν την κατάσταση πριν και μετά τις τομές αντίστοιχα, τότε βάσει του τύπου του Euler ισχύει ότι
V1 – E1 + F1 = V2 – E2 + F2
Μετά τις τομές, η κάθε παλιά κορυφή δημιουργεί μια νέα έδρα. Αυτό συμβολικά γράφεται: F2 = F1 + V1.
Μετά τις τομές, η κάθε άκρη των αρχικών ακμών δημιουργεί μια νέα κορυφή και εξαφανίζονται όλες οι παλιές κορυφές. Αυτό συμβολικά γράφεται: V2 = 2*E1.
Με αντικατάσταση στην αρχική εξίσωση προκύπτει ότι E2 = 3*E1. Δηλαδή μετά τις τομές ο αριθμός των ακμών τριπλασιάζεται. Για αρχικό αριθμό 108 ακμών προκύπτουν 324 νέες ακμές και αυτός είναι ταυτόχρονα ο μέγιστος και ο ελάχιστος αριθμός τους.
Γριφος 1
Εδω βρηκα οτι τα κομμάτια στα οποία κόβεται ο κύβος είναι 6. Ο λόγος είναι ο εξής
Καθεμία από τις δοσμένες ευθειες ειναι ουσιαστικά διχοτόμοι των εδρων του κυβου δηλαδή έχουν κίση 45 μοίρες
Το επίπεδο που διέρχεται από την ψ=χ κόβει ουσιαστικά τις διαγωνίους 2 απέναντι εδρών του κύβου
Το ίδιο συμβαίνει και με τις ψ=ζ ζ=χ κόβουν ζεύγη εδρων (διαφορετικών μεταξύ τους ) απέναντι
Αρα συνολικά έχουν κοπεί 6 έδρες διαφορετικές
όμως ο κύβος έχει ακριβώς 6 έδρες
Οπότε αναγκαστικά αντιλαμβανόμαστε ότι έχει χωριστεί σε 6 πυραμίδες
αν χωριζόταν πχ σε λιγότερες ή περισσότερες θα πρέπει να είχαμε παραπάνω τομές κάτι που όπως είδαμε πιο πάνω είναι άτοπο ….
Αν δούμε κάθε τομή διαφορετικά τότε ας πουμε στην 1η τομή η μία από τις 2 πυραμίδες αποτελείται από 3 έδρες (ολοκληρες η μη) του αρχικού κύβου)
Εφόσον οι αλλες 2 τομές κόβουν αναγκαστικά και τις υόλοιπες 4 έδρες
τότε καθεμία από τις 2 πυραμίδες θα κοπούν μία φορά(στη μία από τις έδρες που είναι ολόκληρη) και θα σπάσουν σε 2 κομμάτια και άλλη μια (στην άλλη έδρα που είναι ολόκληρη) οπότε τελικά σε 3 κομμάτια
Άρα 3+3=6
Πρόβλημα 1
Αρχικά παρατηρούμε ότι η κάθε τομή γίνεται με διαγώνιο κόψιμο που διατρέχει όλο τον κύβο από τη μια έδρα προς την απέναντι της έδρα. Ο κύβος έχει 6 έδρες ανά δύο απέναντι. Η τομή που κόβει το τυρί στους άξονες χ και ψ χωρίζει το τυρί σε 2 ίδια τριγωνικά πρίσματα. Ας πάρουμε το ένα από τα δύο, έστω αυτό που ακουμπά στο τραπέζι. Αν κάνουμε την τομή στους άξονες ζ και ψ το πρίσμα κόβεται σε 2 κομμάτια με τη βάση που ακουμπά στο τραπέζι να παραμένει ολόκληρη σε ένα από τα δύο κομμάτια. Αν κάνουμε την τομή στους άξονες χ και ζ επηρεάζεται μόνο το κομμάτι που έχει τη βάση και όχι το άλλο , με συνέπεια τα κομμάτια που συνολικά να προκύπτουν από τις 3 τομές στο ένα πρίσμα να είναι 3. Αντίστοιχα άλλα 3 προκύπτουν από τις τομές στο έτερο πρίσμα. Συνολικά 6 κομμάτια.
Πρόβλημα 2
Έχουμε ως δεδομένο ότι υπάρχουν 108 ακμές. Η κάθε ακμή συνδέει δύο κορυφές. Συνεπώς όταν τεμαχίζουμε κορυφές τεμαχίζουμε την κάθε ακμή δύο φορές , μια σε κάθε άκρο. Επιπλέον παρατηρούμε το εξής: Κάθε τεμαχισμός κορυφής μας δίνει τόσες νέες ακμές όσες είναι οι ακμές που συναντιούνται σε κάθε κορυφή. Αν για παράδειγμα συναντιούνται τρεις ακμές σε μια κορυφή και εμείς κάνουμε τομή στην κορυφή αυτή θα προκύψουν 3 νέες ακμές. Αυτό σημαίνει ότι η κάθε ακμή δίνει μια ακόμη νέα ακμή σε κάθε τεμαχισμό. Αφού όμως η κάθε ακμή κόβεται δύο φορές, συνολικά θα έχουμε 108 (οι υπάρχουσες ακμές) +108*2 (οι νέες ακμές)=324 ακμές.
Γριφος 2
Εδω παρατηρούμε το εξής
όταν κόβουμε μία κορυφη στην οποία συντρέχουν έστω ν ακμές τότε δημιουργούνται ν κορυφές και ν ακμές εξτρά (δηλαδή ένα κυρτό ν γωνο ουσιαστικά)
Πχ στον κύβο όταν κόψουμε μία κορυφή του (συντρέχουν 3 ακμές σε καθεμία) τοτε έχουμε μία μικρή εδρούλα που αποτελείται από 3 ακμές και 3 κορυφές
Επίσης κάθε ακμή έχει 2 άκρα που καταλήγουν το καθένα σε μία κορυφή το καθένα
Επίσης κάθε ακμή μπορεί να αντιστοιχηθεί 1-1 σε μία καινούργια ακμή στο άκρο της αφου κοπεί κάποια από τις 2 κορυφές στις οποίες καταλήγει
Αυτο ισχυει λόγω αυτου που αναφέραμε παραπάνω
Άρα αφου κόψω ολες τις κορυφές ενός ν- γωνου κάθε ακμή θα γενάει 2 νέες οπότε θα έχουμε 1(παλιά)+2=3 ακμές
Άρα συνολικά 3*ν ακμές
Οπότε συγκεκριμένα για τις 108 έχουμε 3*108=324 ακμές απομένουν
Και όπως αντιλαμβανόμαστε δεν έχει σημασία το πλήθος των κορυφων και των ακμών που συντρέχουν σε κάθε κορυφή , δηλαδή το μέγιστο με το ελάχιστο ταυτίζονται
Εξαιρετικές όλες οι λύσεις, μπράβο στους φίλους!
Δίνω μία ακόμα προσέγγιση στο 1, ενδιαφέρουσα νομίζω κι αυτή, γιατί καταλήγει στο ζητούμενο με χρήση συνδυαστικής και καθόλου γεωμετρίας:
Η τομή χ=ψ χωρίζει τον κύβο σε δύο κομμάτια, το ένα με τα σημεία χ<ψ και το άλλο με τα σημεία με ψ<χ. Τα ανάλογα ισχύουν και για τις άλλες δύο τομές. Επομένως, το κομμάτι όπου ανήκει κάθε σημείο του κύβου καθορίζεται αποκλειστικά από τη σχέση μεγεθών των τριών του συντεταγμένων. Π.χ. όλα τα σημεία με χ<ψ<ζ ανήκουν στο ίδιο κομμάτι. Υπάρχουν 3!=6 τέτοιες κατατάξεις των σημείων του κύβου, άρα 6 είναι και τα κομμάτια.