Ο Μπάρμπα Γιώργος έχει στο κελάρι του έξι βαρέλια, όλα διαφορετικών διαστάσεων, χωρητικότητας 15,16,18,19,20 και 31 λίτρων αντίστοιχα. Όλα περιέχουν κόκκινο κρασί εκτός από ένα που περιέχει λευκό κρασί. Ο Μπάρμπα-Γιώργος δώρισε στον μεγαλύτερο γιο του τον Ορέστη δυο βαρέλια κόκκινο κρασί και στον μικρότερο γιο του τον Νίκο δώρισε επίσης κόκκινο κρασί άλλα την διπλάσια ποσότητα σε λίτρα από τον Ορέστη.
Ποια είναι η χωρητικότητα του βαρελιού που περιείχε λευκό κρασί;
O Nίκος πρέπει να πήρε 3 βαρέλια, ώστε να έχει διπλάσια ποσότητα από τον αδελφό του. Αν χ και ψ τα λίτρα των βαρελιών του Ορέστη, ο Νίκος θα πήρε 2(χ+ψ) λίτρα, άρα μαζί 3(χ+ψ) λίτρα. Αν α τα λίτρα του βαρελιού με το λευκό κρασί, θα είναι 3(χ+ψ)+α=119, δηλαδή το 119-α=πολλαπλάσιο του 3. Το μόνο βαρέλι για το οποίο ισχύει αυτό είναι των 20 λίτρων, αφού 119-20=99=πολλ.3.
Απάντηση
Η μικρότερη ποσότητα κρασιού που μπορεί να έχει ο Ορέστης είναι 15+16=31 λίτρα .Ο Νίκος σύμφωνα με τα δεδομένα πρέπει να έχει ποσότητα κρασιού
>= 2*31 = 62 λίτρα . Να δούμε τωρα αν το βαρελι των 31 λίτρων μπορεί να έχει λευκό κρασί και αν όχι , αν μπορεί να δοθεί στον Ορεστη . Άν το βαρέλι των 31 λιτρων είχε λευκο κρασί , τοτε η μικρότερη ποσότητα που θα μπορουσε να εχει ο Ορεστης είναι 15+31=46 λιτρα και κατα συνέπεια ο Νίκος να έχει 2*46=92 λίτρα . Η ποσότητα αυτή δεν μπορεί να προκυψει απο τα υπολοιπα βαρελια και ετσι το βαρέλι αυτό έχει κόκκινο κρασι και θα δοθει στον Νίκο . Κατόπιν αυτων ευκολα καταληγουμε στο συμπερασμα πως οι γιοι εχουν τα κάτω βαρελια .
Ορεστης. 15 + 18 = 33 λίτρα
Νίκος. 16 + 19 + 31 = 66 = 2*33 λίτρα
Τέλος το λευκό κρασι είναι στο βαρέλι των 20 λίτρων
Διόρθωση
…….τότε η μικρότερη ποσότητα που θα μπορούσε να έχει ο Ορεστης είναι 15 + 16 = 31 . Τα υπόλοιπα βαρέλια έχουν άθροισμα 18+19+20=57<2*31=62 . Έτσι το βαρέλι των 31 λίτρων έχει κόκκινο κρασι . Αν το βαρέλι αυτό πήγαινε στον Ορεστη τότε αυτός θα είχε 15+31=46 λίτρα …….
Το βαρέλι που περιέχει 20λίτρα κρασί είναι το ζητούμενο βαρέλι με το λευκό κρασί.
Το βαρέλι με το λευκό κρασί πρέπει να περιέχει τόση ποσότητα, ώστε αν αφαιρεθεί από
την συνολική ποσότητα των λίτρων πρέπει η υπόλοιπη να διαιρείται με το τρία (3), ώστε
ο μεγαλύτερος γιος του ο Ορέστης να πάρει το (1/3) της ποσότητας αυτής και ο μικρότερος γιος του ο Νίκος να πάρει τη διπλάσια ποσότητα, δηλαδή τα (2/3) αυτής. Επειδή η συνολική ποσότητα είναι 119litra (15+31+19+20+16+18=119lt) διαιρούμενη με το 3 δίνει υπόλοιπο 2
Δ = δ*π + υ —> 119=3p+2=3*39+2
Θα πρέπει η ποσότητα του λευκού κρασιού να είναι ένας αριθμός, ο οποίος διαιρούμενος
με το τρία να δίνει υπόλοιπο δύο (2).
