Ο Γρίφος της Κυριακής: “Η Απόσταση”

(Α) Ο Αριθμός

Να βρεθεί διψήφιος θετικός αριθμός χ τέτοιος, ώστε το

άθροισμα των ψηφίων της διαφοράς (10x−x) να είναι 300.

(Β) Η Απόσταση

Μια σκάλα ακουμπά σε έναν τοίχο, αγγίζοντας απλώς τη γωνία ενός κιβώτιου. Εάν η σκάλα έχει μήκος 4 μέτρα  και το κουτί έχει πλευρά 1 μέτρο, ποια είναι η απόσταση μεταξύ της κορυφής του κιβώτιου και της κορυφής της σκάλας (ΒΔ);

4 σχόλια

  1. michalis zartoulas

    α) την αφήνω για το λύκειο
    β) ΒΔΕ~ΕΖΓ ,άρα χ/1=1/y=>xy=1(1)
    Π.Θ στο ΑΒΓ:(x+1)^2+(y+1)^2=16(2)
    από (1),(2)καταλήγουμε στην κατωτέρω εξίσωση:
    y^4+2y^3-14y^2+1=0
    Ας τη λύσουν οι μεγάλοι της Β λυκείου

  2. ΚΔ

    A.O 10^ν-ν με ν διψήφιο αποτελείται από ν-2 9άρια και το 100-ν τελευταίο διψήφιο τμήμα του. Επίσης στην 1η 10άδα εκθετών από 11-20 στο γινόμενο των 9αριών προστίθεται ο 17 ως 8. Στη 2η 10άδα 21-30 προστίθεται ο 16 ως 7 κλπ. Έτσι φθάνουμε στον 10^30-30 με άθροισμα ψηφίων 28*9+7=259. Έτσι φθάνουμε στην 3η 10άδα 31-40 και στον 10^34-34 με άθροισμα ψηφίων 32*9+12=300.
    Β.BΔΕ όμοιο με ΕΖΓ άρα xy=1. Aπό ΠΘ στο ΑΒΓ προκύπτει η αντίστροφη εξίσωση 1/x^2+2/x-14+x^2+2x=0, που με θέσιμο ω=x+1/x βγαίνει η ω^2+2ω-16=0 με δεκτή ρίζα την 1+sqrt17 και τελικά x=(1+sqrt17-sqrt(14+2sqrt17))/2 περίπου 2,76 και y=1/2,76=0,36.

  3. Carlo de Grandi

    Λύσεις:
    (Α) Ο Αριθμός
    Ο διψήφιος αριθμός είναι ο 34.
    Ο (10^34 – 34) ισούται μ’ έναν αριθμό με 32 εννιάρια και δύο εξάρια στο τέλος.
    (10x−x)=(10^34-34)= 10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000-34=
    9.999.999.999.999.999.999.999.999.999.999.966
    Άρα:
    (32*9)+6+6=288+12=300.
    Πηγή:http://eisatopon.blogspot.com/2022/03/300.html#comment-form
    (Β) Η Απόσταση
    Η απόσταση μεταξύ της κορυφής του κιβώτιου και της κορυφής της σκάλας είναι 2,760895 (≈2,77) μέτρα. Από την σύγκριση των δύο όμοιων τριγώνων ΑΒΓ και ΓΕΖ λαμβάνουμε:
    1/(1+x)=y/(1+y) ==== 1+y=y*(1+x) === 1+y=y+xy
    xy=1+y-y ==== xy=1 ==== x=1/y (1)
    Βάσει του τύπου του Πυθαγορείου Θεωρήματος έχουμε:
    (ΒΓ)^2=(ΑΒ)^2+(ΑΓ)^2
    4^2=(y+1)^2+(x+1)^2
    4^2=y^2+2y+1^2+x^2+2x+1^2
    4^2=x^2+2x+2y+y^2+2
    Αντικαθιστούμε το 2 με το 2xy κι’ έχουμε:
    4^2=x^2+2(x+y)+y^2+2xy
    4^2=(x+y)^2+2(x+y)
    Αντικαθιστούμε το (x+y) με k κι’ έχουμε:
    16=k^2+2k
    K^2+2k-16=0 (2)
    Από τον τύπο της δευτεροβάθμιας εξίσωσης x = -b±sqrt[b^2-4ac]/2a λαμβάνουμε:
    k= -2±sqrt[(2^2-4*1*(-16))]/2*1
    k= (-2±sqrt[4+64])/2
    k=(-2±sqrt[68])/2
    Μετατρέπουμε το υπόριζο σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κι’ έχουμε:
    k= (-2±sqrt[26^2*17])/2
    k= (-2±2sqrt[17])/2
    k= (-2(1±sqrt[17]))/2
    Προκύπτουν δύο ρίζες, εκ των οποίων μόνο η μια είναι αποδεκτή:
    k1= -1+sqrt[17] === k1= -1+4,12310 ==== k1= 3,12310 (3) αποδεκτή.
    k2= -1-sqrt[17] === k1= -1-4,12310 ==== k1= -5,12310 μη αποδεκτή.
    Αντικαθιστούμε το k1 με την τιμή που του δώσαμε ανωτέρω κι’ έχουμε:
    k= 3,12310 ==== (x+y)= 3,12310 (4)
    Αντικαθιστούμε το (1) στη (4) κι’ έχουμε:
    (x+y)= 3,12310 === (1/y)+y=3.12310 ==== 1+y^2=3.12310y ===
    Y^2-3,12310y+1=0
    Από τον τύπο της δευτεροβάθμιας εξίσωσης x = -b±sqrt[b^2-4ac]/2a λαμβάνουμε:
    y=(3,12310±sqrt[(3,12310^2-4*1*1)])/2*1
    y=(3,12310±sqrt[(9,75375-4)])/2
    y=(3,12310±sqrt[5,75375])/2
    y=(3,12310±2,39869)/2
    Προκύπτουν δύο ρίζες, εκ των οποίων μόνο η μια είναι αποδεκτή:
    y1=(3,12310+2,39869)/2 === y1=5,52179/2 ==== y1=2,760895 εκ. (5) αποδεκτή.
    Y2=(3,12310-2,39869)/2 === y1= 0,72441/2 ==== y1= 0,362205εκ.μη αποδεκτή.
    Mind your Decision, Video by Presh Talwalkar
    Πηγή: https://www.youtube.com/watch?v=CZKD7rffF0M&t=200s

  4. michalis zartoulas

    @ΚΔ Διόρθωση
    Η πολυωνυμική εξίσωση είναι:
    y^4+2y^3-14y^2+2y+1=0
    Οι λύσεις σου είναι εξαιρετικές
    Είσαι συνάδελφος ή μαθητής;

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *