Ο γρίφος της εβδομάδας – Σετ βαριδιών

Χρειαζόμαστε ένα σετ βαριδιών, το καθένα τους μη ακέραιου βάρους σε κιλά, αλλά να μπορούμε με αυτά να ζυγίζουμε σε μια ζυγαριά δύο δίσκων όλα τα ακέραια βάρη από 1 έως 42 κιλά, τοποθετώντας όλα τα βαρίδια που χρησιμοποιούμε κάθε φορά στην ίδια πλευρά της ζυγαριάς.

Πόσα τουλάχιστον βαρίδια πρέπει να έχει το σετ;

6 σχόλια

  1. ΚΣ

    Μπορούμε να πετύχουμε το ζητούμενο με τη χρήση 7 βαριδίων βάρους 0,5 0,5 1,5 2,5 5,5 10,5 21,5.
    Γίνεται με λιγότερα; Υποθέτω πως όχι αν σκεφτούμε ως εξής:
    Εφόσον θέλουμε μόνο ισορροπίες αυτό σημαίνει ότι η κάθε ένδειξη θα συνδέεται με ένα συγκεκριμένο βάρος. Αφού τα βαρίδια είναι 6 αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν 2^6-1 πιθανοί συνδυασμοί.
    Για να πετύχουμε άθροισμα 1 και με τον περιορισμό ότι το κάθε βαρίδι είναι μη ακέραιου βάρους υπάρχουν οι εξής περιπτώσεις:
    Α. Τα βαρίδια που δίνουν 1 είναι δύο, και είναι ίδιου βάρους. Έχουμε τα βαρίδια α,α,β,γ,δ,ε
    Τότε θα πρέπει να βγάλουμε εκτός τους εξής συνδυασμούς
    – Όταν τα βαρίδια ζυγιστούν μόνα τους =>6 συνδυασμοί (η ένδειξη είναι δεκαδικός αριθμός)
    – βγάζουμε εκτός τους «διπλούς» συνδυασμούς όπου έχουμε εμφάνιση ενός α με τους βγδεζ =>15 συνδυασμοί
    – βγάλουμε τους συνδυασμούς α,α μαζί με βγδεζ (ένα κάθε φορά)=>5 συνδυασμοί
    6+15+5=26, 63-26=37 άρα αδύνατο να φτάσουμε τους 42 αριθμούς.
    Β. Τα βαρίδια που δίνουν 1 είναι δύο αλλά διαφορετικού βάρους (α,β) και τα υπόλοιπα γ,δ,ε,ζ
    Πάλι έχουμε 63 συνδυασμούς από τους οποίους αφαιρούμε
    6=> που είναι το κάθε βαρίδι μοναχό του
    Αφού το α και το β είναι διαφορετικά αυτό σημαίνει ότι αν το α ενωθεί με κάποιο από τα γ,δ,ε,ζ και δώσει ακέραιο αριθμό η αντίστοιχη δυάδα με το β μέσα θα δώσει άθροισμα δεκαδικό. Πόσες είναι αυτές οι περιπτώσεις ; => τουλάχιστον 4 περιπτώσεις
    Αν ενώσουμε μαζί α,β =1 και στη συνέχεια τα ενώσουμε με ένα εκ των γ,δ,ε,ζ μας δίνει δεκαδικό αριθμό. =>4 περιπτώσεις
    Αν α+β=1 , τότε γ+δ+ε+ζ=41, άρα αν από το άθροισμα 41 βγάλουμε ένα βαρίδι κάθε φορά θα έχουμε δεκαδικό αριθμό=> 4 περιπτώσεις
    Αν ζυγίσουμε (α+β) μαζί με τρία εκ των γ,δ,ε,ζ θα έχουμε δεκαδικό αριθμό ως άθροισμα=> 4 περιπτώσεις
    Άρα 6+4*4=22, 63-22= 41 , άρα αδύνατο.
    Γ. Αν τουλάχιστον 3 βαρίδια δίνουν άθροισμα α+β+γ=1 τότε με αντίστοιχη λογική αδύνατο να έχουμε δ+ε+ζ =41 και να βγάλουμε όλες τις διατάξεις.

  2. pantsik

    Ο ελάχιστος αριθμός βαριδίων είναι 7. Μια λύση είναι να έχουν τα εξής βαρίδια: 0,5 – 0,5 – 1,5 – 2,5 – 5,5 – 10,5 – 21,5.

    Με 6 βαρίδια το ζητούμενο είναι αδύνατο, για τον εξής λόγο: Έστω β1,β2,…,β6 τα βάρη των 6 βαριδίων που θα έλυναν τον γρίφο, όπου β1 <= β2 <= β3 … <= β6.
    Πρέπει να ισχύει ότι β1+β2<=1, αλλιώς δεν θα μπορούσαμε να πάρουμε το βάρος του 1 κιλού. Πρέπει β3 2 δεν θα μπορούσαμε να πάρουμε το βάρος των 2 κιλών. Άρα β1+β2+β3 < 3
    Πρέπει β4 4 δεν θα μπορούσαμε να πάρουμε το βάρος των 4 κιλών. Άρα β1+β2+β3+β4 < 7
    Πρέπει β5 7 δεν θα μπορούσαμε να πάρουμε το βάρος των 7 κιλών. Άρα β1+β2+β3+β4+β5 < 14
    Πρέπει β6 14 δεν θα μπορούσαμε να πάρουμε το βάρος των 14 κιλών. Άρα β1+β2+β3+β4+β5+β6 < 28
    Τελικά τα 6 βαρίδια δεν φτάνουν για να ζυγίσουμε με αυτά 28 κιλά, ενώ εμείς θέλουμε να ζυγίζουμε μέχρι 42.

  3. Pantsik

    Στέλνω πάλι τη λύση μου γιατί κόπηκαν κάποια σύμβολα.
    Ο ελάχιστος αριθμός βαριδίων είναι 7. Μια λύση είναι να έχουν τα εξής βαρίδια: 0,5 – 0,5 – 1,5 – 2,5 – 5,5 – 10,5 – 21,5.

    Με 6 βαρίδια το ζητούμενο είναι αδύνατο, για τον εξής λόγο: Έστω β1,β2,…,β6 τα βάρη των 6 βαριδίων που θα έλυναν τον γρίφο, όπου β1 <= β2 <= β3 … <= β6.
    Πρέπει να ισχύει ότι β1+β2<=1, αλλιώς δεν θα μπορούσαμε να πάρουμε το βάρος του 1 κιλού. Πρέπει β3 < 2 γιατί αν β3 > 2 δεν θα μπορούσαμε να πάρουμε το βάρος των 2 κιλών. Άρα β1+β2+β3 < 3
    Πρέπει β4 < 4 γιατί αν β4 > 4 δεν θα μπορούσαμε να πάρουμε το βάρος των 4 κιλών. Άρα β1+β2+β3+β4 < 7
    Πρέπει β5 < 7 γιατί αν β5 > 7 δεν θα μπορούσαμε να πάρουμε το βάρος των 7 κιλών. Άρα β1+β2+β3+β4+β5 < 14
    Πρέπει β6 < 14 γιατί αν β6 > 14 δεν θα μπορούσαμε να πάρουμε το βάρος των 14 κιλών. Άρα β1+β2+β3+β4+β5+β6 < 28
    Τελικά τα 6 βαρίδια δεν φτάνουν για να ζυγίσουμε με αυτά 28 κιλά, ενώ εμείς θέλουμε να ζυγίζουμε μέχρι 42.

  4. batman1986

    εδω θα βρουμε ποια ειναι η οριακη περιπτωση για την οποια οι συνδυασμοι για συγκεκριμένο αριθμο βαριδίων δεν μπορούν να ειναι 42 η να τους υπερβουν .Συνεπώς αυτο το σετ δεν μπορεί καν να δώσει τον κατάλληλο αριθμό που ζητείται οπότε πρέπει να διερευνηθεί η αμέσως επόμενη περίπτωση (αν καταρχήν δίνει τουλάχιστον 42 και στη συνέχεια ποια μπορεί να είναι αυτά τα βαρίδια συγκεκριμένα)
    Καταρχήν ο πιο οιονομικός τρόπος για να πάρω έναν ακέραιο είναι με ζεύγη μη ακέραιων βαριδίων
    Το 1 δηλαδή , για να γραφτεί ο πιο οικονομικός τρ΄΄οπος είναι η χρήση 2 βαριδίων <1 . Παρομοίως ισχύει και για πιο μεγάλους ακέραιοους

    Δηλαδή οι συνδυασμοί πρέπει να είναι ζυγός αριθμός

    ανα 2,4,,6,8, 10 κλπ που μας δίνει και τον πιο οικονομικό τρόπο

    Αρα αν εξετάσουμε την περίπτωση με 6 βαρίδια και με ζυγούς συνδυασμούς με τον πιο οικονομικό τρόπο θα δούμε ότι

    c(6,2)+c(6,4)+c(6,6)=31<42 ara den bgainoyn oi syndyasmoi οπότε είναι αδύνατον με 6

    Oπότε η αμέσως επόμενη περίπτωση είναι με 7

    και τσεκάρουμε για ζυγούς c(7,2)+c(7,4)+c(7,6)=21+35+7=42+21=63 οπότε μας φτάνουν με τον οικονομικό τρόπο

    Φτάνει να βρούμε μια περίπτωση

    Τα βαρίδια αυτά είναι 0,5 0, 5 1,5 2,5 5,5 10,5 21,5

    Και είναι ο μοναδικός τρόπος να σπ΄΄ασουμε σε δεκαδικό κομμάτι με 0.5 αφου οποιαδήποτε άλλη διαμέριση θα έδινε ασυμμετρία και δεν θα βγαίνανε άλλες περίπτωσης

    Με δοκιμές αυτών των βαριδίων είναι φανερό ότι δίνουν όλους τους αριθμούς

    Επίσης χρησιμοποιήθηκε σα μεγαλύτερο ενας αριθμός λιγο παραπάνω του 21 αφού είναι το μέσον του διαστήματος και γι αυτο το λόγο η ύπαρξη συμμετρίας μπορεί να μας δώσει λιγότερα βαρίδια για το πάνω μισό έως το 42 (εξου και καταλήγει κανείς εύκολα σε 8 με 7 σαν αρχική εκτίμηση πέραν της απόδειξης)

  5. Pantsik

    Διορθώνω καποια σημεια:
    Ο ελάχιστος αριθμός βαριδίων είναι 7. Μια λύση είναι να έχουν τα εξής βαρίδια: 0,5 – 0,5 – 1,5 – 2,5 – 5,5 – 10,5 – 21,5.

    Με 6 βαρίδια το ζητούμενο είναι αδύνατο, για τον εξής λόγο: Έστω β1,β2,…,β6 τα βάρη των 6 βαριδίων που θα έλυναν τον γρίφο, όπου β1 <= β2 <= β3 … <= β6.
    Πρέπει να ισχύει ότι β1+β2<=1, αλλιώς δεν θα μπορούσαμε να πάρουμε το βάρος του 1 κιλού. Πρέπει β3 < 2 γιατί αν β3 > 2 δεν θα μπορούσαμε να πάρουμε το βάρος των 2 κιλών. Άρα β1+β2+β3 < 3
    Πρέπει β4 < 3 γιατί αν β4 > 3 δεν θα μπορούσαμε να πάρουμε το βάρος των 3 κιλών. Άρα β1+β2+β3+β4 < 6
    Πρέπει β5 < 6 γιατί αν β5 > 6 δεν θα μπορούσαμε να πάρουμε το βάρος των 6 κιλών. Άρα β1+β2+β3+β4+β5 < 12
    Πρέπει β6 < 12 γιατί αν β6 > 12 δεν θα μπορούσαμε να πάρουμε το βάρος των 12 κιλών. Άρα β1+β2+β3+β4+β5+β6 < 24
    Τελικά τα 6 βαρίδια δεν φτάνουν για να ζυγίσουμε με αυτά 24 κιλά, ενώ εμείς θέλουμε να ζυγίζουμε μέχρι 42.

  6. Θανάσης Παπαδημητρίου

    Άψογες και οι τρεις λύσεις, εύγε!
    Σετ με 6 (ή λιγότερα) βαρίδια δεν θα μπορούσε φυσικά να υπάρξει, και για το λόγο ότι περισσότερα από τα μισά από τα 2^6-1=63 μη κενά υποσύνολά του θα άθροιζαν μη ακέραια βάρη, δεδομένου ότι κάθε υποσύνολο που περιέχει δύο τουλάχιστον βαρίδια και ανάμεσά τους κάποιο βαρίδι Α και το υποσύνολο που προκύπτει από το προηγούμενο μετά από την αφαίρεση του βαριδιού Α δεν μπορεί να αθροίζουν και τα δύο ακέραιο βάρος.

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *