Ο γρίφος της Εβδομάδας – “Τέλεια τετράγωνα”

Ο ω+48 και ο ω-60 είναι τέλεια τετράγωνα . Ποιος είναι ο ω;

4 σχόλια

  1. ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΚΑΡΑΓΚΟΥΝΗΣ

    Θα πρέπει ο ω-60>0 => ω>60
    Άρα ω+48>108.
    Τέλεια τετράγωνα μεγαλύτερα του 108 είναι 121 (11^2), 144 (12^2), 169 (13^2), 196 (14^2), 225 (15^2)….
    Αν ω+48=121 => ω= 73, όμως απορρίπτεται γιατί τότε ο ω-60=13 που δεν είναι τέλειο τετράγωνο
    Αν ω+48=144=> ω= 96, άρα ω-60=36, που είναι τέλειο τετράγωνο (6^2)
    Συνεπώς ω=96

  2. ΚΔ

    Το σύστημα
    ω+48=α^2
    ω-60=β^2
    δίνει 108=(α-β)(α+β).
    Ζεύγη διαιρετών του 108 αποδεκτά είναι 2 με 54 που δίνει ω=736 και 6 με 18 και ω=96.

  3. Β. Γ.

    Απάντηση
    Εστωσαν ω + 48 = κ^2. και. ω – 60 = λ^2
    Απο τα παραπάνω εύκολα συνάγονται ότι :
    κ > λ και. ακόμη. πως και οι τρεις , ω , κ , λ , είναι ή άρτιοι ή περιττοί .
    Απο παραπάνω προκύπτει : κ^2 – λ^2 = 108

    1η λύση .
    Απο ω – 60 = λ^2>=0 επεται ω>=60 . Έτσι πρέπει να είναι ω = 60 + ν^2 , όπου ν φυσικός αριθμός και δοκιμαστικά να καταλήξουμε σε αποδεκτή τιμή του ω που ικανοποιεί και τις δυο αρχικές σχέσεις . Εύκολα προκύπτει πως η πρώτη αποδεκτή τιμή του ω είναι ίση με : ω = 60 + 6^2 = 96

    2η λύση .
    Έστω ότι κ , λ αρτιοι . Ένας άρτιος υψούμενος στο τετράγωνο δίνει αριθμό που λήγει σε 0 , 4 , ή 6 . Για να είναι η διαφορα αυτών των τετραγώνων ίση με 108 , να λήγει δηλ σε 8 , πρέπει το μεγαλύτερο τετράγωνο να λήγει σε 4 και το μικρότερο σε 6 δηλ αριθμοί της μορφής χχχΑΒ4 – χχχ(Α-1)(Β-1)6
    Σχηματίζω μερικά τετράγωνα άρτιων αριθμών , αρχίζοντας απο το 2 .
    Έτσι : 4 , 16 , 36 , 64 , 100 , 144 , 196 , 256 , 324 , ……….
    Απο τους παραπάνω αριθμούς , πολυ εύκολα συνάγεται πως
    144 – 36 = 108. Δηλ 12^2 – 6^2 = 108

    Έστω τωρα ότι κ , λ περιττοί . Ένας περιττος υψούμενος στο τετράγωνο δίνει αριθμό που λήγει σε 1 , 5 ή 9 . Για να είναι η διαφορα αυτών των τετραγώνων ίση με 108 , να λήγει δηλ σε 8 , πρέπει το μεγαλύτερο τετράγωνο να λήγει σε 9 και το μικρότερο σε 1 δηλ αριθμοί της μορφής χχχΑΒ9 – χχχ(Α-1)Β1
    Σχηματίζω μερικά τετράγωνα περιττων αριθμών , αρχίζοντας απο το 3 .
    Έτσι : 9 , 25 , 49 , 81 , 121 , 169 , 225 , 289 , ……….
    Απο τους παραπάνω αριθμούς , δεν προκύπτει ζεύγος αριθμών που να δίνει αποτέλεσμα 108 .

    Κατόπιν αυτών προκύπτει πως
    ω = 12^2 – 48 = 6^2 + 60 = 96 Έτσι τελικά ω = 96

    Σημ. Για την ολοκλήρωση της λύσης του προβλήματος , πρέπει να διερευνηθεί αν εκτός της παραπάνω τιμής του ω=96 , υπάρχει και άλλη τιμή του που επαληθεύει τις σχέσεις , αλλα παραλείπεται .

  4. Carlo de Grandi

    Υπάρχουν δύο λύσεις.
    (α) ω=96
    (β) ω=736
    Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τις εξής τέσσερις εξισώσεις:

    ω+48=x^2 — 96+48=144=12^2
    ω-60=y^2 — 96-60=36=6^2

    ω+48=x^2 – 736+48=784=28^2
    ω-60=y^2 —- 736-60=676=26^2

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *