(Α) Η Μετακίνηση
Ανωτέρω βλέπετε 6 νομίσματα σε μια σειρά εναλλάξ Ιππότης – Δικέφαλος Αετός. Να μετακινήσετε όλα τα νομίσματα με τον Ιππότη, με τρεις κινήσεις, αριστερά από τα νομίσματα του Δικέφαλου Αετού , ώστε τα νομίσματα με τον Δικέφαλο Αετό να ακολουθούν.
(Β) Η Ανταμοιβή
Ένα πλοίο που επέστρεφε από τη νήσο Σερεντίμπ (Serendip) (αρχαία ονομασία του νησιού Κεϋλάνη, σημερινή Σρι-Λάνκα (Sri-LanKa)), στην Ινδία φορτωμένο με μπαχαρικά, έπεσε σε σφοδρή θύελλα. Το πλοίο λίγο έλειψε να καταποντιστεί από τα τεράστια κύματα, αλλά γλύτωσε χάρη στη γενναιότητα που υπέδειξαν οι τρεις ναυτικοί, οι οποίοι με δεξιοτεχνία χειρίστηκαν τα πανιά του πλοίου. Ο καπετάνιος θέλοντας ν’ ανταμείψει τους τρεις ναύτες για τη γενναιότητά που υπέδειξαν τους πρόσφερε κάμποσα νομίσματα, όλα της ίδιας αξίας. Αυτά, που κυμαίνονταν μεταξύ 200 και 300, ο καπετάνιος τα τοποθέτησε σ’ ένα μικρό κουτί, ώστε την επομένη ημέρα, όταν θα έπιαναν λιμάνι, ο τελωνιακός να τα μοιράσει στους τρεις ναύτες.
Κατά τη διάρκεια της νύχτας, ένας από τους τρεις ναύτες ξύπνησε και σκέφτηκε το εξής:
-«Θα ήταν καλύτερα να πάρω το μερίδιο μου τώρα. Έτσι, δεν θ’ αναγκαστώ να φιλονικήσω με τους άλλου δύο για τα χρήματα.»
Χωρίς να πει τίποτα στους άλλους σηκώθηκε και πήγε να βρει το κουτί με τα νομίσματα. Όταν το βρήκε χώρισε τα νομίσματα σε τρία μερίδια, αλλά αυτά δεν ήταν ακριβώς ίσα. Περίσσευε ένα νόμισμα.
-«Εξ’ αιτίας αυτού του νομίσματος», σκέφτηκε, «σίγουρα θα μαλώσουμε το πρωΐ. Καλύτερα να το κρύψω κάπου.» Το έκρυψε κάπου, πήρε το μερίδιο του αφήνοντας τα μερίδια των άλλων δύο μέσα στο κουτί και επέστρεψε στο κρεβάτι του.
Μια ώρα αργότερα, ο δεύτερος ναύτης είχε την ίδια ιδέα, πήγε και βρήκε το κουτί με τα νομίσματα, και μη γνωρίζοντας ότι ο ένας από τους δύο είχε ήδη πάρει το μερίδιο του, μοίρασε εκ νέου τα νομίσματα σε τρία μερίδια. Αλλά, ω δυστυχία, περίσσευε και πάλι ένα νόμισμα. Θέλοντας κι’ αυτός ν’ αποφύγει κάθε φιλονικία με τους άλλους δύο το πρωΐ, έκανε ό,τι και ο πρώτος: το έκρυψε κάπου. Πήρε το μερίδιο του, που πίστευε ότι κατείχε δίκαια αφήνοντας τα μερίδια των άλλων δύο μέσα στο κουτί και επέστρεψε στο κρεβάτι του.
