Με τα ψηφία 1,2,3,4,5 μπορούμε να σχηματίσουμε 5!=120 διαφορετικούς πενταψήφιους αριθμούς (κανένα ψηφίο δεν επαναλαμβάνεται).
Ποιο είναι το άθροισμα όλων αυτών των αριθμών;
Ο γρίφος της Εβδομάδας – “Το άθροισμα”
Με τα ψηφία 1,2,3,4,5 μπορούμε να σχηματίσουμε 5!=120 διαφορετικούς πενταψήφιους αριθμούς (κανένα ψηφίο δεν επαναλαμβάνεται).
Ποιο είναι το άθροισμα όλων αυτών των αριθμών;
To κάθε ψηφίο θα χρησιμοποιηθεί σε κάθε θέση 4! φορές, αφού θα αναδιατάσσονται τα υπόλοιπα 4 ψηφία στις άλλες 4 θέσεις. Άρα το ζητούμενο άθροισμα θα είναι 4!*10^4*(1+2+3+4+5)+4!*10^3*(1+2+3+4+5)+…+4!*(1+2+3+4+5)=24*15*11.111=3.999.960
Απάντηση
Το άθροισμα των ψηφίων αυτών των 120 5ψηφιων αριθμών (κάθε 5ψηφιου) είναι σταθερό ίσο με 15 . Αν τοποθετήσουμε τωρα αυτούς τους 120 αριθμούς σε μια κολωνα ώστε να κάνουμε την πρόσθεση , τότε το άθροισμα των ψηφίων των στηλών , μονάδων , δεκάδων , εκατοντάδων , χιλιάδων και δεκάκις χιλιάδων , θα είναι ίσο με
15*(5-1)! = 360
Έτσι το άθροισμα αυτών των 120 αριθμών θα είναι ίσο με:
360+3600+36000+360000+3600000 = 3999960
Σημ. Η παραπάνω μεθολογία εννοείται ότι ισχύει για οποιονδήποτε ν-ψήφιο αριθμό και τον σχηματισμό των ν! ν-ψήφιων αριθμών . Τέλος φυσικά μπορεί να γραφεί κώδικας (προγραμμα) όπου πρώτα θα δημιουργησει τις μεταθέσεις των ν αυτών ψηφίων και στη συνέχεια θα προσθέσει τους ν! αυτούς αριθμούς .
Να προσθέσω στην παραπάνω σημείωση μου , το ν αναφέρεται σε αριθμούς χωρίς επανάληψη των ψηφίων .
Εάν προσθέσουμε όλους τους πενταψήφιους αριθμούς που σχηματίζονται από τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, και 5 βλέπουμε ότι έχουμε πέντε στήλες και κάθε στήλη περιέχει ακριβώς τα ίδια ψηφία με αλλαγμένη σειρά.
Κάθε στήλη περιέχει τα ψηφία 1, 2, 3, 4, και 5 το καθένα:
120/5=24 φορές
Άρα το άθροισμα κάθε στήλης ισούται με:
(1+2+3+4+5)*24=15*24=360
Επομένως το άθροισμα όλων των πενταψήφιων αριθμών που σχηματίζονται από τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, και 5 ισούται με:
(120/5)*(1+2+3+4+5)*(10.000+1.000+100+10+1)= 24*15*11.111= 3.999.960
Από αυτούς τους 120 αριθμούς, οι 24 έχουν το ψηφίο 1 στη θέση των μονάδων. Οι 24 έχουν το 2 στη θέση των μονάδων κ.ο.κ.
Άρα, το άθροισμα των μονάδων όλων των αριθμών είναι 24x(1+2+3+4+5) = 24×15 = 360.
Με τον ίδιο τρόπο, το άθροισμα των δεκάδων τους είναι 360×10, των εκατοντάδων 360×100 κ.ο.κ.
Επομένως, το άθροισμα όλων των αριθμών είναι 360x(1+10+100+1.000+10.000) = 360×11.111 = 3.999.960
2η λύση
Χωρίζουμε τους 120 αυτούς 5ψηφιους αριθμούς σε 2 ομαδες 60 κατοπτρικων αριθμών , τετοιοι ώστε το αθροίσμα τους να δινει 66666 πχ
12345+54321=66666. Ετσι το άθροισμα των 120 5ψηφιων αριθμών είναι ίσο με
60*66666=3999960
Η 2η λύση που πρότεινα είναι λάθος διότι δεν έχουν όλοι οι 5ψηφιοι κατοπτρικους με τους οποίους να δίνουν άθροισμα 66666 πχ 12534+43521 είναι διάφορο του 66666 και να μη δημοσιευθεί