Κάθε περιττός πρώτος αριθμός χ είναι και παραγωγικός, αφού έχει μοναδικούς διαιρέτες το 1 και τον εαυτό του και τα 2 και (χ+1) διαιρούν το (χ+1).
Προφανώς και το 1 είναι παραγωγικός.
Οι σύνθετοι αριθμοί και το 2 δεν είναι παραγωγικοί.
Συνολικά 306 αριθμοί.
ΚΣ
Από τη λίστα των παραγωγικών αριθμών εξαιρούνται όλοι ο ζυγοί αριθμοί. Αυτό γιατί, έστω Ζ ένας ζυγός αριθμός που διαιρείται με 1, 2 ….Ζ. Αν είναι παραγωγικός αυτό σημαίνει ότι ο Ζ+1 (που είναι μονός αριθμός) θα πρέπει να διαιρεθεί με το (1+1) το οποίο είναι άτοπο.
Από τους μονούς αριθμούς οι πρώτοι αριθμοί εντάσσονται στη λίστα κ αυτό γιατί έστω ένας μονός κ πρώτος αριθμός ο Π οποίος διαιρείται με το 1 και το Π αυτό σημαίνει ότι ο Π+1 (ζυγός αριθμός) διαιρείται με το (1+1) και τα (Π+1).
Οι υπόλοιποι μονοί αριθμοί που είναι σύνθετοι εξαιρούνται από τη λίστα και αυτό γιατί: Έστω ένας σύνθετος μονός αριθμός που γράφεται με τη μορφή Μ*Π με Μ διαφορετικό του 1.
Αυτός ο Μ*Π διαιρείται με τους 1, (χ1), (χ2),…(χκ),Μ, Π, Μ*Π. Αν ο ΜΠ είναι παραγωγικός αριθμός αυτό σημαίνει ότι ο ΜΠ+1 διαιρείται με τον Π+1
Δηλαδή ΜΠ+1=0mod (Π+1), για να ισχύει αυτό θα πρέπει το ΜΠ=Πmod(Π+1) το οποίο αναγκαστικά σημαίνει ότι το Π=-1 mod (Π+1) και άρα το Μ=-Πmod(Π+1) το οποίο δίνει τότε Μ=1mod (Π+1) δηλαδή το Μ=1 το οποίο όμως έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεσή μας.
Συνοψίζοντας οι παραγωγικοί αριθμοί μέχρι το 2019 είναι όλοι οι πρώτοι μονοί αριθμοί.
Θανάσης Παπαδημητρίου
Πολύ σωστά, 306 (Ο 1 και οι μικρότεροι του 2019 περιττοί πρώτοι). Ας μου επιτρέψει ο Κωστής να αποδώσω λίγο διαφορετικά την απόδειξη του ότι δεν υπάρχει σύνθετος παραγωγικός:
Έστω σύνθετος ν=α*β, με α,β≠1. Αν λοιπόν ο ν ήταν παραγωγικός, τότε:
1) ο α+1 θα διαιρούσε τον ν+1=α*β+1 και αφού ο α+1 διαιρεί και τον α+1, θα έπρεπε να διαιρεί και τη διαφορά (α*β+1)-(α+1)=α(β-1) και αφού ο α+1 δεν διαιρεί τον α, θα έπρεπε ο α+1 να διαιρεί τον β-1, άρα α+1≤β-1 (1).
2) για τον ίδιο ακριβώς λόγο, θα έπρεπε β+1≤α-1 (2).
Αθροίζοντας κ.μ. τις (1) και (2), έχουμε α+β+2≤α+β-2 => 2≤-2, άτοπο.
Κάθε περιττός πρώτος αριθμός χ είναι και παραγωγικός, αφού έχει μοναδικούς διαιρέτες το 1 και τον εαυτό του και τα 2 και (χ+1) διαιρούν το (χ+1).
Προφανώς και το 1 είναι παραγωγικός.
Οι σύνθετοι αριθμοί και το 2 δεν είναι παραγωγικοί.
Συνολικά 306 αριθμοί.
Από τη λίστα των παραγωγικών αριθμών εξαιρούνται όλοι ο ζυγοί αριθμοί. Αυτό γιατί, έστω Ζ ένας ζυγός αριθμός που διαιρείται με 1, 2 ….Ζ. Αν είναι παραγωγικός αυτό σημαίνει ότι ο Ζ+1 (που είναι μονός αριθμός) θα πρέπει να διαιρεθεί με το (1+1) το οποίο είναι άτοπο.
Από τους μονούς αριθμούς οι πρώτοι αριθμοί εντάσσονται στη λίστα κ αυτό γιατί έστω ένας μονός κ πρώτος αριθμός ο Π οποίος διαιρείται με το 1 και το Π αυτό σημαίνει ότι ο Π+1 (ζυγός αριθμός) διαιρείται με το (1+1) και τα (Π+1).
Οι υπόλοιποι μονοί αριθμοί που είναι σύνθετοι εξαιρούνται από τη λίστα και αυτό γιατί: Έστω ένας σύνθετος μονός αριθμός που γράφεται με τη μορφή Μ*Π με Μ διαφορετικό του 1.
Αυτός ο Μ*Π διαιρείται με τους 1, (χ1), (χ2),…(χκ),Μ, Π, Μ*Π. Αν ο ΜΠ είναι παραγωγικός αριθμός αυτό σημαίνει ότι ο ΜΠ+1 διαιρείται με τον Π+1
Δηλαδή ΜΠ+1=0mod (Π+1), για να ισχύει αυτό θα πρέπει το ΜΠ=Πmod(Π+1) το οποίο αναγκαστικά σημαίνει ότι το Π=-1 mod (Π+1) και άρα το Μ=-Πmod(Π+1) το οποίο δίνει τότε Μ=1mod (Π+1) δηλαδή το Μ=1 το οποίο όμως έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεσή μας.
Συνοψίζοντας οι παραγωγικοί αριθμοί μέχρι το 2019 είναι όλοι οι πρώτοι μονοί αριθμοί.
Πολύ σωστά, 306 (Ο 1 και οι μικρότεροι του 2019 περιττοί πρώτοι). Ας μου επιτρέψει ο Κωστής να αποδώσω λίγο διαφορετικά την απόδειξη του ότι δεν υπάρχει σύνθετος παραγωγικός:
Έστω σύνθετος ν=α*β, με α,β≠1. Αν λοιπόν ο ν ήταν παραγωγικός, τότε:
1) ο α+1 θα διαιρούσε τον ν+1=α*β+1 και αφού ο α+1 διαιρεί και τον α+1, θα έπρεπε να διαιρεί και τη διαφορά (α*β+1)-(α+1)=α(β-1) και αφού ο α+1 δεν διαιρεί τον α, θα έπρεπε ο α+1 να διαιρεί τον β-1, άρα α+1≤β-1 (1).
2) για τον ίδιο ακριβώς λόγο, θα έπρεπε β+1≤α-1 (2).
Αθροίζοντας κ.μ. τις (1) και (2), έχουμε α+β+2≤α+β-2 => 2≤-2, άτοπο.