Ο τρίτος ναύτης σηκώθηκε τα χαράματα έχοντας την ίδια ιδέα. Μη γνωρίζοντας τι είχαν κάνει προηγουμένως οι δύο άλλοι ναύτες, πήγε και βρήκε το κουτί με τα νομίσματα και μοίρασε τα νομίσματα σε τρία μερίδια. Πάλι, όμως, περίσσευε ένα νόμισμα. Το έκρυψε κι’ αυτός κάπου πήρε το μερίδιο του αφήνοντας τα μερίδια των άλλων δύο μέσα στο κουτί και επέστρεψε ευτυχής στο κρεβάτι του.
Το επόμενο πρωΐ, όταν το πλοίο έφτασε στο λιμάνι, ο τελωνιακός βρήκε μέσα στο κουτί μια χούφτα νομίσματα. Μοίρασε το νομίσματα σε τρία μερίδια και έδωσε στο κάθε ναύτη το μερίδιο του. Μα πάλι περίσσευε ένα νόμισμα, τ’ οποίο κράτησε ως αμοιβή για την υπηρεσία που πρόσφερε.
Φυσικά, κανείς από τους τρεις ναύτες δεν παραπονέθηκε από τη μοιρασιά, αφού καθ’ ένας πίστευε πως είχε πάρει το μερίδιο που δίκαια του αναλογούσε.
Πόσα νομίσματα υπήρχαν στο κουτί και πόσα πήρε ο κάθε ναύτης;
α) βάζω το 3 στο 2,τώρα βάζω το 5 στο 4 και μετά το 4 στο 3
β) Έστω ότι ο Α πήρε χ νομίσματα και έκρυψε και ένα , άρα έμειναν στο κουτί 2χ νομίσματα
Ο Β πήρε (2χ-1)/3 νομίσματα και έκρυψε και ένα, άρα έμειναν στο κουτί (4χ-2)/3 νομίσματα
Ο Γ πήρε (4χ-5)/9 νομίσματα και έκρυψε και ένα, άρα έμειναν στο κουτί (8χ-10)/9 νομίσματα
Όλα τα νομίσματα ήταν 3χ+1, άρα 200<3χ+1<300 που γίνεται 57<χ<88
Προτείνω να συνεχίσουν οι μαθητές.
@Μιχάλη Ζαρτούλα
Ο δαίμονας του πληκρολογίου την έκανε τη ζημιά.
Στον γρίφο “Α” δεν αναρτήθηκε η φράση:
Δέσμευση:
Η μόνη κίνηση που επιτρέπεται είναι ένα νόμισμα να υπερπηδήσει δύο γειτονικά νομίσματα, χωρίς να διαταραχθεί η σειρά τους, και να τοποθετηθεί σε μια κενή θέση.
Θα περιμένω τη λύση σας.
Η διατύπωση του ερωτήματος που έκανα για τις βρύσες δεν ήταν η σωστή.
Αυτό που ζητάω είναι πως βρίσκουμε το γέμισμα της δεξαμενής κατά το 1/9 σε 1/3 ώρες.
Επίσης σε προηγούμενο σχόλιο σας ζήτησα το e-mail σας για να επικοινωνούμε, εάν θέλετε.
Εν αναμονή απαντήσεώς σας.
α) Βάζω το 3 στην 1η θέση και από αυτά που έχω τώρα βάζω το 5 στην 3η θέση
Όσο για τη δεξαμενή
Η Α βρύση γεμίζει σε 180΄ τα 9/9 της δεξαμενής
Η Α βρύση γεμίζει σε 20΄ τα y/9 της δεξαμενής
ανάλογα ποσά άρα 180*y/9=20*9/9 λύνω εύκολα και βρίσκω y=1
@Μιχάλη Ζαρτούλα
Η απάντηση για το (Α) είναι λάθος.
Το πρόβλημα ζητάει σε τρεις κινήσεις.
@Carlo de Grandi Επειδή δεν χειρίζομαι πολύ το e-mail, καλύτερα να επικοινωνούμε από εδώ.
