(Α) Οι Δείκτες
(Α) Πόσες φορές οι δείκτες ενός ρολογιού σε 24 ώρες:
(1) Σχηματίζουν ορθή γωνία 90ο;
(2) Ποιες ώρες;
(Β) Πόσες φορές οι δείκτες ενός ρολογιού σε 12 ώρες:
(1) Συμπίπτουν;
(2) Ποιες ώρες;
(Β) Οι Μοίρες
Πόσες μοίρες είναι η γωνία που σχηματίζουν οι δείκτες ενός ρολογιού (ο ωροδείκτης με το λεπτοδείκτη) στις 3 και 10′;
(A)(A)(1)22
(2)Σύμφωνα με τον τύπο φλ.-φω.=κπ+π/2,κ=0,1,…,21 που καταλήγει στον t=(κ+1/2)Τω.Τλ./2(Τω.-Τλ.) προκύπτουν οι χρόνοι 3/11,9/11,…,129/11 h.
(B)(1)11
(2)Aπό την εξίσωση φλ.-φω.=2πκ προκύπτει t=κΤω.Τλ./(Τω
-Τλ.)=12κ/11h δηλαδή οι χρόνοι 0,12/11,24/11,…,120/11.
(Β) Η γωνία μεταξύ 2 και 3 η ώρα είναι 360/12=30 μοίρες συν το 1/6 της μιας ώρας που είναι τα 10λεπτά σε μοίρες που είναι 5,προκύπτει 35 μοίρες.
(Α) Οι Δείκτες
Απάντηση (B)
(i) Οι δείκτες θα συναντηθούν 11 φορές. Ξεκινώντας π.χ. από την 00:00:00 πμ, θα συναντηθούν στις παρακάτω ώρες, (βλέπε κατωτέρω πίνακα αναλυτικά.):
Γνωρίζουμε ότι ο λεπτοδείκτης σε μια ώρα διανύει 60 διαιρέσεις της ώρας ή 60 λεπτά, ενώ αντιθέτως ο ωροδείκτης σε μια ώρα διανύει 5 διαιρέσεις της ώρας ή 5 λεπτά, π.χ. από το 2 θα πάει, σε μια ώρα, στο 3. Δηλαδή, σ’ ένα λεπτό ο ωροδείκτης θα διανύσει το (1/12) μιας διαιρέσεως του λεπτού [αφού (5/60)=(1/12)]. Έστω ότι η συνάντηση των δεικτών θα γίνει μετά από α ώρες. Κατά το χρονικό αυτό διάστημα ο λεπτοδείκτης θα διανύσει 60α διαιρέσεις (λεπτά), ο δε ωροδείκτης θα διανύσει 5α διαιρέσεις (λεπτά). Επειδή δε ο λεπτοδείκτης κατά τις α ώρες θα έχει διανύσει μια ολόκληρη περιφέρει ή 60 λεπτά, περισσότερο από τον ωροδείκτη, έχουμε την εξίσωση:
60α – 5α = 60 —> 55α = 60 —-> α =(60/55) —> α = 1και (1/11) ή 1 και (60/11)
Άρα η συνάντηση των δεικτών θα γίνεται κάθε:
(1/11) —> (60/11) —> 5΄ λεπτά και (5/11) του λεπτού.
(5/11) —> (5*60)/11 —> (300/11) —> 27΄΄ λεπτά και (3/11) του δευτερολέπτου.
1 ώρα : 5΄ λεπτά και (5/11) του λεπτού : 27΄΄ λεπτά και (3/11) του δευτερολέπτου.
Ας συμβολίσουμε «Ω» τον ωροδείκτη και «Λ» τον λεπτοδείκτη. Στις 1:00 ο «Ω» προηγείται του «Λ» κατά (360/12) =30 μοίρες. Έστω ότι θα ταυτιστούν σε «α» δευτερόλεπτα μετά τις 1:00.
Ο «Λ» σε 60 λεπτά στρέφεται κατά 3.600 άρα σε 1 δευτερόλεπτο (360/3.600) =(1/10) της μοίρας, οπότε σε «α» δευτερόλεπτα. γράφει (α/10) μοίρες.
Ο «Ω» –που είναι 12 φορές πιο αργός από τον «Λ» – στα «α» δευτερόλεπτα θα στραφεί κατά (α/120) μοίρες. Συνεπώς ισχύει :
(α/10)=30+(α/120) —>12α=(120*30)+α —> 12α-α = 3.600 —> 11α = 3.600 —->
α =(3.600/11) —-> α = 327,27 μοίρες.
Άρα οι δείκτες συμπίπτουν – για πρώτη φορά – μετά τις 00:00:00 πμ- στις 1:05΄:27΄΄ και (3/11) του δευτερολέπτου.
(ii) Για την εικόνα όρα εδώ:
https://imgur.com/a/e3KWhxV
@ΚΔ
Στον γρίφο (Α1) Οι Δείκτες, η εκφώνηση ζητάει σε 24 ώρες και όχι σε 12 ώρες.