1. Σε πόσα ανόμοια μεταξύ τους κανονικά πολύγωνα, η εσωτερική γωνία έχει ακέραιο μέτρο σε λεπτά της μοίρας;
2. Σε ένα τουρνουά μπάσκετ 14 ομάδων, κάθε ομάδα θέλει να παίξει σε 14 ακριβώς παιχνίδια.
Η οργανωτική επιτροπή του τουρνουά θέλει να χωρίσει τις ομάδες σε δύο γκρουπ, όχι απαραίτητα ίσου αριθμού ομάδων, με τρόπο ώστε οι αγώνες μεταξύ ομάδων διαφορετικών γκρουπ να είναι όσοι και οι αγώνες μεταξύ ομάδων του ιδίου γκρουπ.
Σαν μαθηματικός σύμβουλος της επιτροπής, θα μπορούσατε να προτείνετε ένα πρόγραμμα αγώνων που ικανοποιεί όλους τους παραπάνω όρους;
Αν ναι δώστε ένα παράδειγμα, αν όχι γιατί;
2. Μπορείτε να βρείτε δύο φυσικούς αριθμούς, που έχουν αντίστοιχα 99 και 101 διαιρέτες, ενώ το γινόμενό τους έχει 200 διαιρέτες; Αν ναι δώστε ένα παράδειγμα, αν όχι γιατί;
(το τουρνουά μπάσκετ ακυρώνεται ως στημένο ?)
1. Ο τύπος που δίνει την εσωτερική γωνία κυρτού ν-γώνου σε λεπτά της μοίρας είναι ο [(ν-2)/ν]*180*60.
Το 180*60 γράφεται 2^4 * 3^3 * 5^2. Αν το ν είναι πολλαπλάσιο του 2 τότε το ν-2 είναι επίσης πολλαπλάσιο του 2. Αν το ν είναι πολλαπλάσιο οποιουδήποτε άλλου πρώτου αριθμού τότε το ν-2 δεν είναι πολλαπλάσιό του. Άρα στο παραπάνω γινόμενο πρώτων παραγόντων πρέπει να υπολογίσουμε άλλη μια φορά τον παράγοντα 2 και να καταλήξουμε στο 2^5 * 3^3 * 5^2.
Από την ιδιότητα ότι το πλήθος των διαιρετών ενός αριθμού ισούται με το γινόμενο των εκθετών των πρώτων παραγόντων του συν 1, προκύπτει ότι το πλήθος των διαιρετών αυτού του αριθμού είναι 6*4*3=72.
Επειδή όμως ν>=3, εξαιρούμε από τους διαιρέτες το 1 και το 2. Άρα το πλήθος των πολυγώνων που έχουν ακέραια λεπτά της μοίρας στην εσωτερική τους γωνία είναι 70.
2. Από την ιδιότητα ότι το πλήθος των διαιρετών ενός αριθμού ισούται με το γινόμενο των εκθετών των πρώτων παραγόντων του συν 1, προκύπτει ότι ο αριθμός με τους 101 διαιρέτες έχει τη μορφή p^100 όπου p πρώτος.
Για να έχει το γινόμενο των δύο αριθμών 200 διαιρέτες θα έπρεπε το 200 να διαιρείται με το 101, πράγμα που δεν συμβαίνει. Άρα το ζητούμενο είναι αδύνατο.
Πρόβλημα 1
Εφόσον μιλάμε για κανονικά πολύγωνα και αφού δεν υπάρχουν δύο ανόμοια μεταξύ τους κανονικά πολύγωνα με ίδιο αριθμό πλευρών μπορούμε να δουλέψουμε με τον τύπο που δίνει τις μοίρες σε κάθε γωνία ενός κανονικού πολυγώνου που είναι ο (ν-2)*180/ν
Αν μετατρέψουμε τον τύπο από μοίρες σε λεπτά των μοιρών έχουμε (ν-2)*180/ν *60= 10800ν-21600/ν λεπτά των μοιρών.
Αν θέλουμε αυτό να είναι ακέραιος θα πρέπει το 21600=0modν
Για να ισχύει αυτό θα πρέπει το ν να είναι διαιρέτης του 21600 (2^5 x 3^3 x 5^2 )=> 6*4*3=72 διαιρέτες εκτός από ν ίσο με 1 και 2 που δεν δίνουν πολύγωνα. Αυτοί είναι 70, άρα 70 πολύγωνα
Πρόβλημα 2
Το σύνολο των διαιρετών του γινομένου των δύο φυσικών δίνεται αν αναλύσουμε τον κάθε φυσικό αριθμό σε πρώτους παράγοντες και πολλαπλασιάσουμε τους εκθέτες των πρώτων παραγόντων αφού πρώτα έχουμε προσθέσει το 1 στο καθένα από αυτούς. Ο αριθμός που έχει 101 διαιρέτες αναγκαστικά αναλύεται σε πρώτους παράγοντες ως χ^100 αφού το 101 είναι πρώτος αριθμός. Εφόσον έχουμε ήδη το 101 δεν υπάρχει γινόμενο αριθμών (ακεραίων) που να δίνει 200 και να συμπεριλαμβάνει και το 101. Αναγκαστικά θα το υπερβαίνει.
1. Aν ν ο αριθμός των πλευρών του πρέπει ν>2 και φ ακέραιος σε λεπτά αν και μόνο αν ω ακέραιος. Επειδή φ=10800΄-21600΄/ν πρέπει ν διαιρέτης του 21600. Είναι 21600=2^5*3^3*5^2 και υπάρχουν 6*4*3=72 διαιρέτες του. Αν βγάλω το 1 και το 2 μένουν 70 που είναι και ο ζητούμενος αριθμός.
Πολύ σωστά και μπράβο σε όλους!
Τι θα απαντούσατε όμως στο πρόβλημα 2, αν τα πλήθη των διαιρετών έπρεπε να είναι 99, 102 και του γινομένου 201;
Ο αριθμός με 99 διαιρέτες δύναται να πάρει τις εξής μορφές
(χ1)^2*(χ2)^2*(χ3)^10
(χ1)^8*(χ2)^10
(χ1)^2*(χ2)^32
(χ1)^98
Ο αριθμός με 102 διαιρέτες δύναται να πάρει τις εξής μορφές
(ψ1)*(ψ2)^2*(ψ3)^16
(ψ1)^5*(ψ2)^16
(ψ1)^2*(ψ2)^33
(ψ1)*(ψ2)^50
(ψ1)^101
Το 201 αναλύεται σε πρώτους παράγοντες 3*67, αυτό σημαίνει ότι το γινόμενο των δύο αριθμών όταν αναλυθεί σε πρώτους παράγοντες θα είναι είτε της μορφής (λ1)^200,
είτε της μορφής (λ1)^2*(λ2)*66
Αν είναι της μορφής (λ1)^200 αυτό σημαίνει ότι οι δύο αρχικοί αριθμοί αναλύονται σε έναν πρώτο παράγοντα που είναι ίδιος και απλώς οι εκθέτες προστίθενται. Αν ήταν έτσι θα είχαμε (χ1)^98 και (ψ1)^101 που το γινόμενο όμως μας δίνει (98+101=199)=>200 διαιρέτες.
Αν είναι της μορφής (λ1)^2*(λ2)^66 τότε οι αρχικοί αριθμοί αναλύονται το πολύ σε δύο πρώτους παράγοντες έκαστος. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
(α) έχουν και οι δύο από δύο πρώτους παράγοντες, αυτό σημαίνει
είτε είναι κοινοί και οι εκθέτες απλώς αθροίζονται => καμία περίπτωση δε μας κάνει
(β) ο ένας αριθμός έχει δύο παράγοντες και ο άλλος έχει έναν παράγοντα και αυτός είναι κοινός με παράγοντα του άλλου => καμία περίπτωση δε μας κάνει
(γ) ο κάθε αριθμός έχει μόνο έναν πρώτο παράγοντα που είναι διαφορετικός => συνολικοί διαιρέτες 99*102
Συνεπώς δεν υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί
Πολύ ωραία Κωστή!
Ένας διαφορετικός τρόπος είναι:
Όχι, διότι ο ένας θα έχει περιττό αριθμό διαιρετών, άρα θα είναι τέλειο τετράγωνο, ενώ ο άλλος άρτιο αριθμό διαιρετών, άρα δεν θα είναι τέλειο τετράγωνο. Έτσι, το γινόμενό τους δεν θα είναι τέλειο τετράγωνο, άρα δεν θα μπορεί να έχει περιττό αριθμό διαιρετών.