Ο Ερμής γύρισε από ένα ταξίδι και είπε στη γυναίκα του: συνταξίδευα μαζί με ένα παλιό φίλο το Νίκο και τις δύο κόρες του.
Τι ηλικίες έχουν;
Το γινόμενο των ηλικιών και των τριών είναι 2450 και το άθροισμα διπλάσιο από την ηλικία σου.
Δεν ξέρω
Α! ναι η μια κόρη ήταν τρία χρόνια μεγαλύτερη από την άλλη.
Εντάξει κατάλαβα. Εσείς ξέρετε τις ηλικίες τους;
2450=2*5^2*7^2.
O μόνος λογικός συνδυασμός 3 φυσικών α=ηλικία πατέρα, β+3=ηλικία μεγαλύτερης κόρης και β=ηλικία μικρότερης κόρης, από τους διαιρέτες του 2450, με άρτιο άθροισμα είναι α=35, β+3=10 και β=7.
Απάντηση
Απ.
1η λύση . Εστωσαν Ν η ηλικία του Νίκου , Κ1=κ η ηλικία της μιας κόρης , Κ2=κ+3 η ηλικία της άλλης κόρης και Γ η ηλικία της γυναίκας του Ερμη . Όλες οι ηλικίες θεωρούνται ακέραιοι αριθμοί . Έτσι απο τα δεδομένα του προβλήματος ισχύουν οι σχέσεις
α) Ν*κ*(κ+3) = 2450
β) Ν + 2*κ + 3 = 2*Γ
Απο την (β) , επειδή το δεύτερο μέλος είναι άρτιος , πρέπει ο Ν να είναι περιττός ώστε Ν+3 να είναι άρτιος και να ισχύει η ισότητα .
Στην (α) ο Ν , περιττός , διαιρεί το πρώτο μέλος , πρέπει να διαιρεί και τον 2450 . Θα αναζητήσουμε περιττούς διαιρέτες του 2450 , αποδεκτούς , αναλύοντας τον 2450 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων .
Έτσι 2450 = 2*5*5*7*7
Απο το παραπάνω , αποδέκτες τιμές του Ν είναι οι. Ν= 25 , 35 , 49 διότι υπόλοιποι συνδυασμοί καταλήγουν ή σε άρτιο ή πολυ μεγαλύτερη ή μικρότερη τιμή ηλικίας , μη αποδεκτή . Έτσι απο την (α) για τις τρεις παραπάνω τιμές του Ν , προκύπτουν μετά τις πράξεις οι τρεις παρακάτω δευτεροβάθμιες εξισώσεις
(1). κ^2 + 3*κ – 98 = 0. (Ν=25)
(2). κ^2 + 3*κ – 70 = 0. (Ν=35)
(3). κ^2 + 3*κ – 50 = 0. (Ν=49)
Απο αυτές ακέραια λύση του κ αποδεκτή , δίνει η (2) για Ν = 35 και κ = 7
Έτσι τελικά οι ηλικίες είναι . Ν=35 , Κ1=7 , Κ2=10 και ακόμη Γ=26
2η λύση Με το παραπάνω σκεπτικό 1ο οι ηλικίες των κοριτσιών πρέπει η μια να είναι άρτιος αριθμός και η άλλη περιττός και 2ο η ηλικία του Νίκου πρέπει να είναι γινόμενο δυο παραγόντων απο την ανάλυση του 2450 εκτός του 2 . Έτσι ο Νίκος θα είναι ή 5*5=25 ή 5*7=35 ή 7*7=49 . Απο τις τιμές αυτές μόνο η τιμή 35 ικανοποιεί τις υποθέσεις με Κ1=7 , Κ2=2*5=10 και Γ=26
Έστω φ η ηλικία του πατέρα, χ η ηλικία της μεγαλύτερης κόρης του, ψ η ηλικία της μικρότερης κόρης του και ω η ηλικία της μητέρας τους. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
φ*χ*ψ=2.450 (1)
φ+χ+ψ=2*ω (2)
Παραγοντοποιούμε τον αριθμό 2.450 κι’ έχουμε:
2.450=7*10*35
Άρα η ηλικία του πατέρα είναι 35 ετών, των κοριτσιών 7 ετών και 10 ετών αντίστοιχα και .η ηλικία της μητέρας τους είναι 26 ετών.
Επαλήιθευση:
φ*χ*ψ=2.450 — 7*10*35=2.450
φ+χ+ψ=2*ω – 7+10+35=2*ω 52=2*ω — ω=52/2 – ω=26
Το πρόβλημα παρουσιάζει μια ασάφεια.
Κατ’ αρχήν οι όροι 10 και 35 δεν είναι πρώτοι αριθμοί.. Διότι οι διαιρέτες τους εκτός από τον εαυτό τους και την μονάδα διαιρούνται με το 2 και το 5 (το 10) και με το 5 και 7.(το 35).
Επίσης είναι αδύνατον η μητέρα που είναι 26 ετών να παντρεύτηκε 16 χρονών και να έχει κόρη 10 ετών.
Απορία:
Υποθέτω ότι η γυναίκα του Ερμή γνώριζε την ηλικία της (26), όπως και ότι το διπλάσιο της 2*26=52 προκύπτει μοναδικά ως άθροισμα τριών αριθμών που έχουν γινόμενο 2450, δηλαδή 52=35+10+7.
Αν είναι έτσι, πώς εξηγείται εκείνο το ‘Δεν ξέρω’ που λέει πριν ακούσει ότι τα δύο κορίτσια έχουν διαφορά ηλικίας 3;