(Α) Η Καμήλα, οι Μπανάνες και η Έρημος
Μια καμήλα κάθεται δίπλα σε έναν σωρό 3.000 μπανανών στην άκρη μιας ερήμου που εκτείνεται 1.000 χιλιόμετρα. Πρόκειται να διασχίσει την έρημο και να μεταφέρει στην άλλη πλευρά της ερήμου όσες μπανάνες μπορεί. Η καμήλα μπορεί να μεταφέρει 1.000 μπανάνες τη φορά, αλλά για κάθε χιλιόμετρο τρώει μια μπανάνα.
(i) Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός μπανανών που μπορεί η καμήλα να μεταφέρει στην άλλη πλευρά της ερήμου; Πώς θα καταφέρει η καμήλα να το πετύχει αυτό;(ii) Εάν οι μπανάνες που πρέπει να μεταφέρει είναι 5.000, ποια είναι η μεγαλύτερη δυνατή διαδρομή μετ’ επιστροφής, που μπορεί να πραγματοποιήσει η καμήλα καταναλώνοντας μία μπανάνα κάθε δύο χιλιόμετρα; (Πρόταση του Ευθύμη Αλεξίου)
(Β) Τρεις Συσκευασίες
Ένας μανάβης πουλάει φρούτα σε τρεις συσκευασίες:
– Μία μικρή συσκευασία που περιέχει: 1 μήλο και 2 μπανάνες.
– Μία μεσαία που περιέχει: 4 μήλα και 3 μπανάνες.
– Μία μεγάλη που περιέχει: 8 μήλα και 7 μπανάνες.
Διαπιστώνει όμως ότι η μεσαία και η μεγάλη συσκευασία έχουν μεγαλύτερη ζήτηση, οπότε αποφασίζει να σταματήσει να πουλάει τη μικρή συσκευασία και να κρατήσει τις δύο άλλες. Πόσες μεσαίες και πόσες μεγάλες συσκευασίες πρέπει να έχει ώστε να μην του περισσέψει κανένα φρούτο?Πηγή:http://eisatopon.blogspot.com/2011/04/blog-post_5536.html
(Α) Η Καμήλα, οι Μπανάνες και η Έρημος
Σχετικά με το θέμα αυτό όρα εδώ:
Πηγή: http://en.wikipedia.org/wiki/Jeep_problem
Για την λύση όρα εδώ: https://imgur.com/a/YOuAH50
(Β) Τρεις Συσκευασίες
25 μεσαίες και 25 μεγάλες
Είναι λύση να περισσέψουν 533+1/3 μπανάνες ; Τι λύση είναι αυτή ; Το αποτέλεσμα πρέπει να είναι ακέραιος αριθμός . Παρακάτω ακολουθεί η λύση .
Απάντηση
(1) Η καμήλα θα κάνει 2 διαδρομές με επιστροφή και μια τελευταία κουβαλώντας κάθε φορά 1000 μπανάνες . Θα κάνει τις επιστροφές σε κάποιο χιλιόμετρο αφήνοντας μια ποσότητα απο μπανάνες , που θα πάρει μαζί της στην επόμενη διαδρομη απο το συγκεκριμένο χιλιόμετρο και έχοντας συγχρόνως εξασφαλίσει τις μπανάνες για την επιστροφή .
Έτσι φορτώνεται τις πρώτες 1000 μπανάνες και ξεκινάει την 1η διαδρομή . Στο χ χιλιόμετρο σταματάει και παίρνει τον δρόμο της επιστροφής . Μέχρις εδώ έχει φαει χ μπανάνες , θα χρειαστεί ακόμη χ για την επιστροφή και οι μπανάνες που θα αφήσει στο χ χιλιόμετρο θα είναι :
1000-2χ
Ξεκινάει τωρα τη 2η διαδρομή . Σταματάει στο χ χιλιόμετρο , όπου ήδη έχει φαει χ μπανάνες και παίρνει τις αφημένες μπανάνες για να αντικαταστήσει αυτές που έφαγε . Έτσι θα πρέπει:
χ=1000-2χ απο όπου επεται χ=1000/3=333,33 και επειδή χ ακέραιος πρέπει χ=332 ή χ=334 . Έτσι για χ=332 κατα την 1η διαδρομή στο 332 χιλιόμετρο να άφησε 1000-2*332=336 μπανάνες ή για χ=334 να άφησε 1000-2*334=332 μπανάνες . Κατα τη 2η αυτή διαδρομή η καμήλα μπορεί να σταματήσει στο 332 χιλιόμετρο έχοντας φαει 332 μπανάνες και απο τις υπάρχουσες εκεί 336 μπανάνες μπορεί να πάρει μόνο τις 332 , επειδή δεν μπορεί να υπερβεί τις 1000 ή στο 334 χιλιόμετρο έχοντας φαει 334 μπανάνες , αλλα εκεί υπάρχουν μόνο 332 μπανάνες . Έτσι και στις δυο περιπτώσεις θα πάρει 332 μπανάνες και είναι σαν να έχει ξεκινήσει με 1332 μπάνανες . Με το ίδιο σκεπτικό όπως προηγούμενα σε κάποια απόσταση ψ θα σταματήσει και θα επιστρέψει πίσω για την 3η και τελευταία διαδρομή . Οι μπανάνες που θα υπάρχουν τωρα εκεί θα είναι :
1332-2*ψ
Κατα την 3η τωρα διαδρομή της και στην απόσταση ψ έχοντας φαει ψ μπανάνες , θα πάρει τις μπανάνες που βρίσκονται εκεί . Έτσι πρέπει:
ψ=1332-2*ψ απο όπου προκύπτει ψ=444 ακριβώς . Έτσι στο τέλος της διαδρομής θα έχει επι πλέον 444. μπανάνες που είναι και ο μέγιστος αριθμός που μπορεί να μεταφέρει απο τις 3000 , τρώγοντας συγχρόνως 1 μπανάνα για κάθε χιλιόμετρο που κάνει .
Και για το αστειο της υπόθεσης οι 4 μπανάνες που περισσεύουν στο 332 χιλιόμετρο , μπορεί να τις φαει ο καμηλιέρης αν υπάρχει .