Ο Γρίφος της Ημέρας: “Ο Επόμενος Κοινός Αριθμός”

Carlo4

Ο αριθμός 95 ανήκει και στην κόκκινη και στην μπλε ακολουθία. Ποιος είναι ο επόμενος κοινός αριθμός των ακολουθιών?

4 σχόλια

  1. ΚΔ

    2 αριθμητικές πρόοδοι και αν χ ο επόμενος κοινός όρος τους είναι:χ=95+76(κ-1)=95+25(λ-1), όπου κ,λ το πλήθος των όρων από τον επόμενο του 95 ως τον χ.Προκύπτει η διοφαντική 76κ-25λ=51 με ακέραιες λύσεις τις (1-25t,1-76t).Επειδή είναι μεγαλύτερες του 1 θα έχουμε για t=-1 τις λύσεις κ=26,λ=77, που δίνουν για επόμενο κοινό όρο τον 1995.

  2. ΚΔ

    Εναλλακτικά οι διαφορές των 2 προόδων 76 και 25 είναι πρώτοι μεταξύ τους, άρα το ΕΚΠ τους είναι το 76×25, που σημαίνει ότι ο επόμενος κοινός όρος τους είναι ο 95+76×25=1995.

  3. Θανάσης Παπαδημητρίου

    Ο γενικός όρος της μπλε ακολουθίας γράφεται 19+76ν, όπου ν=0,1,2,3,.,. και ο γενικός όρος της κόκκινης ακολουθίας 20+25μ, όπου μ=0,1,2,3,.. Στον κοινό όρο 95 είναι (ν,μ)=(1,3). Αρκεί τώρα να βρεθεί το αμέσως μεγαλύτερο ζευγάρι (ν,μ) που ικανοποιεί την εξίσωση:
    19+76ν=20+25μ => μ=(76ν-1)/25 =>
    μ=75ν/25+(ν-1)/25
    0 25 είναι διαιρέτης του 75, συνεπώς ο 75ν/25 είναι ακέραιος για κάθε τιμή ν. Για να είναι επομένως ακέραιος ο μ, πρέπει να είναι ακέραιος ο (ν-1)/25 και η μικρότερη (διάφορη του 1) τιμή ν για να συμβεί αυτό είναι η τιμή ν=26, που δίνει αντιστοίχως μ=79 και κοινό όρο των δύο ακολουθιών (μετά από τον 95) τον 19+76*26=20+25*79=1995

Απάντηση