« Όποιος κατορθώσει να βρει σε ένα χρόνο, το τετράγωνο ενός αριθμού πολλαπλασιασμένο με το 92 και αυξανόμενο κατά 1, έτσι ώστε το αποτέλεσμα αυτό να είναι τέλειο τετράγωνο, τότε αυτός θα είναι μαθηματικός!!».
Brahmagupta (625 μ.Χ.)
Ο Γρίφος της Ημέρας “Το Τετράγωνο”
92×0+1=1
Ζητάει σε ένα χρόνο (12 μήνες). Επομένως μας παραπέμπει στον αριθμό 12 του οποίου το τετράγωνο είναι 144 και πολλ/μενο με το 92 δίνει 13248 και αν προσθέσουμε την μονάδα έχουμε 13249 του οποίου η ρίζα είναι 115,104. Δεν είναι τέλειο τετράγωνο.
Ο επόμενος αριθμός που περιέχει το 12 είναι ο 120 του οποίου το τετράγωνο είναι 14400 και πολλ/μενο με το 92 δίνει 1324800 και αν προσθέσουμε την μονάδα δίνει 1324801 του οποίου η ρίζα είναι 1151 και είναι τέλειο τετράγωνο
Ιστορικό Σχόλιο:
Η εξίσωση του Πελ (Pell)
O Ινδός μαθηματικός και αστρονόμος Brahmagupta (598-670) βρήκε μια αναδρομική συνάρτηση, για την παραγωγή λύσεων ορισμένων περιπτώσεων των Διοφαντικών εξισώσεων δευτέρου βαθμού όπως:
N*x^2+1=ψ^2
με την χρήση του Ευκλείδιου αλγόριθμου. Ο αλγόριθμος του ήταν γνωστός ως «ο πολτοποιητής» καθώς σπάει τους αριθμούς σε μικρότερα κομμάτια. Δυστυχώς, ο Βραχμαγκούπτα δεν μπόρεσε να εφαρμόσει την λύση αυτή ενιαία για όλες τις πιθανές τιμές του N, αλλά μπόρεσε μόνο να δείξει πως αν το:
x^2-N*c^2=k
έχει μια ακέραια λύση για το k = ±1, ±2, ή ±4, τότε το x έχει μια λύση.
Η λύση της γενικής εξίσωσης του Πελ λύθηκε κατόπιν από τον Ινδό μαθηματικός και αστρονόμος Bhāskara II (~114-1185) το 1150. Ο Bhāskara προέβη σε μια κυκλική, μέθοδο chakravala για την επίλυση απροσδιόριστων τετραγωνικών εξισώσεων της μορφής ax 2 + bx + c = y. Η μέθοδος του Bhāskara για την εξεύρεση λύσεων του προβλήματος Nx 2 + 1 = y 2 (η λεγόμενη ” εξίσωση του Pell “) έχει μεγάλη σημασία.
Εξίσωση του Pell
Η εξίσωση του Pell , που ονομάζεται επίσης εξίσωση Pell-Fermat , είναι οποιαδήποτε εξίσωση Διοφαντική της φόρμας:
x^2-N*c^2=1
όπου το n είναι ένας θετικός μη τετραγωνικός ακέραιος αριθμός και οι ακέραιες λύσεις αναζητούνται για τα x και y . Στις καρτεσιανές συντεταγμένες , η εξίσωση αντιπροσωπεύεται από μια υπερβολή ; λύσεις συμβαίνουν όπου η καμπύλη διέρχεται από ένα σημείο του οποίου οι συντεταγμένες x και y είναι και οι δύο ακέραιοι, όπως η ασήμαντη λύση με x = 1 και y = 0. Ο Joseph Louis Lagrange απέδειξε ότι, αρκεί το n δεν είναι ένα τέλειο τετράγωνο, Η εξίσωση του Pell έχει απεριόριστα πολλές ξεχωριστές ακέραιες λύσεις. Αυτές οι λύσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ακριβή προσέγγιση της
τετραγωνικής ρίζας του n με λογικούς αριθμούς της μορφής x / y .
Αυτή η εξίσωση μελετήθηκε για πρώτη φορά εκτενώς στην Ινδία ξεκινώντας από τον Brahmagupta , ο οποίος βρήκε μια ακέραια λύση για:
92*x^2+1=y^2
στο Brāhmasphuṭasiddhānta γύρω στο 628. [2] Ο Bhaskara II τον δωδέκατο αιώνα και ο Narayana Pandit τον δέκατο τέταρτο αιώνα και οι δύο βρήκαν γενικές λύσεις στην εξίσωση του Pell και σε άλλες τετραγωνικές αόριστες εξισώσεις. Η Bhaskara II θεωρείται γενικά ότι ανέπτυξε τη μέθοδο chakravala , στηριζόμενη στο έργο των Jayadeva και Brahmagupta. Λύσεις σε συγκεκριμένα παραδείγματα της εξίσωσης του Pell, όπως οι αριθμοί Pell που προκύπτουν από την εξίσωση με n = 2, ήταν γνωστές για πολύ περισσότερο καιρό, από την εποχή του Πυθαγόρα στην Ελλάδα και παρόμοιας ημερομηνίας στην Ινδία. O Γουίλιαμ Μπρούνκκερ ήταν ο πρώτος Ευρωπαίος που έλυσε την εξίσωση του Πελ. Το όνομα της εξίσωσης του Pell προέκυψε από τον Leonhard Euler που αποδίδει λανθασμένα τη λύση της εξίσωσης του Brouncker στον John Pell .
Πηγή: http://eisatopon.blogspot.com/2013/01/blog-post_2619.html