Θα ήθελα πολύ να δω μία άποψη για το γρίφο με τα κέρματα, επειδή είναι φαντασίας και θα μπορούσαν να ασχοληθούν και οι μικροί του δημοτικού
Επειδή δεν χρησιμοποιώ πολύ το e-mail, καλύτερα να επικοινωνούμε από εδώ
Εμείς οι μεγάλοι δεν έχουμε φαντασία, όλα με μεταβλητές τα λύνουμε
Οπότε θα ήμουν περίεργος να δω τη λύση του πρώτου γρίφου
Μία ιδέα θα δώσω
Βάζω το 5 στο 3 και τώρα η σειρά είναι 125346
Βάζω το 5 στο 1 και τώρα η σειρά είναι 512346
Βάζω το 3 στο1 και τώρα η σειρά είναι 531246
Πετύχαμε το στόχο!!!έτσι δεν είναι;(όμως αν το κάναμε με δύο κινήσεις, θα ήταν πιο απλό)
Ας δώσω την απάντηση του δεύτερου γρίφου
Α πήρε 103
Β πήρε 76
Γ πήρε 58
Τα νομίσματα ήταν 241
@Μιχάλη Ζαρτούλα
Moving draughts
Place 6 coins, three white and three black, on a table in a row, alternating them black, white, black, white, and so on, as shown below:
Figure
Leave a vacant place large enough for 4 pieces on the left.
Move the coins so that all the white ones will end on the left, followed by the black ones. The coins must be moved in pairs, taking 2 adjacent coins at a time, without disturbing their order, and placed them in a vacant place. To solve this problem, only three such moves are necessary.
Μετάφραση:
Τοποθετήστε 6 νομίσματα, τρία άσπρα και τρία μαύρα, σε ένα τραπέζι στη σειρά, εναλλάσσοντάς μαύρα, άσπρα, μαύρα, άσπρα και ούτω καθεξής, όπως φαίνεται κατωτέρω:
Εικόνα
Αφήστε ένα κενό μέρος αρκετά μεγάλο για 4 κομμάτια στα αριστερά. Μετακινήστε τα νομίσματα έτσι ώστε όλα τα λευκά να μεταφερθούν στα αριστερά και ν’ ακολουθούν τα μαύρα. Τα κέρματα πρέπει να μετακινούνται ανά ζευγάρια, παίρνοντας 2 διπλανά νομίσματα τη φορά, χωρίς να διαταράσσεται η σειρά τους και να τα τοποθετείτε σε κενή θέση. Για να λυθεί αυτό το πρόβλημα, χρειάζονται μόνο τρεις κινήσεις.
Λύση:
Για σχηματική παράσταση όρα εδώ:
https://imgur.com/a/a33fm6W
Number the coins from left to right, as shown above. If the open space is on the left, move the coins with the numbers 2 and 3 to the left (first move). In the space now vacant place the coins with the numbers 5 and 6 (second move). Now move the coins with the numbers 6 and 4 to the left (third move).
Μετάφραση:
Αριθμήστε τα νομίσματα από αριστερά προς τα δεξιά, όπως φαίνεται ανωτέρω. Εάν ο κενός χώρος βρίσκεται στα αριστερά, μετακινήστε τα νομίσματα με τους αριθμούς 2 και 3 προς τα αριστερά (πρώτη κίνηση). Στον κενό χώρο τοποθετήστε τα νομίσματα με τους αριθμούς 5 και 6 (δεύτερη κίνηση). Τώρα μετακινήστε τα νομίσματα με τους αριθμούς 6 και 4 προς τα αριστερά (τρίτη κίνηση).
Πηγή:
The Moscow Puzzles 359 Mathematical Recreations. 1972
BORIS A. KORDEMSKY (Πρόβλημα Νο.3, Σελίδα 2)
@Μιχάλη Ζαρτούλα
Τα νομίσματα που γράφετε ότι πήρε ο καθένας συνολικά είναι 237(103+76+58), λείπουν ακόμα 4 νομίσματα για να έχουμε σύνολο 241.
