Ο γρίφος της Εβδομάδας – “Το Χρυσό   του Ιέρωνα Β”

Το Χρυσό   του Ιέρωνα Β΄[1]

Ο τύραννος και βασιλιάς των Συρακουσών Ιέρωνας Β΄[2]  ήθελε ένα ολόχρυσο στέμμα, για να τον καταθέσει στο ναό ως ανάθημα ευχαριστίας για την ευημερία της πόλεως των Συρακουσών. Κάλεσε λοιπόν τον καλύτερο χρυσοχόο της περιοχής και του έδωσε μια ποσότητα ατόφιο χρυσάφι με την παραγγελία να χρησιμοποιήσει αυτό και μόνο αυτό για να φτιάξει το στέμμα. Μετά από λίγο καιρό ο χρυσοχόος παρέδωσε το στέμμα στο βασιλιά. Όμως, ο Ιέρωνας υποπτευόταν ότι ο χρυσοχόος είχε νοθέψει το στέμμα με κάποιο άλλο μέταλλο, δηλαδή, υποπτευόταν ότι ο χρυσοχόος είχε πάρει μέρος από το χρυσάφι και το είχε αντικαταστήσει με ίσο βάρος από άλλο μέταλλο μικρότερης αξίας (άργυρο). Λόγω του ότι το βάρος που θα έβαζε από το υποτιθέμενο ξένο μέταλλο θα ήταν ίδιο με το βάρος του χρυσού που θα έκλεβε, θα ήταν αδύνατο με κλασσική ζύγιση να βρεθεί η απάτη. Ωστόσο δεν μπορούσε να κατηγορήσει το χρυσοχόο χωρίς κάποιες χειροπιαστές αποδείξεις, γι’ αυτό, λοιπόν, κάλεσε τον Αρχιμήδη[3] και του ζήτησε να ελέγξει  εάν  υπάρχει νοθεία στο στέμμα. Ο έλεγχος θα έπρεπε να γίνει χωρίς φυσικά να το καταστρέψει ή να του προξενήσει οποιαδήποτε αλλοίωση.

Ο Αρχιμήδης βρέθηκε αντιμέτωπος με ένα μεγάλο πρόβλημα. Από τη μια ήθελε να αποκαλύψει μια πιθανή απάτη, αλλά από την άλλη δεν μπορούσε να κατηγορήσει άδικα κάποιον αθώο.

Γι’ αυτό το λόγο ήθελε η μέθοδός του να είναι πολύ μεγάλης ακρίβειας.

Ο Αρχιμήδης βρήκε τη λύση του προβλήματος τυχαία, όταν μπήκε στη μπανιέρα του, αντελήφθη την άνωση και παρατήρησε  ότι όσο βυθίζεται ένα σώμα  μέσα στο νερό, χάνει τόσο βάρος, όσο είναι το υπ’ αυτού εκτοπιζόμενο νερό.

Ενθουσιασμένος από την έμπνευση αυτή, η οποία του έδωσε τη λύση του προβλήματος  για την εύρεση της νοθείας του στέμματος συγκρίνοντας το εκτοπισμένο νερό δύο ίσων βαρών, του χρυσού και του αργύρου, κυριεύθηκε από τόση χαρά, ώστε βγήκε από τα λουτρά στο δρόμο τελείως γυμνός  και κατευθύνθηκε προς την οικία του φωνάζοντας: “Εύρηκα – Εύρηκα !!!

Ωστόσο για να γίνει αξιολόγηση της ακρίβειας της λύσης κάνουμε τις εξής παραδοχές:

Δεχόμαστε ότι το στέμμα νοθεύτηκε με ασήμι (άργυρος) με πυκνότητα (ειδικό βάρος) 10,5gr/cm3  (γραμμάρια ανά κυβικό εκατοστό).

Η πυκνότητα (ειδικό βάρος) του χρυσού είναι19,33 gr/cm3. Θεωρούμε το εξωτερικό σχήμα του στέμματος κατά προσέγγιση σφαιρικό με ακτίνα 10cm. Εννοείτε ότι δεν έχει κλειστή επιφάνεια εξωτερικά.

Υποθέτουμε ότι το στέμμα ζυγίζει 1000 gr. από τα οποία τα 700gr. είναι χρυσάφι και τα 300gr. είναι ασήμι.

Ζητείται: Να υποδείξετε την μεγαλύτερη, με ακρίβεια, μη καταστροφική μέθοδο με την οποία θα ελεγχθεί η καθαρότητα του στέμματος. Θα πρέπει δε να   χρησιμοποιηθούν τα μέσα που ήταν διαθέσιμα στην αρχαία Ελλάδα.

Προσοχή: Ο γρίφος δε ζητάει μια οποιαδήποτε λύση, αλλά μια λύση όσο το  δυνατό μεγαλύτερης ακρίβειας. Ζητείται απλή περιγραφή της μεθόδου και όχι παρουσίαση αριθμητικών υπολογισμών.

  [1] Από το δεκάτομο έργο του Ρωμαίου συγγραφέα, μηχανικού και αρχιτέκτονα Μάρκου Πολλίωνα Βιτρούβιου (1ο αι. π.Χ.)  ≈25 π.Χ. με τίτλο: “De Architectura” (I. IX, Κεφ. ΙΙΙ ), εις τ’ οποίο διασώθηκε το ανωτέρω πρόβλημα , το οποίο συμπεριλαμβανόταν στο σύγγραμμα του Αρχιμήδη       (≈ 287/285 – 212 π.Χ.)), αποτελούμενο από δύο βιβλία που περιελάμβαναν 19 θεωρήματα, από τα οποία τα 10 (1ο βιβλίο) αναφέρονται στις γενικές αρχές της Υδροστατικής, με τίτλο “Περί Οχουμένων”, εγχειρίδιο περί των πλεόντων σωμάτων, τ’ οποίο δεν διασώθηκε, και περιείχε τις θεμελιιώδεις αρχές της  Υδροστατικής .

[2] Ο Τύραννος και Βασιλιάς (270-215) των Συρακουσών Ιέρωνας Β΄ (307/306 – 215 π.Χ.).Γιος του Ιεροκλή, ευγενικής καταγωγής, και κάποιας δούλης. Παντρεύτηκε την Φιλίστη, κόρη του Λεπτίνη, και απέκτησε τον Γέλωνα, μετέπειτα Τύραννο των Συρακουσών.

[3] Αρχιμήδης (287-212 π.Χ.) Ο Αρχιμήδης, μεγάλος μαθηματικός του αρχαίου Ελληνικού χώρου και μία από τις μεγαλύτερες μαθηματικές ευφυίες του Κόσμου, γεννήθηκε, έζησε και πέθανε στις Συρακούσες, την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας. Πατέρας του ήταν ο αστρονόμος Φειδίας, που είχε δεσμούς φιλίας με το βασιλικό γένος των Συρακουσών. Ο Αρχιμήδης ταξίδεψε στην Αίγυπτο και ήρθε σε επαφή με τους  διαδόχους του Ευκλείδη, τους Ερατοσθένη και Δοσίθεο, ενώ ήταν φίλος και συμμαθητής του Κόνωνα του  Σάμιου. Το έργο του υπήρξε τεράστιο, τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς : γεωμετρία, οπτική (κατοπτρική), υδραυλική, μηχανική, αρχιτεκτονική και την πολιορκητική. Συνέδεσε το όνομά του με την γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα και με την λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων, καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του τις Συρακούσες.

Σχολιαστής του έργου του υπήρξε ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (6ος αι. μ.Χ.) που καταγόταν από την ελληνική πόλη της Συρίας Ασκαλών.

Στον  χώρο της εφαρμοσμένης μηχανικής ο Αρχιμήδης επινόησε ιδιοφυείς μηχανές κάθε είδους. Εφηύρε τον Ρωμαϊκό ζυγό (καντάρι), το τρίσπαστο (ανυψωτική τριπλή τροχαλία) και τον ατέρμονα κοχλία “έλιξ του  Αρχιμήδους” , μηχανή άντλησης νερού από ποταμούς και φρέατα (η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και στις μέρες μας σε περιοχές της Β. Αφρικής). Κατασκεύασε ένα υδραυλικό ρολόι το οποίο υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες (και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας). Μεγάλη φήμη απέκτησαν οι πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη : “αρχιτρόνιτο” (πυροβόλο ατμού), “καταπέλτες” , “άρπαγες” (μηχανισμός που ανύψωνε και αναποδογύριζε πλοία) και “κάτοπτρα” για την καύση των Ρωμαϊκών εχθρικών πλοίων (με παραβολικά κάτοπτρα όπως αποδείχτηκε από τα πειράματα του μηχανικού Ι. Σακκά ο οποίος το 1973 απόδειξε τον τρόπο με τον οποίο ο Αρχιμήδης έκαψε τον Ρωμαϊκό στόλο). Σύμφωνα με την παράδοση, όταν η πόλη τελικά κατελήφθη, μετά από προδοσία, από τους Ρωμαίους, μετά από τριετή αντίσταση των Ελλήνων,ο στρατηγός Μάρκελλος έδωσε εντολή στους στρατιώτες του να μην πειράξουν τον Αρχιμήδη και το σπίτι του. Ένας άξεστος, όμως, Ρωμαίος οπλίτης βρήκε τον Αρχιμήδη στον κήπο του σπιτιού του να χαράζει  γεωμετρικά σχήματα πάνω στην άμμο. “Μη μου τους κύκλους τάραττε” πρόλαβε να φωνάξει ο μεγάλος Έλληνας μαθηματικός. Ο στρατιώτης όμως, αγνοώντας ποιον έχει μπροστά του, τον σκότωσε με το ξίφος  του., ενώ αυτός ήταν προσηλωμένος σε κάποιο γεωμετρικό πρόβλημα…Ο Αρχιμήδης επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την ευρωπαϊκή επιστημονική σκέψη, καθώς και τους Άραβες επιστήμονες, οι οποίοι αντέγραψαν όλα τα έργα του στα αραβικά, γλώσσα στην οποία διασώθηκαν αρκετά, αφού τα πρωτότυπα είχαν χαθεί.

JotD&QtD Ελληνικές Λίστες Ανεκδότων και Quiz

Προτάθηκε από Carlo de Grandi

1 σχόλιο

  1. ... Συντάκτης άρθρου

    Α) Βυθίζουμε το στέμμα μέσα σε ένα δοχείο με νερό και μετράμε πόσο ανεβαίνει η
    στάθμη του. Στη συνέχεια βυθίζουμε στο ίδιο δοχείο με νερό, μια ποσότητα καθαρού
    χρυσού που έχει το ίδιο βάρος με το στέμμα. Αν η στάθμη ανέβει λιγότερο από ότι
    ανέβηκε με το στέμμα τότε το στέμμα είναι νοθευμένο. Διαφορετικά το στέμμα είναι
    από καθαρό χρυσάφι.
    Β) Μια παρόμοια λύση αποδίδει ο ρωμαίος αρχιτέκτονας Vitruvius στον Αρχιμήδη.
    Σύμφωνα με αυτή την εκδοχή, ο Αρχιμήδης γέμισε ένα δοχείο μέχρι το χείλος
    και βύθισε μέσα μια ποσότητα από ατόφιο χρυσάφι που είχε ίσο βάρος με το
    στέμμα. Αυτό ανάγκασε το νερό να ξεχειλίσει. Στη συνέχεια έβγαλε το χρυσάφι
    από το νερό και βύθισε το στέμμα στη θέση του. Αν το στέμμα ήταν νοθευμένο,
    τότε ο όγκος του θα ήταν μεγαλύτερος από αυτόν του καθαρού χρυσού και έτσι ο
    όγκος του νερού που εκτόπιζε θα ήταν μεγαλύτερος. Αν, λοιπόν, το νερό ξεχείλιζε
    ξανά τότε το στέμμα ήταν νοθευμένο. Οι δύο αυτές λύσεις είναι παραπλήσιες γιατί
    βασίζονται και οι δύο στην ογκομέτρηση. Δηλαδή ουσιαστικά μετράνε πόσο νερό θα
    εκτοπίσει το στέμμα και πόσο το καθαρό χρυσάφι.
    Μια λύση που βασίζεται στην ογκομέτρηση, παρότι θεωρητικά είναι σωστή, στην
    πραγματικότητα έχει δεχτεί αρκετή κριτική διότι δεν είναι αρκετά ακριβής. Ο
    Αρχιμήδης μέσα από τα γραπτά του μας δείχνει καθαρά ότι η ιδιοφυΐα του ξεπερνά
    κατά πολύ αυτήν που απαιτείται για να σκεφτεί κανείς την ογκομέτρηση. Έτσι
    λοιπόν κάποιοι σύγχρονοι μελετητές του Αρχιμήδη του αποδίδουν την παρακάτω
    κομψότατη και σαφώς ακριβέστερη λύση:
    Γ) Βάζουμε σε μια ζυγαριά (παλάντζα) από τη μια μεριά το στέμμα και από την άλλη
    μια ποσότητα καθαρού χρυσού έτσι ώστε η ζυγαριά να ισορροπήσει. Το βάρος του
    στέμματος και του χρυσού στις δύο μεριές τις ζυγαριάς είναι ίδιο, αλλά το στέμμα
    αν είναι νοθευμένο θα έχει λίγο μεγαλύτερο όγκο (κι ας μη φαίνεται με το μάτι).
    Βυθίζουμε τη ζυγαριά μέσα στο νερό. Αν το στέμμα είναι νοθευμένο τότε η ζυγαριά
    θα γείρει προς τη μεριά του χρυσού. Αυτό οφείλεται στο ότι ο λίγο μεγαλύτερος
    όγκος του στέμματος θα είναι υπεύθυνος για τη λίγο μεγαλύτερη άνωση που θα
    δεχτεί το στέμμα και άρα για τη λίγο διαφορετική συνιστάμενη δύναμη που
    ασκείται στους δύο βραχίονες της ζυγαριάς. Αλλοίωση της ισορροπίας της ζυγαριά
    ισοδυναμεί με αλλοίωση της καθαρότητας του χρυσού του στέμματος. Ωστόσο έχει
    ενδιαφέρον
    να συγκρίνουμε ως προς την ακρίβεια την παραπάνω μέθοδο, (ας τη λέμε μέθοδο
    της ζύγισης στο νερό), με τη μέθοδο της ογκομέτρησης. Αρχικά σχολιάζουμε τη
    μέθοδο της ογκομέτρησης.
    Σύμφωνα με τις παραδοχές που κάναμε στην εκφώνηση, το καθαρό χρυσάφι εκτο-
    πίζει όγκο νερού ίσο με 1000/19,3=51,82 cm3. Το στέμμα εκτοπίζει όγκο νερού ίσο
    με 700/19,3 + 300/10,5 = 64,83 cm3.Η διαφορά του εκτοπιζόμενου όγκου είναι
    περίπου 13 cm3. Αυτή είναι που πρέπει να ανιχνευτεί.
    Προσοχή τώρα στο κρίσιμο σημείο.
    Για να χωρέσει το σφαιρικό (κατά προσέγγιση) στέμμα μέσα στο δοχείο θα πρέπει το
    δοχείο να είναι στην καλύτερη περίπτωση κυλινδρικό με ακτίνα ίση με αυτή του
    στέμματος. Άρα η επιφάνεια του δοχείου θα πρέπει να έχει εμβαδόν τουλάχιστο ίσο
    με Ε = π*R2 δηλαδή περίπου ίσο με 314 cm2. Ένας όγκος 13 cm3 σε ένα δοχείο
    επιφάνειας 314 cm2 χρειάζεται ύψος μόλις 0,41 χιλιοστά. Τόση θα είναι η διαφορά
    της ανόδου της στάθμης λόγω της βύθισης των διαφορετικών σωμάτων στο νερό.
    Πολύ δύσκολο να ανιχνευτεί!!! Εδώ θα πρέπει να προσθέσουμε ότι στη μέθοδο που
    περιγράφει ο Vitruvius, υπάρχει περίπτωση ένας μικρός κυματισμός που θα προκα-
    λέσει το στέμμα στο νερό καθώς βυθίζεται, να οδηγήσει σε εσφαλμένη υπερχείλιση
    και άρα αλλοίωση του αποτελέσματος. Όταν «παίζουμε» σε επίπεδο κάτω του μισού
    χιλιοστού, ο κυματισμός δεν είναι αμελητέος.
    Στη μέθοδο της ζύγισης στο νερό τα πράγματα είναι διαφορετικά. Σε κάθε σώμα
    που βρίσκεται σε κάθε βραχίονα της ζυγαριάς ασκείται το βάρος του και η άνωση. Το
    βάρος είναι ίδιο και στις 2 περιπτώσεις, αλλά η άνωση είναι διαφορετική. Η άνωση
    ισούται με το βάρος του υγρού που εκτοπίζεται. Άρα η διαφορά της άνωσης στα δύο
    σώματα είναι ίση με το βάρος του νερού που καταλαμβάνει όγκο ίσο με τη διαφορά
    ων όγκων τους. Τα 13 κ εκ νερού, που είναι η διαφορά των όγκων, ζυγίζει 13gr. Η
    ζυγαριά θα γείρει με τέτοια διαφορά βάρους!!!
    Αξίζει να σημειωθεί ότι αυτή η μέθοδος χρησιμοποιεί τις αρχές της άνωσης και των
    μοχλών, πράγματα με τα οποία ξέρουμε ότι ασχολήθηκε σε βάθος ο Αρχιμήδης.
    Επίσης θα πρέπει να τονίσουμε ότι κατά τη λύση του προβλήματος του στέμματος, ο
    Αρχιμήδης δεν είχε στη διάθεσή του τους νόμους της φυσικής που έχουμε εμείς
    σήμερα. Αναγκάστηκε λοιπόν να τους ανακαλύψει για να λύσει το πρόβλημα.
    Δ) Ένα δικό μου σχόλιο (Γιώργος Παπαργύρης) είναι ότι θα μπορούσαμε να αυξήσουμε
    ακόμα περισσότερο την παραπάνω μέθοδο, αν αντί για νερό χρησιμοποιούσαμε
    υδράργυρο. Ο υδράργυρος έχει ειδικό βάρος περίπου 13.5 gr/cm3. Μια ποσότητα
    υδραργύρου ίση με τη διαφορά των όγκων (στέμματος-καθαρού χρυσού) ζυγίζει 13.5
    φορές περισσότερο από ότι ζυγίζει η ποσότητα του νερού. Δηλαδή η ακρίβεια της
    μεθόδου αυξάνεται 13.5 φορές. Με τα συγκεκριμένα νούμερα του προβλήματος θα
    είχαμε διαφορά στην άνωση 13*13.5= 175,5 γραμμάρια. Σκεφτείτε την ακραία
    περίπτωση να είχαμε πολύ μεγάλη νοθεία, θα μπορούσε το ειδικό βάρος του
    στέμματος να πέσει κάτω από το ειδικό βάρος του υδραργύρου και το στέμμα να
    μη βυθίζεται καθόλου!!!
    Δεν ξέρω αν κάτι πάει στραβά στο θέμα του υδραργύρου (π.χ. να μην ήτα
    Διαθέσιμος στην αρχαία Ελλάδα ή κάποια ιδιότητα του υδραργύρου να εμποδίζει
    τη συγκεκριμένη χρήση του). Αν κάποιος, π.χ. χημικός, έχει καμιά ιδέα πάνω σε
    αυτό τ ο θέμα ας μας το πει.
    Με την ευκαιρία, να πούμε και δύο λόγια για την άνωση.
    Σήμερα ξέρουμε ότι η άνωση δεν είναι μια άγνωστη δύναμη. Είναι αναπόφευκτη
    συνέπεια των νόμων του Νεύτωνα. Κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας ας
    φανταστούμε μια μάζα νερού οποιουδήποτε σχήματος. Μπορούμε να φανταστούμε
    ότι περικλείεται από ένα αβαρές μπαλόνι τυχαίου σχήματος που οριοθετεί το
    σύνορό της από το υπόλοιπο νερό. Η μάζα αυτή ισορροπεί, άρα οι δυνάμεις που
    σκούνται πάνω της έχουν συνισταμέν μηδέν. Άρα ασκείται πάνω της (από το
    υπόλοιπο νερό) μια δύναμη ίση με το βάρος της. Η δύναμη αυτή είναι που
    αποκαλούμε άνωση. Και επειδή το υπόλοιπο νερό δεν μπορεί να γνωρίζει από τι
    είναι φτιαγμένη η εν λόγω άζα μέσα στο υποθετικό μπαλόνι (αλλά μόνο τον όγκο
    της), η άνωση ασκείται σε άθε σώμα που βυθίζεται στο νερό. Με αυτό τοσκεπτικό
    καταλαβαίνουμε ότι σε κάθε σώμα που βυθίζεται σε υγρό, ασκείται μια δύναμη
    ίση με το βάρος του εκτοπιζόμενου υγρού, ως αναπόφευκτη συνέπεια των νόμων
    του Νεύτωνα.

    Αρχή του Αρχιμήδη (Υδροστατική/Αεροστατική)
    Παν σώμα εμβαπτιζόμενο εντός υγρού ή αέρος, υφίσταται άνωση ίση προς το βάρος
    του εκτοπιζόμενου όγκου υγρού ή αέρος επί την πυκνότητά του, το οποίο βρίσκεται
    σε κατάσταση ισορροπίας.

    Α = ε*V

    Α = Άνωση.
    ε = Ειδικό Βάρος (Πυκνότητα).
    V = Όγκος του εκτοπιζόμενου
    υγρού ή αέρος.

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *