Οι σελίδες ενός βιβλίου αριθμούνται από 1 μέχρι ν. Αθροίσαμε τους αριθμούς των σελίδων αλλά κατά λάθος κάποια σελίδα την προσθέσαμε δύο φορές και βρήκαμε άθροισμα 1998.
Πόσες σελίδες έχει το βιβλίο και ποια προσθέσαμε δύο φορές;
Ο γρίφος της Εβδομάδας – “Οι σελίδες”
Aν είχε 61 σελίδες το άθροισμα θα ήταν 1891, με διαφορά από το 1998 107 αδύνατο. Αν είχε 63 το άθροισμα θα ήταν 2016 αδύνατο. Άρα οι σελίδες είναι 62 με άθροισμα 1953 και μετρήσαμε διπλή την 1998-1953=45.
Αν 1,…,ν οι φυσικοί θα ισχύει 1+…+ν+1<=1998<=1+…+ν+ν, ν(ν+1)/2+1<=1998<=ν(ν+1)/2+ν, (ν^2+ν+2)/2<=1998<=(ν^2+3ν)/2,που συναληθεύουν για ν=62. Τότε 1+…+62=1953 και ο διπλός αριθμός είναι ο 1998-1953=45.
Απ.
Οι σελίδες του βιβλίου αποτελούν αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο το 1 , λόγο ω=1 και τελευταίο τον ν . Το άθροισμα των όρων αυτής της προόδου είναι ίσο με
Σν = ν/2*(ν+1). Έστω κ η σελίδα που την προσθέσαμε δυο φορές .
Έστω τωρα ότι αυτή η σελίδα είναι η τελευταία , δηλ κ = ν . Τότε θα ισχύει .
Σν + κ = ν/2*(ν+1) + ν = 1998 και επεται μετά τις πράξεις πως
ν^2 + 3*ν – 3996 = 0 . Η λύση αυτής της δευτεροβάθμιας εξίσωσης δίνει :
ν = 61,73….
Έστω τωρα πως η κ είναι η πρώτη σελίδα , δηλ κ = 1 τότε :
Σν + κ = ν/2*(ν+1) + 1 = 1998 και μετά τις πράξεις καταλήγουμε στην εξίσωση:
ν^2 + ν – 3994 = 0 . Η λύση αυτής της δευτεροβάθμιας εξίσωσης δίνει :
ν = 62,70….. Δηλ ο ν κινείται μεταξύ :
61,73 <= ν <= 62,70 . Επειδή δε ο ν είναι φυσικός , καταλήγουμε ότι
ν = 62 Έτσι το άθροισμα των σελίδων του βιβλίου είναι:
Σ62 = 62/2*(62+1) = 1953 και κατα συνέπεια:
κ = 1998 – 1953 = 45
Η σελίδα λοιπον που προστέθηκε δυο φορές είναι η 45 και το βιβλίο έχει 62 σελίδες .
Έχει 62 σελίδες. Η αρίθμησή τους ακολουθεί αριθμητική πρόοδο και το άθροισμα αυτής είναι
62* (62+1)/2=1953. Συνεπώς, μετρήθηκε δυο φορές η σελίδα 45 (=1998 – 1953)
Έστω ν οι σελίδες του βιβλίου και x ο αριθμός της σελίδας που προσθέσαμε δύο φορές.
1+2+3+…+ν = 1998 – x, 0 < x < v+1
ν*(ν+1)/2 = 1998 – x, 0 < x < v+1
v*(v+1) = 3996 – 2x, 0 < x < v+1
2x = 3996 – v*(v+1), 0 < x < v+1
Για ν < 62 είναι ν*(ν+1) == 107 > ν+1 (άτοπο)
Για ν = 62 είναι ν*(ν+1) = 62*63 = 3906, άρα x = 45 (δεκτό)
Για ν > 62 είναι ν*(ν+1) >= 4032, άρα x < 0 (άτοπο)
Επομένως ν = 62 και x = 45,
δηλαδή το βιβλίο έχει 62 σελίδες και προσθέσαμε δύο φορές τη σελίδα 45.
Πολύ ωραίες λύσεις ,δεν έχω να προσθέσω κάτι.