Τα 4 νομίσματα είναι:
Ένα κάθε ναύτης που έκρυψε, σύνολο τρία συν ένα η αμοιβή του τελωνιακού.
@Carlo de Grandi Λέγοντας΄΄τα νομίσματα ήταν 241΄΄, εννοώ πόσα ήταν όλα αρχικά και όχι πόσα μοιράστηκαν στους ναύτες(ήταν περιττό να πω ότι δεν μοιράστηκαν 4, 3 που έκρυψαν κι ένα η αμοιβή του τελωνιακού, δεν ζητάει αυτό το πρόβλημα)
@Μιχάλη Ζαρτούλα
Μπορεί να μη το ζητάει, αλλά πρέπει να υπολογιστούν για να έχουμε το σύνολο των 241 νομισμάτων. Εξ υποθέσεως συμπεραίνουμε ότι και τα 4 που έμειναν τα μοιράστηκαν, Τα τρία που έκρυψαν οι ναύτες, που φυσικά καθ’ ένας πήρε αυτό που έκρυψε και το τελευταίο το έδωσαν στο τελωνειακό για την υπηρεσία που πρόσφερε
@Carlo de Grandi
Πάντως σε παιδί που δεν ξέρει πράξεις με μεταβλητές, αυτή την άσκηση δεν θα μπορούσα να την εξηγήσω. Νομίζω ότι δεν υπάρχει πρακτική λύση. Αν βλέπετε ότι υπάρχει, θα ήθελα να την ακούσω
Για τον πίνακα διανομής όρα εδώ:
https://imgur.com/a/QEec0uI
Υπήρχαν 241 νομίσματα και ο κάθε ναύτης πήρε 104, 77, 59 αντίστοιχα νομίσματα
και ένα ο τελωνιακός ως αμοιβή για την υπηρεσία που πρόσφερε. Έστω (α + 1) ο ζητούμενος αριθμός των νομισμάτων, όπου «α» θετικός και ακέραιος, ο οποίος βρίσκεται μεταξύ του 200 και του 300, σύμφωνα με την εκφώνηση του προβλήματος. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
(α) Ο πρώτος ναύτης κρύβει το ένα νόμισμα και παίρνει το 1/3 αυτών και μένουν υπόλοιπα:
(α+1)-1-α/3 === [3*(α+1)-1*3-α]/3 === (3α+3-3-α)/3 ====2α/3 νομίσματα (1)
(β) Ο δεύτερος κρύβει το ένα νόμισμα και παίρνει το 1/3 από αυτά που μένουν:
(1/3)*(2α/3-1) === (1/3)*[(2α-3)/3] === (2α-3)/9 νομίσματα και μένουν υπόλοιπα:
(2α-3)/3-(2α-3)/9 ==== [3*(2α-3)/3-(2α-3)/9 === (6α-9-2α+3)/9 ===
(4α-6)/9 νομίσματα (2)
(γ) Ο τρίτος κρύβει το ένα νόμισμα και παίρνει το 1/3 από αυτά που μένουν:
[(4α-6)/9-1] === (4α—6-9)/9 ===== (4α-15)/9 νομίσματα, ο οποίος είναι
ακέραιος θετικός αριθμός, διαιρείται με το τρία και μένει υπόλοιπα μηδέν.
Άρα, (4α-15)/9=3ω, όπου «ω» θετικός ακέραιος αριθμός έχουμε:
(4α-15)/9=3ω === 4α-15=9*3ω === 4α-15=27ω === 4α=27ω+15 ===
α=[(27ω)+15]/4 (3)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση
των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο «ω» τις τιμές από το 1 έως το «ν», με δοκιμές
βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο
αριθμό «α» είναι ο αριθμός ω = 35.
Αντικαθιστούμε τη τιμή του «ω» στην (3) κι’ έχουμε:
α=[(27ω)+15]/4 === α=[(27*35)+15)]/4 ==== α=(945+15)/4 ===
α=240 (4)
Άρα α = 240 κι’ επομένως: α + 1 = 240 + 1 = 241 νομίσματα
Επαλήθευση:
α)[(1/3)*((α+1) – 1] == [(1/3)*(240+1) – 1] == [(1/3)*(241-1)] == 240/3.
Πήρε 80 νομίσματα.
Υπόλοιπα: 2α/3 === (2*240/3) ==== 2*80 = 160 νομίσματα.
β)[(1/3)*(2α)/3)-1] === [(1/3*(2*240)/3-1)] === [(1/3)*(2*80) – 1)] ==== [(1/3)*(160 – 1)] === 159/3. Πήρε 53 νομίσματα.
Υπόλοιπα: (4α-6)/9 ====[ (4*240)-6]/9 ==== (960-6)/9 ====
954/6= 106 νομίσματα.
γ)[(1/3) *(4α-15)/9] === [(4*240)-15]/27) === (960-15)/27) ===
945/27. Πήρε 35 νομίσματα.
Από τα 241 νομίσματα αφαιρούμε τα 171 νομίσματα, 168 των ναυτών που πήραν κατά τη νύχτα και 3 που έκρυψαν, και μένουν υπόλοιπο 70 νομίσματα, τα οποία μοίρασε ο τελωνιακός στους τρεις ναυτικούς την επομένη ημέρα, σύμφωνα με τις οδηγίες του καπετάνιου. Δυστυχώς, και αυτή τη φορά περίσσευε ένα νόμισμα:
70:3 =23 νομίσματα στο κάθε ναύτη και περισσεύει 1 νόμισμα τ’ οποίο κράτησε ο τελωνιακός για την υπηρεσία που πρόσφερε. Μετά τη διαδικασία της διανομής κάθε ναύτης πήρε κι’ αυτό που έκρυψε.
@Μιχάλη Ζαρτούλα
Το πρόβλημα αυτό αναφέρεται σε μαθητές Β΄ Γυμνασίου και άνω. Εξ’ άλλου η ιστοσελίδα απευθύνεται σε όλες τις βαθμίδες των τάξεων του σχολείου.
@Carlo de Grandi
Που το ξέρετε ότι ο καθένας πήρε αυτό που έκρυψε;
Μπορεί να το πέταξε
@Μιχάλη Ζαρτούλα
Το ζήτημα δεν είναι εάν το κράτησε ή το πέταξε ή οτιδήποτε αλλά να βρούμε το σύνολο των νομισμάτων που υπήρχαν μέσα στο κουτί που είναι 241.
@Carlo de Grandi
Ναι, αλλά επηρεάζει στο πόσα νομίσματα πήρε κάθε ναύτης
Αυτό προσπαθώ να σας εξηγήσω
Το καταλάβατε;
@Μιχάλη Ζαρτούλα
Εγώ το κατάλαβα και δεν αντιλέγω σ’ αυτό που μου γράψατε, για το μπέρδεμα αυτό υπεύθυνος ήταν ο Bhāskara, ο οποίος έχει αποδημήσει από την επίγεια ζωή και δυστυχώς δεν μπορούμε να επικοινωνήσουμε μαζί του για να το διορθώσει
Πηγή:
Το πρόβλημα αυτό έχει ληφθεί από μία μελέτη αριθμητικής με τίτλο «Lilavati», από τ’ όνομα της κόρης του, του Ινδού συγγραφέα, μαθηματικού και αστρονόμου του 12ου αιώνα, Bhāskara II (1114-1185) ή Bhāskarāchārya (Bhāskara ο Σοφός).]
@Μιχάλη Ζαρτούλα
Προτείνω να δεχθούμε το πρόβλημα με τις δύο παραμέτρους της λύσης. Ποια είναι η γνώμη σας;
@Carlo de Grandi
Συμφωνώ