O Γρίφος της Ημέρας “Περί Χρόνου”

(Α) Ο Μέσος Αριθμός

Το αναλογικό ρολόι του Νίκου δείχνει ότι η ώρα είναι 12:13. Ο αριθμός των δευτερολέπτων δεν φαίνεται.

Μετά από 10 δευτερόλεπτα, το ρολόι εξακολουθεί να δείχνει ότι η ώρα είναι 12:13.

Ποιος είναι ο μέσος αριθμός δευτερολέπτων που θα περάσουν μέχρι το ρολόι να δείξει 12:14;

(Β) Ίδια Ώρα

Σ΄ ένα ρολόι ο λεπτοδείκτης και ο ωροδείκτης έχουν το ίδιο μήκος. Το ρολόι δεν έχει αριθμούς. Ποια ώρα μεταξύ 6 και 7 η ώρα θα είναι ίδια,  είτε βλέπει  κάποιος το ρολόι κανονικά είτε το βλέπει ανεστραμμένο μέσα από έναν καθρέπτη

Attachments

3 σχόλια

  1. ΚΔ

    (Α) Στην αρχή το ρολόι μπορεί να δείχνει από 12.13.00 ως 12.13
    49. Μετά από 10 δευτερόλεπτα θα δείχνει από 12.13.10 ως 12.13.59. Άρα θα απομένουν από 50 ως 1 δευτερόλεπτα για να δείξει 12.14, με μέσο όρο (1+2+…+50)/50=25,5 δευτερόλεπτα.
    (Β) Για να συμβεί το ζητούμενο θα πρέπει οι 2 δείκτες να βρίσκονται σε διαφορετικά ημιεπίπεδα ως προς άξονα συμμετρίας την ευθεία 6 με 12 και να σχηματίζουν ίσες γωνίες με αυτήν, δηλαδή να είναι συμμετρικοί ως προς αυτήν. Αν φ1,φ2 οι γωνίες που σχηματίζουν ο ωροδείκτης και ο λεπτοδείκτης με την ευθεία 6 με 12 θα ισχύει 2π/12=φ1/t και 2π/1=(π-φ2)/t. Mε φ1=φ2 προκύπτει t=6/13 ώρες, δηλαδή η ζητούμενη ώρα θα είναι 6/13 ώρες μετά τις 6, όπερ 6 και 27 λεπτά και 41 και 7/13 δευτερόλεπτα.

  2. Carlo Συντάκτης άρθρου

    (Α) Ο Μέσος Αριθμός
    @ΚΔ
    Για τηλύση (Α) όρα τις τρεις κατωτέρω λύσεις.
    Ο μέσος αριθμός δευτερολέπτων είναι 25΄΄ δευτερόλεπτα.
    Ο “μέσος αριθμός δευτερολέπτων που θα περάσουν…” δεν μπορεί να είναι δεκαδικός αριθμός. Ο χρόνος είναι ομοιόμορφα κατανεμημένος (αν και “κβαντισμένος” ανά δευτερόλεπτο ,σε ένα αναλογικό ρολόι) στα διαστήματα 12:13:00 – 12:13:50 και 12:13:10 -12:14:00 . Διάστημα 50 δευτερολέπτων. Άρα το ζητούμενο είναι 25 δευτερόλεπτα. (Γ. Ριζόπουλος)
    Θα συμφωνήσω με το Γ.Ριζόπουλο στο αποτέλεσμα για τον εξής λόγο:
    Ξέροντας ότι η ένδειξη του ρολογιού στο χρόνο t=0 είναι 12:13 και ότι στο χρόνο t=10 sec παραμένει 10:13, ξέρουμε ότι η ακριβής ώρα στο χρόνο t=0 είναι τουλάχιστον 12:13:00 και το πολύ 12:13:50.
    Επομένως, θεωρώντας ότι ο χρόνος είναι συνεχής, στο χρόνο t=10 sec η ακριβής ώρα είναι τουλάχιστον 12:13:10 και το πολύ 12:14:00 -dt. Συνεπώς από το χρόνο t=10 sec μέχρι να δείξει ο λεπτοδείκτης 14, θα περάσουν το πολύ 50 και τουλάχιστον dt->0 sec, ήτοι κ.μ.ό. (0+50)/2=25 sec. Αν όμως ο χρόνος στον οποίο κοιτάξαμε το ρολόι δεύτερη φορά ήταν π.χ. t=11 sec, τότε κατ’ αναλογία ο μέσος αριθμός sec μέχρι να δείξει το ρολόι 12:14 θα ήταν (0+49)/2=24,5, δηλαδή δεν αποκλείεται εκ προοιμίου μη ακέραιος μέσος αριθμός δευτερολέπτων. (Papadim)
    Ο χρόνος είναι ομοιόμορφα κατανεμημένος αρχικά στο διάστημα 12:13:00−12:13:49,999999…. (δηλαδή μέχρι 12:13 και 50sec παρά παρά ένα απειροελάχιστο του sec) και μετά από και μετά από 10sec στο διάστημα 12:13:10−12:13:59,99999999999….
    Επομένως απομένουν 0,000….01=0 έως 49,999999…=50sec, οπότε ο μέσος χρόνος είναι 502=25 (όπως έχει γράψει δύο φορές ο Γιώργος Ριζόπουλος (όχι όμως επειδή δεν μπορεί να είναι δεκαδικός αριθμός, όπως σωστά παρατηρεί ο Στράτος. Αν ήταν 49sec το διάστημα θα έχουμε μέσο χρόνο $24,5sec) (Ε. Αλεξίου)
    Harvard–MIT Mathematics Tournament (HMMT) 2015
    Πηγή: http://eisatopon.blogspot.com/2015/12/blog-post_70.html

    (Β) Ίδια Ώρα
    Πηγή: http://eisatopon.blogspot.com/2012/08/blog-post_4443.html

  3. Θανάσης Παπαδημητρίου

    Αν η φράση ‘μεταξύ 6 και 7′ αποκλείει τα όρια του διαστήματος (ώρα 6 ή 7 ακριβώς), τότε η μόνη ώρα όπου μπορεί να συμβεί το ζητούμενο είναι η 6 και 27’ και 41,54”. Αν όχι, μας κάνει και η ώρα 6 ακριβώς..

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *