Θα πρέπει ο ω-60>0 => ω>60
Άρα ω+48>108.
Τέλεια τετράγωνα μεγαλύτερα του 108 είναι 121 (11^2), 144 (12^2), 169 (13^2), 196 (14^2), 225 (15^2)….
Αν ω+48=121 => ω= 73, όμως απορρίπτεται γιατί τότε ο ω-60=13 που δεν είναι τέλειο τετράγωνο
Αν ω+48=144=> ω= 96, άρα ω-60=36, που είναι τέλειο τετράγωνο (6^2)
Συνεπώς ω=96
ΚΔ
Το σύστημα
ω+48=α^2
ω-60=β^2
δίνει 108=(α-β)(α+β).
Ζεύγη διαιρετών του 108 αποδεκτά είναι 2 με 54 που δίνει ω=736 και 6 με 18 και ω=96.
Β. Γ.
Απάντηση
Εστωσαν ω + 48 = κ^2. και. ω – 60 = λ^2
Απο τα παραπάνω εύκολα συνάγονται ότι :
κ > λ και. ακόμη. πως και οι τρεις , ω , κ , λ , είναι ή άρτιοι ή περιττοί .
Απο παραπάνω προκύπτει : κ^2 – λ^2 = 108
1η λύση .
Απο ω – 60 = λ^2>=0 επεται ω>=60 . Έτσι πρέπει να είναι ω = 60 + ν^2 , όπου ν φυσικός αριθμός και δοκιμαστικά να καταλήξουμε σε αποδεκτή τιμή του ω που ικανοποιεί και τις δυο αρχικές σχέσεις . Εύκολα προκύπτει πως η πρώτη αποδεκτή τιμή του ω είναι ίση με : ω = 60 + 6^2 = 96
2η λύση .
Έστω ότι κ , λ αρτιοι . Ένας άρτιος υψούμενος στο τετράγωνο δίνει αριθμό που λήγει σε 0 , 4 , ή 6 . Για να είναι η διαφορα αυτών των τετραγώνων ίση με 108 , να λήγει δηλ σε 8 , πρέπει το μεγαλύτερο τετράγωνο να λήγει σε 4 και το μικρότερο σε 6 δηλ αριθμοί της μορφής χχχΑΒ4 – χχχ(Α-1)(Β-1)6
Σχηματίζω μερικά τετράγωνα άρτιων αριθμών , αρχίζοντας απο το 2 .
Έτσι : 4 , 16 , 36 , 64 , 100 , 144 , 196 , 256 , 324 , ……….
Απο τους παραπάνω αριθμούς , πολυ εύκολα συνάγεται πως
144 – 36 = 108. Δηλ 12^2 – 6^2 = 108
Έστω τωρα ότι κ , λ περιττοί . Ένας περιττος υψούμενος στο τετράγωνο δίνει αριθμό που λήγει σε 1 , 5 ή 9 . Για να είναι η διαφορα αυτών των τετραγώνων ίση με 108 , να λήγει δηλ σε 8 , πρέπει το μεγαλύτερο τετράγωνο να λήγει σε 9 και το μικρότερο σε 1 δηλ αριθμοί της μορφής χχχΑΒ9 – χχχ(Α-1)Β1
Σχηματίζω μερικά τετράγωνα περιττων αριθμών , αρχίζοντας απο το 3 .
Έτσι : 9 , 25 , 49 , 81 , 121 , 169 , 225 , 289 , ……….
Απο τους παραπάνω αριθμούς , δεν προκύπτει ζεύγος αριθμών που να δίνει αποτέλεσμα 108 .
Κατόπιν αυτών προκύπτει πως
ω = 12^2 – 48 = 6^2 + 60 = 96 Έτσι τελικά ω = 96
Σημ. Για την ολοκλήρωση της λύσης του προβλήματος , πρέπει να διερευνηθεί αν εκτός της παραπάνω τιμής του ω=96 , υπάρχει και άλλη τιμή του που επαληθεύει τις σχέσεις , αλλα παραλείπεται .
Θα πρέπει ο ω-60>0 => ω>60
Άρα ω+48>108.
Τέλεια τετράγωνα μεγαλύτερα του 108 είναι 121 (11^2), 144 (12^2), 169 (13^2), 196 (14^2), 225 (15^2)….
Αν ω+48=121 => ω= 73, όμως απορρίπτεται γιατί τότε ο ω-60=13 που δεν είναι τέλειο τετράγωνο
Αν ω+48=144=> ω= 96, άρα ω-60=36, που είναι τέλειο τετράγωνο (6^2)
Συνεπώς ω=96
Το σύστημα
ω+48=α^2
ω-60=β^2
δίνει 108=(α-β)(α+β).
Ζεύγη διαιρετών του 108 αποδεκτά είναι 2 με 54 που δίνει ω=736 και 6 με 18 και ω=96.
Απάντηση
Εστωσαν ω + 48 = κ^2. και. ω – 60 = λ^2
Απο τα παραπάνω εύκολα συνάγονται ότι :
κ > λ και. ακόμη. πως και οι τρεις , ω , κ , λ , είναι ή άρτιοι ή περιττοί .
Απο παραπάνω προκύπτει : κ^2 – λ^2 = 108
1η λύση .
Απο ω – 60 = λ^2>=0 επεται ω>=60 . Έτσι πρέπει να είναι ω = 60 + ν^2 , όπου ν φυσικός αριθμός και δοκιμαστικά να καταλήξουμε σε αποδεκτή τιμή του ω που ικανοποιεί και τις δυο αρχικές σχέσεις . Εύκολα προκύπτει πως η πρώτη αποδεκτή τιμή του ω είναι ίση με : ω = 60 + 6^2 = 96
2η λύση .
Έστω ότι κ , λ αρτιοι . Ένας άρτιος υψούμενος στο τετράγωνο δίνει αριθμό που λήγει σε 0 , 4 , ή 6 . Για να είναι η διαφορα αυτών των τετραγώνων ίση με 108 , να λήγει δηλ σε 8 , πρέπει το μεγαλύτερο τετράγωνο να λήγει σε 4 και το μικρότερο σε 6 δηλ αριθμοί της μορφής χχχΑΒ4 – χχχ(Α-1)(Β-1)6
Σχηματίζω μερικά τετράγωνα άρτιων αριθμών , αρχίζοντας απο το 2 .
Έτσι : 4 , 16 , 36 , 64 , 100 , 144 , 196 , 256 , 324 , ……….
Απο τους παραπάνω αριθμούς , πολυ εύκολα συνάγεται πως
144 – 36 = 108. Δηλ 12^2 – 6^2 = 108
Έστω τωρα ότι κ , λ περιττοί . Ένας περιττος υψούμενος στο τετράγωνο δίνει αριθμό που λήγει σε 1 , 5 ή 9 . Για να είναι η διαφορα αυτών των τετραγώνων ίση με 108 , να λήγει δηλ σε 8 , πρέπει το μεγαλύτερο τετράγωνο να λήγει σε 9 και το μικρότερο σε 1 δηλ αριθμοί της μορφής χχχΑΒ9 – χχχ(Α-1)Β1
Σχηματίζω μερικά τετράγωνα περιττων αριθμών , αρχίζοντας απο το 3 .
Έτσι : 9 , 25 , 49 , 81 , 121 , 169 , 225 , 289 , ……….
Απο τους παραπάνω αριθμούς , δεν προκύπτει ζεύγος αριθμών που να δίνει αποτέλεσμα 108 .
Κατόπιν αυτών προκύπτει πως
ω = 12^2 – 48 = 6^2 + 60 = 96 Έτσι τελικά ω = 96
Σημ. Για την ολοκλήρωση της λύσης του προβλήματος , πρέπει να διερευνηθεί αν εκτός της παραπάνω τιμής του ω=96 , υπάρχει και άλλη τιμή του που επαληθεύει τις σχέσεις , αλλα παραλείπεται .
Υπάρχουν δύο λύσεις.
(α) ω=96
(β) ω=736
Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τις εξής τέσσερις εξισώσεις:
ω+48=x^2 — 96+48=144=12^2
ω-60=y^2 — 96-60=36=6^2
ω+48=x^2 – 736+48=784=28^2
ω-60=y^2 —- 736-60=676=26^2