Από τους αριθμούς των ποσοτήτων σε λίτρα που έχει στο κελάρι του ο μπάρμπα – Γιώργος,
μόνο ο αριθμός 20 δίνει υπόλοιπο 2 στη διαίρεση με το τρία: (20=3p+2=3*6+2).
Οι αριθμοί 15 και18 διαιρούνται ακριβώς, πηλίκα 5 και 6 αντίστοιχα..
Οι αριθμοί 16, 19, και 31 δίνουν υπόλοιπο ένα (3*5+1=16, 3*6+1=19, και 3*10+1=31).
Επομένως το βαρέλι με το λευκό κρασί είναι αυτό με την ένδειξη 20lt. Τα υπόλοιπα 5 βαρέλια
με συνολική περιεκτικότητα 99lt (15+31+19+16+18=99lt) κόκκινο κρασί διανεμήθηκαν ως εξής:
Στον μεγαλύτερο γιο του τον Ορέστη έδωσε το (1/3) της ποσότητας των 99lt:
(1/3)*99=33lt (2 βαρέλια με κόκκινο κρασί: 18lt και 15lt).
Στον μικρότερό του γιο τον Νίκο έδωσε τα (2/3) της ποσότητας των 99lt:
(2/3)*99=2*33= 66lt (3 βαρέλια με κόκκινο κρασί: 16lt, 19lt, και 31lt).
Ο μπάρμπα Γιώργος για τον εαυτό του κράτησε το βαρέλι με το λευκό κρασί των 20lt.
Σύνολο:33+66+20=119lt
Συμπληρωματική Πληροφορία:
Το ανωτέρω πρόβλημα προέρχεται από το βιβλίο με τίτλο «Amusements in Mathematics»,1917 του Henry Ernest Dudeney (10 April 1857 – 23 April 1930).
Αφού πήρε διπλάσια ποσότητα κόκκινου κρασιού ο μικρός υιός, σημαίνει ότι η ποσότητα που πήρε θα είναι ζυγός αριθμός. Ο μεγαλύτερος αδελφός πήρε δύο βαρέλια αυτά των 15 και 18 λίτρων, ήτοι 33 λίτρα. Ο μικρός πήρε τα διπλάσια 66 λίτρα, που είναι το άθροισμα των βαρελιών με περιεκτικότητα 31L, 19L, 16L. Συνεπώς αυτό που μένει είναι το βαρέλι με το λευκό κρασί, το οποίο είναι είκοσι λίτρων.
Xsm + Xla + Xwh = 119
Xsm = 2 * Xla
2 * Xla + Xla + Xwh = 119 => Xwh = 119 – 3* Xla
119 – 3* Xla >= 15, όπου 15 = Xmin άρα
Xla <=34,67
119 – 3* Xla =29,33
Επομένως ή Xla = 30, ή 31, ή 32, ή 33, ή 34
Η λύση Xla =30 απορρίπτεται γιατί δεν υπάρχει άθροισμα δυο βαρελιών που να ισούται με 30
Ομοίως απορρίπτεται η Xla =32
Αν Xla = 31, ήτοι 15 + 16, τότε θα πρέπει Xsm=2*31=62 απορρίπτεται.
Αν Xla = 34, ήτοι 16 + 18, ή 15 + 19 τότε θα πρέπει Xsm=2*34=68 απορρίπτεται.
Επομένως Xla = 33, ήτοι 15 + 18 και άρα Xsm= 66 (31+19+16).
Τέλος μένει το μοναδικό βαρέλι με λευκό κρασί 20 λίτρων
Το άθροισμα των ποσοτήτων που έδωσε στους γιούς του είναι πολλαπλάσιο του 3.
Το λιγότερο που μπορεί να πήρε ο Ορέστης είναι 31 λίτρα, άρα οι δύο γιοί συνολικά πήραν τουλάχιστον 93 λίτρα. Η συνολική χωρητικότητα είναι 119 λίτρα.
119-93 = 24 λίτρα, άρα έμεινε ένα βαρέλι (αυτό με το λευκό κρασί)
Το κόκκινο κρασί έχει χωρητικότητα πολλαπλάσια του 3 και η συνολική χωρητικότητα είναι 119 = 3×39+2, άρα το βαρέλι με το λευκό κρασί έχει χωρητικότητα της μορφής 3ν+2.
Το μοναδικό βαρέλι που έχει τέτοια χωρητικότητα είναι των 20 λίτρων.
Ο Ορέστης πήρε (119-20)/3 = 33 λίτρα (τα βαρέλια των 15 και 18) και ο Νίκος 66 λίτρα (τα βαρέλια των 16, 19 και 31 λίτρων)
16
Λάθος το προηγούμενο…
20 το σωστό…